Xemtailieu Tải về Trường mục tiêu frenet và ứng dụng
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN *********** NGUYỄN PHƢƠNG THẢO TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET VÀ ỨNG DỤNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2011 1 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian thực hiện, khóa luận của em đã hoàn thành. Đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn, tận tình chỉ bảo và động viên em trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận này. Em cũng xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy cô khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ và đã đóng góp những ý kiến quý báu để khóa luận của em đƣợc hoàn thành. Vì thời gian thực hiện còn hạn chế, và đây cũng là lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận này có thể còn những thiếu sót. Em rất mong đƣợc nhận thêm những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Phƣơng Thảo 2 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này em thực hiện với sự nỗ lực của bản thân và sự chỉ bảo nhiệt tình của các thầy cô giáo trong khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2, đặc biệt là sự hƣớng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm. Khóa luận có sự tham khảo kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Nội dung của khóa luận này không có sự sao chép, trùng lặp với kết quả các nghiên cứu khoa học khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. 3 ĐỀ TÀI: TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET VÀ ỨNG DỤNG SVTH: NGUYỄN PHƢƠNG THẢO NHDKH: PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM Chƣơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị . Không gian Véctơ Euclid Véctơ tiếp xúc. Trƣờng véctơ. Trƣờng mục tiêu 3. Cung tham số. Trƣờng véctơ 4. Cung trong 5. Ánh xạ Weingarten Chƣơng 2. Trƣờng mục tiêu Frenet . Trƣờng mục tiêu Frenet trong 2. Trƣờng mục tiêu Frenet trong 3. Một số bài tập liên quan Chƣơng 3. Ứng dụng của trƣờng mục tiêu Frenet 1. Định lý cơ bản của lý thuyết đƣờng trong 2. Công thức tính độ cong và độ xoắn của cung song chính quy định hƣớng 3. Ứng dụng trƣờng mục tiêu Frenet vào nghiên cứu đƣờng trên mặt 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong mọi bậc học, hình học là một môn học tƣơng đối khó. Nó yêu cầu ở ngƣời học mức độ tập trung cao và muốn chuyên sâu thì vốn thời gian dành cho môn học phải nhiều. Trong quá trình học tập tại trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2, với chuyên ngành Toán, môn học Hình học vi phân đã đem lại cho em nhiều hứng thú học tập. Song, vì thời gian học bộ môn này không nhiều nên em chƣa thể chuyên sâu tìm hiểu nội dung nào trong đó. Vì vậy, khi đƣợc lựa chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp, em đã chọn một nội dung trong Hình học vi phân làm đề tài khóa luận. “Trƣờng mục tiêu Frenet và ứng dụng” là phần kiến thức cơ bản liên quan đến lý thuyết đƣờng trong và . Xung quanh nó là những bài tập củng cố hết sức quan trọng đối với bộ môn Hình học vi phân này. Với mong muốn tìm hiểu và làm rõ phần nội dung trên, em đã thực hiện khóa luận này. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về trƣờng mục tiêu Frenet trong và , ứng dụng của nó trong hình học. Bên cạnh đó, giải quyết một số bài tập làm rõ nội dung nghiên cứu. 3. Nội dung nghiên cứu Tên đề tài là “Trƣờng mục tiêu Frenet và ứng dụng” nên phần nội dung nghiên cứu phải đảm bảo những vấn đề xung quanh trƣờng mục tiêu Frenet và ứng dụng của nó. Theo đó, nội dung chính của nghiên cứu chia làm ba chƣơng: 5 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2. Trường mục tiêu Frenet Chương 3. Ứng dụng của trường mục tiêu Frenet 6 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp của Hình học vi phân. 7 Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ “Trƣờng mục tiêu Frenet” là một nội dung có liên quan khá nhiều đến các kiến thức trong hình học vi phân. Vì vậy, để tiện cho việc theo dõi phần nội dung chính, dƣới đây em xin trình bày một số kiến thức mang tính chất chuẩn bị. . KHÔNG GIAN VÉCTƠ EUCLID 1.1.1. Định nghĩa Cho hƣớng trên là một không gian véctơ trên trƣờng số thực là ánh xạ , thỏa mãn 4 tiên đề sau: i) ii) iii) . iv) . . 8 . Khi đó tích vô Trong đó ta ký hiệu là tích vô hƣớng của và . Ngoài ra ta cũng có thể ký hiệu Ví dụ. Không gian véctơ thực n-chiều ; với tích vô hƣớng cho bởi thì là một không gian véctơ Euclid. Hai véctơ vuông góc (xem [3], tr. 141) 1.1.2. Hai véctơ thuộc không gian véctơ Euclid trực giao) với nhau, ký hiệu 1.1.3. Hệ véctơ , nếu đƣợc gọi là vuông góc (hay . Hệ véctơ trực giao (xem [3], tr. 141) của không gian véctơ Euclid đƣợc gọi một hệ trực giao nếu các véctơ của hệ đôi một vuông góc với nhau, nghĩa là , với . 1.1.4. Hệ véctơ Hệ véctơ trực chuẩn (xem [3], tr. 142) của không gian véctơ Euclid đƣợc gọi là một hệ trực chuẩn nếu nó là một hệ véctơ trực giao gồm toàn véctơ đơn vị, nghĩa là 9 VÉCTƠ TIẾP XÚC. TRƢỜNG VÉCTƠ. TRƢỜNG MỤC TIÊU 1.2.1. Véctơ tiếp xúc (xem [1], tr. 11) Nhắc lại rằng không gian Euclid không gian véctơ Euclid mà ta viết là một không gian afin liên kết với . Hai điểm hay của . Ta xét tập tích Ta gọi mỗi phần tử xúc với tại . . , ký hiệu tại . là một véctơ tiếp xúc của đƣợc gọi là tập các véctơ tiếp xúc của Với xác định một véctơ là tập các véctơ tiếp thì có song ánh , Từ đó đƣa đƣợc cấu trúc không gian véctơ Euclid từ là không gian véctơ tiếp xúc của . lên và gọi tại . Ta định nghĩa với mọi . Chú ý. Giả sử là tập mở trong . Ta có 10 đƣợc gọi là tập các véctơ tiếp xúc của . Với không gian véctơ tiếp xúc của , ta ký hiệu và gọi nó là tại . 1.2.2. Trƣờng véctơ a. Định nghĩa (xem [1], tr. 12) Cho là tập mở trong cho với mọi , . Ta gọi mỗi ánh xạ , sao , là một trƣờng véctơ trên . Một trƣờng véctơ hoàn toàn xác định nếu có một hàm véctơ mà b. Phép toán Giả sử là tập hợp các hàm số khả vi trên , nó làm thành một vành giao hoán có đơn vị (đơn vị là hàm hằng có giá trị là 1). Ký hiệu tập các trƣờng véctơ khả vi trên . Khi đó, với mọi , mọi ta có các phép toán: ; ; ; 11 là ; (trong đó 1 là phần tử đơn vị của Ngoài ra, ta còn định nghĩa đƣợc hàm số Khi ). nhƣ sau trên đã có hƣớng thì ta xây dựng đƣợc tích véctơ trong , , 1.2.3. Trƣờng mục tiêu Định nghĩa. (xem [1], tr. 13) Trƣờng mục tiêu (khả vi) trên tập mở vi) sao cho với mỗi trên một cơ sở của Nếu là hệ n trƣờng véctơ (khả , là . Khi đó mọi với trong viết đƣợc một và chỉ một cách dƣới dạng . thì ; 12 . Nếu với mọi của (tức ) còn viết là một cơ sở trực chuẩn thì trƣờng mục tiêu gọi là trƣờng mục tiêu trực chuẩn. Ví dụ. Trƣờng mục tiêu tọa độ cực trong mặt phẳng Euclid có hƣớng Xét điểm và tập mở và véctơ . Tại mỗi điểm có đƣợc do quay Nhƣ vậy ta đƣợc trƣờng mục tiêu trực chuẩn 13 . , xác định véctơ một góc . trên tập mở . 3. CUNG THAM SỐ. TRƢỜNG VÉCTƠ DỌC MỘT CUNG THAM SỐ 1.3.1. Cung tham số a. Định nghĩa (xem [1], tr. 16) Cho một khoảng mở tham số (quỹ đạo) trong , ánh xạ : . Cho điểm O cố định trong , cung tham số toàn xác định bởi hàm véctơ khả vi ta cũng có : , , là bán kính véctơ của Khi đƣợc gọi là cung , hoàn . Ta gọi đối với gốc O. khả vi. b. Ví dụ Ánh xạ với , là véctơ hằng thì là một phần của đƣờng thẳng 1.3.2. Trƣờng véctơ dọc cung tham số (xem [1], tr. 18) a. Định nghĩa 1 Cho cung tham số , . 14 . Trƣờng véctơ , , đƣợc gọi là trƣờng véctơ dọc cung tham số . b. Định nghĩa 2 Ánh xạ là một cung tham số (khả vi) trong , là một trƣờng véctơ dọc và ký hiệu là thì . 1.3.3. Đạo hàm của trƣờng véctơ dọc cung tham số a. Định nghĩa (xem [1], tr. 55) Cho cung tham số xác định hàm véctơ véctơ dọc và cho trƣờng véctơ , thì có thể xét trƣờng , gọi là đạo hàm của là Ký hiệu: hay dọc , dọc trong . và là . b. Các phép toán Với là trƣờng véctơ dọc cung tham số , các hàm số trên , ta định nghĩa bởi ảnh tại từng điểm các trƣờng véctơ , dọc , hàm số đƣợc trƣờng véctơ trên . Khi dọc , ta có: 15 , đã có hƣớng ta định nghĩa c. Trƣờng mục tiêu dọc cung tham số Định nghĩa. (xem [1], tr. 56) Trƣờng mục tiêu dọc cung tham số véctơ dọc một cơ sở của . , sao cho với mọi Khi đó, mọi trƣờng véctơ dọc là viết đƣợc một và chỉ một cách dƣới dạng trong đó , là hệ n trƣờng là hàm số trên , rõ ràng rằng 16 4. CUNG TRONG 1.4.1. Cung trong a. Hai cung tham số tƣơng đƣơng Hàm số đƣợc gọi là một vi phôi nếu là một song ánh, khả vi và là hàm số khả vi. Hai cung tham số và đƣợc gọi là hai cung tham số tƣơng đƣơng nếu tồn tại một vi phôi sao cho . b. Cung trong Định nghĩa. (xem [1], tr. 69) 17 Mỗi lớp tƣơng đƣơng của quan hệ trên gọi là một cung trong ; mỗi cung tham số của lớp tƣơng đƣơng đó còn gọi là tham số hóa của cung, vi phôi gọi là phép đổi tham số của cung. Ví dụ. Cung tham số cho bởi , là ( ) trong tọa độ Descartes vuông góc ốc tròn trong hằng xác định cung đinh . 1.4.2. Cung chính quy a. Điểm chính quy Nhận xét. Ta gọi (do là song ánh) là ảnh của cung xác định bởi tham số hóa hoặc . Định nghĩa. (xem [1], tr. 70) Ta gọi điểm của cung xác định bởi Cho cung tại xác định bởi tham số hóa Điểm t đƣợc gọi là điểm chính quy nếu Cung là điểm , hay . . mà mọi điểm đều là điểm chính quy đƣợc gọi là cung chính quy. b. Tiếp tuyến, pháp diện Tiếp tuyến 18 số, Tiếp tuyến của cung tại điểm chính quy là đƣờng thẳng đi qua và có véctơ chỉ phƣơng Giả sử cung à xác định bởi Khi đó . Phƣơng trình tiếp tuyến của à tại điểm là: Pháp diện Pháp diện của cung tại từng điểm chính quy là mặt phẳng qua cắt vuông góc với tiếp tuyến của à tại . Nếu và là tọa độ Descartes vuông góc thì phƣơng trình pháp diện đó là 1.4.3. Cung định hƣớng và trƣờng véctơ tiếp xúc đơn vị a. Cung định hƣớng Định nghĩa (xem [1], tr. 74) Cho hai cung tham số , và Nếu có một vi phôi bảo toàn hƣớng (nghĩa là 19 , . ) thì hai cung tham số trên đƣợc gọi là tƣơng đƣơng định sao cho hƣớng. Mỗi lớp tƣơng đƣơng theo hệ quả tƣơng đƣơng trên đƣợc gọi là một cung định hƣớng. b. Ví dụ Hai cung tham số , với , với là tƣơng đƣơng định hƣớng. Thật vậy, ta thấy tồn tại vi phôi , bảo toàn hƣớng (vì cos ) thỏa mãn sin 20 . Tải về bản full