Giáo Trình Hình Học Vi Phân - Thư Viện Đề Thi

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học›Toán 12 Giáo trình Hình học vi phân pdf

85 trang

phongnguyet00 Lượt xem

7911

4 Download Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Hình học vi phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

ĐỖ NGỌC DIỆP - NÔNG QUỐC CHÍNH HÌNH HỌC VI PHÂN GIÁO TRÌNH DÙNG CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG THÁI NGUYÊN NĂM 2006 HÌNH HỌC VI PHÂN Đỗ Ngọc Diệp và Nông Quốc Chính GIÁO TRÌNH DÙNG CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG 2 Giới thiệu Ở trường phổ thông, hình học được dạy và học theo quan điểm hình học Euclid [Ơclid]. Các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và mảnh cầu. Quan hệ so sánh giữa các vật thể hình học được thực hiện bởi các phép dời hình; hai vật thể hình học được xem là bằng nhau nếu chúng có thể được chồng khít lên nhau qua những phép dời hình. Đại số tuyến tính và hình học giải tích xét các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và các mảnh bậc 2 nói chung. Các quan hệ so sánh được xét như các phép biến đổi tuyên tính hoặc afin. Các đường bậc hai được đưa về 9 dạng chính tắc, các mặt bậc hai trong không gian 3-chiều được đưa về 17 dạng chính tắc Trong hình học đại số bằng phương pháp phân loại có thể nghiên cứu các đường và mặt hoặc siêu mặt bậc 3 hay, tổng quát hơn, bậc bất kì. Phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi đa thức hoặc song hữu tỉ. Quan điểm nói trên được phát triển trong hình học vi phân khi mà các vật thể được cấu tạo từ các mảnh tham sô hoá bằng các tọa độ địa phương, nói chung các hàm tọa độ địa phương là các hàm trơn bất kì. Các phép biến đổi là các phép vi phôi. Do vậy các vật thể hình học trong hình học vi phân đa dạng hơn, nhiều chiều hơn và theo một nghĩa nhất định là trơn chu hơn các vật thể hình học trong các môn hình học trên. Phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân tương đối đa dạng . Trước hết hình học vi phân sử dụng các phép tính vi phân và tích phân trong không gian Euclid Ra để xây dựng các phép tính vi phân và tích phân tương ứng trên các vật thể hình học. Đồng thời nó cũng vận dụng các phương pháp tổng, tổng đại số, phương pháp tổ hợp, phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng , để tìm ra các tính chất của các đối tượng hình học . Giáo trình này được biên soạn trong khuôn khổ chương trình 90 tiết cho sinh viên các năm cuối đại học. Tác giả thứ nhất đã dạy chương trình này cho các lớp của Đại Học Thái Nguyên, Đại Học Quy Nhơn. Thực tế giảng dạy đã gợi ý cho tác giả chọn lọc các nội đung này. Giáo trình gồm có các chương chính sau: Chương 1 được dành cho việc nhìn lại lý thuyết đường và mặt bậc 1 và 2. Mục đích của chương này là tạo ra một khởi điểm hình học cho việc học tiếp tục. Chương 2 được dành cho việc nghiên cứu các đường cong trong không gian Euclid n-chiều. Chương 3 được dành cho việc xây dựng lại khái niệm về tensơ và đại số tensơ. Chương 4 là chương trọng tâm, dành cho lý thuyết mặt cong trong không gian Euclid R3 . Trong chương 5 chúng tôi trình bày phép toán vi phân nhiều chiều cho các ánh xạ trơn, đồng thời trong chương 6 nhấn mạnh các định lí ánh xạ ẩn và định lí ánh xạ ngược. Hai định lí này đóng vai trò trung tâm trong việc nghiên cứu các đa tạp con trong Rn được xác định bởi hệ phương trình hàm. Trong chương 7 chúng tôi trình bày lý thuyết tổng quát các đa tạp khả vi. Đó chính là các đối tượng trung tâm của hình học vi phân. Cuối mỗi chương có một số bài tập bổ sung cho phần lí thuyết. Các bài tập luyện 3 tập cơ bản, cần được giảng viên chọn từ các nguồn khác. Giáo trình được biên soạn lần đầu không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được nhiều lí kiến đóng góp cho việc biên soạn nội dung và hình thức của giáo trình, Các tác giả 4 Chương 1 Đường và mặt bậc hai Trong chương này chúng ta sẽ hệ thống hoá lại những khái niệm và kết quả nghiên cứu đường và mặt trong Đại số tuyến tính và Hình học giải tích dưới một cách nhìn thống nhất là tham số hoá và tọa độ hoá. Cách nhìn thống nhất này sẽ cho một hình dung sơ bộ về phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân cổ điển. 1.1 Siêu phẳng afin Trong Đại số tuyến tính, các siêu phẳng afin đóng vai trò cơ bản - các m-phẳng được xem như giao của hệ các siêu phẳng afin. Trong hình học afin, siêu mặt afin là đối tượng cơ bản. Các giao của các siêu mặt bậc 2 cho ta các đối tương kiểu các nhát cắt cầu, nhát cắt ellipsoid, v.v 1.1.1 Thuật khổ Gauss-jordan giải hệ phương trình tuyến tính Đây là công cụ cơ bản của Đại số tuyến tính cho phép đưa hệ phương trình tuyến tính bất kì về dạng dễ giải tới mức có thể đọc ngay được nghiệm trong dạng xếp dòng thu gọn. Chúng tôi không nhắc lại thuật giải đó ở đây mà chỉ lưu ý đọc giả xem nó như một công cụ hữu hiệu và xem lại nếu cảm thấy cần thiết. 1.1.2 Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ Ta xét bài toán nghiên cứu tập nghiệm (hạt nhân) của phương trình véctơ φ(x) = b, trong đó φ : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Không gian nghiệm là một m-phẳng afin dạng x0 + L với L là một mặt phẳng qua gốc toạ độ, là không gian nghiệm (hạt nhân) của ánh xạ tuyến tính φ(x) = 0 . Tọa độ hoá các không gian véctơ V và W bằng cách chọn trong mỗi không gian một cơ sở tuyến tính, ta quy bài toán về giải hệ phương trình tuyến tính. Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát với ~l biến và m phương trình Ax = b, với x = và cột vế phải b = Theo Định lý Kronecker-kapelli, hệ phương trình là có nghiệm khi và chỉ khi rank [A] = rank [A|b]. Nghiệm của hệ là một không gian afin con. Nếu ta chọn toạ độ hoá bằng cách chọn một cơ sở của không gian nghiệm rồi bổ 5 sung thành một cơ sở của toàn bộ Rn thì ta có thể nói rằng: Có thể tách biến x = (x, y) với x = (xl,, xn-r), y = (y1,, yr) sao cho r = rank [A] và ma trận con là khả nghịch. Các biến xl,, xn-r là biến tự do. Các biến y1,, yr là các biến phụ thuộc, là các hàm tuyến tính theo xl,, xn-r theo quy tắc Cramer cho hệ Như vậy ta có thể tìm một cơ sở trong không gian nghiệm mà trong đó các véctơ nghiệm tương ứng với x = (xl,, xn-r) của x0 + L. Nói một cách khác, ta có một đẳng cấu afin giữa Rn-r và không gian con afin x0 + L. Nên xem không gian con afin như là vật thể hình học độc lập thì các phép biến đổi hình học cho phép chính là các phép biến đổi afin. Việc chọn một cách tách biến như trên cho phép "tọa độ hoá " không gian (đa tạp) afin đó. Một ví dụ khác là các hình thu được nhờ compa. Theo quan điểm trừu tượng compa là công cụ có tác dụng duy nhất là vẽ các đường tròn hoặc là các cung của nó. Một lý thuyết tổng quát các mặt bậc 2 được nghiên cứu trong phần cuối của một giáo trình đại số tuyến tính. Trong trường hợp này các phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi bảo toàn các dạng bậc 2 , tức là các phép biến đổi afin trực giao. Ví dụ với mặt cầu phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi trong không gian Euclid (các phép quay, các phép phản xạ, tịnh tiến). Bài toán quy về việc nghiên cứu hệ một hay nhiều (bất) phương trình bậc 2, ví dụ dạng toàn phương. Lại một lần nữa, câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: có thể chăng nghiên cứu các mặt tổng quát hơn là mặt bậc 2? Bài toán cơ bản là các việc làm nói trên có thể thực hiện hay không khi hệ phương trình phi tuyến (không là tuyến tính hoặc các phương trình có bậc lớn hơn 2). Trả lời câu hỏi này, hình học vi phân dùng toàn bộ công cụ vi tích phân của giải tích. Đó cũng chính là nội dung của hình học các đa tạp khả vi. Tuy nhiên để có được điều đó ta phải huy động toàn bộ phép tính vi tích phân trong RA ở dạng tổng quát nhất. 1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học Trong một không gian, điều quan trọng hơn cả là chúng ta chấp nhận các phép biến đổi nào. Nếu chấp nhận đủ nhiều các phép biến đổi được coi là biến đổi tương đương thì có đủ nhiều các vật thể hình học được đồng nhất với nhau. Nếu hạn chế chỉ xét các phép biến đổi hình học là tuyến tính thì chúng ta có nhóm biến đổi là nhóm tuyên tính tổng quát G = GL(Rn) = GLn.(R) của không gian, 6 gồm tất cả các phép biến đổi tuyến tính khả nghịch. Chúng ta thu được hình học afin [aphin]. Nếu chúng ta hạn chế hẹp hơn, chỉ chấp nhận các phép biến đổi là bảo toàn khoảng cách, hoặc tích vô hướng, chúng ta có nhóm O(n) các biến đổi trực giao và hình học chính là hình học Euclid [ơclid]. 1.2 Đường hác hai với phương trình chính tắc 1.2.1 Ellipse Trong hình học giải tích, ellipse [elips] được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà tổng khoảng cách đến hai điểm F1 và F2 cho trước là một đại lượng không đổi 2a Các điểm F1 và F2 đó được gọi là các tiêu điểm. Gọi khoảng cách giữa hai điểm Fl và F2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn F1F2 là gốc O của hệ tọa độ Descartes, chọn véctơ e1 sao cho 2OF uuur = de1 . Bổ sung thêm một véctơ e2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ tọa độ Descartes O, e1, e2. Trong hệ tọa độ này điểm M có các tọa độ là (x, y) và ta có phương trình đường ellipse 1.2.2 Hyperbola Trong hình học giải tích, hyperbola được định nghĩa như quỹ tích các điểm ~ mà trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách đến hai điểm F1 và F2 cho trước là một đại lượng không đổi. Gọi khoảng cách giữa hai điểm F1 và F2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn F1F2 là gốc O của hệ toạ độ. Descartes, chọn véctơ e1 sao cho 2OF uuur = de1. Bổ sung thêm một véctơ e2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ tọa độ Descartes O, e1, e2. Trong hệ tọa độ này điểm M có các tọa độ là (x, y) và ta có phương trình đường hyperbola 1.2.3 Parabola Trong hình học giải tích, parabola [parpabol] được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà khoảng cách đến một điểm F và một đường thẳng l trong mặt phẳng cho trước là bằng nhau. Qua điểm F, ta hạ đường vuông góc với đường thẳng l tại điểm P. Gọi trung điểm đoạn PF là gốc tọa độ O. Chọn các véctơ trực chuẩn e1 và e2 sao cho = peOF uuur 2. Gọi (x, y) là các tọa độ điểm M trong hệ tọa độ O, e1, e2. Khi đó ta có 7 phương trình đường parabola là 1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng về dạng chính tắc Định lí 1.3.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toạ độ thích hợp, mỗi đường bậc hai tổng quát trong mặt phẳng Euclid afin 2-chiều đều được đưa về một trong số 9 đường chính tắc sau: 1. Đường ellipse 2. Đường ellipse ảo: 3. Đường hyperbola 4. Đường parabola 5. Cặp hai đường thẳng song song 6. cặp hai đường thẳng ảo song song: 7. Cặp hai đường thẳng ảo cắt nhau: 8. Cặp hai đường thẳng thẳng cắt nhau: 9. Cặp hai đường thẳng trùng nhau: Chứng minh. Đọc giả có thể dễ dụng tìm thấy chứng minh định lí này trong bất kì giáo trình nào về Hình học giải tích. 1.4 Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều 8 Định lí 1.4.1 (zĐịnh lí phân loại) Bằng phép biến đổi tọa độ thích hợp, mỗi mặt bậc hai tổng quát trong không gian Euclid ba chiều đều được đưa về một trong số 17 mặt chính tắc sau: 1 Mặt ellipsoid: 2. Mặt ellipsoid ảo: 3 . Mặt nón ảo : 4. Mặt elliptic hyperboloid một tầng 5. Mặt elliptic hyperboloid hai tầng 6. Mặt nón bậc hai: 7. Mặt elliptic paraboloid 8. Mặt trụ elliptic 9. Mặt trụ elliptic ảo: 10. Cặp mặt phẳng ảo cắt nhau: 11 Mặt hyperbolic paraboloid: 12. Mặt trụ hyperbolic: 9 13. Cặp hai mặt phẳng cắt nhau: 14. Mặt trụ parabolic 15. Cặp hai mặt phẳng song song: 16. Cặp hai mặt phẳng ảo song song: 1 7. Cặp hai mặt phẳng trùng nhau: Chứng minh. Định lí được chứng minh bằng cách chọn phép đổi toạ độ thích hợp làm biến mất phần tuyến tính. Dạng toàn phương và hệ số tự do quyết định động của mặt cong. Trường hợp 1: Dạng toàn phương có ba giá trị riêng khác 0: : Phương trình được đưa về dạng 1a. Các giá trị cùng dấu, quy về λ1>0, λ2 >0, λ3>0 1. Nếu c > 0 ta có thể đặt 2. Nếu c < 0, ta có thể đặt 3. Nếu c = 0 ta có thể đặt 1b. Các giá trị riêng khác dấu, quy về λ1>0, λ2 >0, λ3<0 4. Nếu c > 0 ta có thể đặt 5. Nếu c < 0, ta có thể đặt 6. Nếu c = 0 ta có thể đặt Trường hợp 2 : Có đúng một giá trị riêng bằng không, ví dụ λ1≠0, λ2 ≠0, λ3≠0: 10 2a. λ1 và λ2 cùng dấu: λ1>0, λ2 >0, λ3=0. Khi có một giá trị riêng λ3=0 thì hệ số tự do lại có thể làm triệt tiêu. Nếu hệ số bậc nhất theo z khác 0 ta có thể đặt là ±2p, p>0. Ta có Nếu hệ số bậc nhất theo z triệt tiêu, ta có phương trình dạng Ta có ba trường hợp : 8. Nếu c > 0 ta có thể đặt 9. Nếu c < 0, ta có thể đặt 10. Nếu C = 0 ta có thể đặt 2b. λ1 và λ2 khác dấu: λ1 > 0, λ2 < 0, λ3 = 0 11. Nếu c > 0 ta có thể đặt 12. Nếu c < 0 ta có thể đặt 13. Nếu c = 0 ta có thể đặt Trường hợp 3: Có đúng một giá trị riêng khác 0, ví dụ λ1 > 0, λ2 = λ3 = 0. Khi đó phương trình tổng quát có dạng Nếu ta thực hiện phép đổi tọa độ trực giao: Trong hệ tọa độ mới này, phương trình có dạng Thực hiện phép tịnh tiến tọa độ 11 ta có các trường hợp 14. Nếu D = 0 thì phương trình tổng quát có dạng Thực hiện phép tịnh tiến tọa độ theo trục x ta nhận được phương trình mới dạng: Ta có ba trường hợp: 15. ta đặt 16. ta đặt 17. chia hai vế cho 1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát về dạng chính tắc Giả sử là hai hệ toạ độ Descartes với là phép chuyển toạ độ với tức là 12 Nói cách khác qua phép biến đổi tọa độ, Siêu mặt bậc 2 là qui tích các điểm EM trong không gian Euclid afin AV thoả mãn phương trình 0-điểm của một hàm bậc 2 trong đó phần bậc hai ~ là không đồng nhất bằng 0. Nếu trên siêu mặt bậc 2 có (điểm) tâm đối xứng , tức là thoả mãn phương trình q(M) = 0 nếu thoả mãn, thì viết trong gốc tọa độ tại phần bậc nhất triệt tiêu Giả sử M là một điểm trên siêu mặt đang xét. Đường thẳng D có phương e qua M gồm các điểm có dạng + te . Cho nên giao của nó với siêu mặt bậc 2 cho bởi S: q(M) = 0 gồm các điểm mà t thoả mãn phương trình bậc 2 với Phương e là phương không tiệm cận nếu φ(e, e) ≠ 0. Nếu véctơ e không thuộc hạt nhân của φ tức là φ(e, e) ≠ 0 thì siêu phẳng kính liên hợp với phương e được cho bởi Hai véctơ u, v trong không gian afin AV là liên hợp với nhau qua hàm (bậc 2) φ , nếu φ(u, v) = 0 . Véctơ tự do e được gọi là phương chính của hàm bậc hai q(M) nếu nó liên hợp với tất cả các véctơ vuông góc với nó, tức là φ(e, u) = 0. với mọi u ⊥ e. Kết qua cơ bản của hình học giải tích là: Định lí 1.5.1 (phân loại các siêu mặt bậc hai) Mỗi siêu mặt bậc hai S: q(M) = φ(OM, OM) + 2f(OM) + c = 0 trong không gian Euclid afin AV, bằng các phép biến đổi afin đẳng cự, đều được đưa về dạng chính tắc trong hệ toạ độ chính tắc (O, e1,, en) với ei là các phương chính của q(M): 1. Trường hợp có tâm đối xứng: q(M) = λ1(x1)2 + λr(xr)2 + c Với r < n, λi ≠ 0, λ1 ≥ ≥ λr điểm gốc O ở tâm đối xứng. 2. Trường hợp không có tâm đối xứng: q(M) = λ1(x1)2 + λr(xr)2 + 2pxr+1, trong đó 0 0 13 Nhận xét 1.5.2 Nếu trong trường hợp λ1 ≥ ≥ λr > 0 ta thêm các phép biến đổi siêu việt đưa tọa độ Descartes về tọa độ cực với , thì siêu mặt ellipsoid có dạng r2 + c = 0. Tương tự trong trường hợp có λi với dấu âm, ta xét các hàm lượng giác hyperbolic, cũng có kết quả tương tự. Như vậy việc mở rộng nhóm biến đổi cho phép mô tả cấu trúc các siêu mặt bậc hai. 1.6 Phân loại dời hình các đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid Chúng ta xét nhóm các phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự trong mặt phẳng. Dễ dàng nhận thấy rằng " Hai đường bậc 2 trong mặt phẳng là tương đồng dời hình với nhau nếu và chỉ nếu chúng thu được từ nhau bằng phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự" . Mệnh đề sau là một bài tập hiển nhiên. Mệnh đề 1.6.1 Gọi T là nhóm các phép tịnh tiên trong mặt phẳng, O(2) là nhóm các biến đổi trực giao (quay và phản xạ). Khi đó nhóm các phép biến đổi dời hình đẳng cấu với tích nửa trực tiếp O(2) R2 . l.7 Phân loại dời hình các mặt bậc hai trong không gian Euclid 3 chiều Tương tự như trên, chúng ta xét nhóm các phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự trong không gian Euclid afin 3 -chiều . Dễ dàng nhận thấy rằng " Hai mặt bậc 2 trong không gian Euclid 3-chiều là tương đồng dời hình với nhau nếu và chỉ nếu chúng thu được từ nhau bằng phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự". Mệnh đề sau cũng là một bài tập hiển nhiên. Mệnh đề 1.7.1 Gọi T là nhóm các phép tịnh tiên trong không gian Euclid 3- chiều, O(3) là nhóm các biến đổi trực giao (quay và phản xạ). Khi đó nhóm các phép biến đổi dời h ình đẳng cấu với tích nửa trực tiếp O(3 R3 . 1.8 Phương pháp toạ độ cong Chúng ta nhắc lại một số phép biến đổi toạ độ quen biết: • Tọa độ cực trong mặt phẳng 14 • Tọa độ cực hyperbolic trong mặt phẳng • Tọa độ cầu trong không gian 3-chiều • Tọa độ trụ trong không gian 3-chiều • Tọa độ cầu trong không gian n-chiều v v. . . . 1.8.1 Các đường bậc 2 tham số hoá Trong các hệ toạ độ thích hợp các đường bậc 2 có dạng rất đơn giản. Ví dụ trong hệ tọa độ elliptic 15 phương trình đường ellipse trở thành r = 1 , 0 < (là < 27r. Hệ quả 1.8.1 Qua phép biến đổi tọa độ elliptic nói trên, đường ellipse được biến thành đoạn đóng-mở. Các phép biến đổi toạ độ tương tự được áp dụng cho các đường cong bậc 2 khác. 1.8.2 Các mặt bậc hai tham số hoá Trong các hệ toạ độ thích hợp các đường bậc 2 có dạng rất đơn giản. Ví dụ trong hệ toạ độ cầu elliptic với phương trình mặt ellipsoid trở thành Hệ quả 1.8.2 Qua phép biến đổi toạ độ cầu e/11ptic nói trên, mặt ellipsoid được biến thành hình vuông đóng- Các phép biến đổi tọa độ tương tự được áp dụng cho các mặt cong bậc 2 khác . Nhận xét 1.8.3 Bằng cách chấp nhận thêm các phép biến đổi siêu việt (kiểu các phép đổi tọa độ phi tuyên nói trên) các đường và mặt bậc 2 trở thành các hình hình học hết sức đơn giản. Những phép biến đổi như thê chính là các phép biến đổi vi phôi (các ánh xạ khả vi khả nghịch và nghịch đảo cũng là khả vi tại mọi điểm). Phân loại các vật thể hình học với độ chính xác trên vi phôi chính là phương pháp của hình học vi phân. 1.9 Bài tập củng cố lý thuyết 1 . Dùng các hệ tọa độ thích hợp, hãy tham số hoá các đường bậc 2 . 2. Dùng các hệ tọa độ thích hợp, hãy tham số hoá các mặt bậc 2. 3 . Dùng các hệ tọa độ thích hợp, hãy tham số hoá các đường conic. 4. Xây dựng vi phôi đĩa mở với không gian Eucliđ chứa nó. 5 . Qua phép đổi tọa độ thích hợp, hãy tham số hoá đường bậc 2 và mặt bậc 2 bất kì. 16 Chương 2 Lý thuyết đường cong trong Rn Hình học Riemann và hình học symplectic tổng quát sẽ được giới thiệu sơ bộ trong chương này. Để làm rõ bản chất của hình học chúng tôi chỉ chú trọng vào các đường cong và mặt cong. Hình học các đa tạp nhiều chiều là chuyên ngành về lý thuyết đa tạp có metric. 2.1 Cung tham số hoá và cung chính quy Trước hết chúng ta nhận xét rằng tồn tại các phép vi phôi giữa khoảng mở (a, b) bất kì với toàn bộ R, ví dụ có thể chọn hàm Hàm này có đạo hàm liên tục và khả nghịch, hàm ngược chính là hàm cũng có đạo hàm liên tục . Định nghĩa 2.1.1 Cung tham số hoá trong Rn là ảnh của một song ánh liên tục ϕ từ một khoảng mở (a, b) ≅ R vào Rn . Ví dụ. Cung tham số hoá xác định bởi các hàm tọa độ với t ∈ R. Định nghĩa 2.1.2 Hai tham số hoá ϕ : (a, b) → Rn và : (c, d) → Rn được gọi là tương thích với nhau, nên chúng sai khác nhau một vi phôi, tức là tồn tại một ánh xạ khả vi liên tục, khả nghịch và ánh xạ ngược là khả vi liên tục α : (a, b) → (c, d) sao cho Định nghĩa 2.1.3 Đường cong liên tục là ảnh của một ánh xạ liên tục từ một khoảng mở (a, b) vào Rn. Đường cong tham số hoá là họp của một họ các cung tham số hoá. Nói cách khác ta có thể chia đường cong thành hợp các cung tham số hoá. Ví dụ. Đường tròn S1 có thể chia thành hợp của hai cung tham số hoá, mỗi cung là S1 trừ đi một điểm khác nhau, ví dụ, Sl = U1 ∪ T2 với các cung U1 = Sl \ {N}, U2 = 17 Sl \ {S}, trong đó N là điểm cực bắc và S là điểm cực nam trên vòng tròn. Định nghĩa 2.1.4 (Cung tham số hoá chính quy) Điểm F cho bởi r(t) trên cung tham số hoá : (a, b) → Rn được gọi là điểm chính quy , nếu đạo hàm của tham số hóa là khác 0. Cung tham số hoá được gọi là cung chính quy, nên mọi điểm của nó là chính quy Đường cong được gọi là đường cong chính quy, nên nó là hợp của các cung tham số hoá chính quy. Nhận xét rằng nếu một điểm là chính quy trong một tham số hoá thì, theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp, nó cũng là chính quy trong mọi tham số hoá tương thích khác Bởi thế khái niệm chính quy không phụ thuộc việc chọn tham số hoá. Định nghĩa 2.1.5 (tham số hoá đường cong) Mỗi hệ toạ Descartes trong không gian Euclid En ≈ Rn cho ta một tham số hoá địa phương các khoảng mở của đường cong bằng các hàm thành phần: Khi đó x(t) = x1(t), , xn(t)), với xi(t) là các hàm trơn. Véctơ tiếp xúc với đường cong tại một điểm x = x(t) với t cố định là trong tọa độ Descartes của Rn . 2.2 Độ dài đường cong trong Rn. Đường trắc địa Khái niệm đường cong chính quy trùng với khái niệm đa tạp con một chiều. Đường cong trong đa tạp M = Rn được gọi là đường cong dìm trong M = Rn nếu nó là đa tạp con một chiều trong mỗi bản đồ tọa độ địa phương, tức là được xác định bởi hệ phương trình với hạng của ma trận Jacobi là n - 1 . Ví dụ 1. là đường cong dìm trong R2. Nhưng thì không thể là đa tạp con dìm trong mặt phẳng R2 . Các điểm (0, y) không là điểm chính quy, vì chúng không có đạo hàm liên tục. 2. Ảnh của đường thẳng y = θx, với hệ số góc θ vô tỉ không thể là đường dìm trong xuyến T2 = R2 / T2 Định lí 2.2.1 (Bài toán Cauchy cho đường cong) Nếu trường véctơ ξ(x) là trường véctơ trơn trên cung tham số hoá thì bài toán Cauchy Có nghiệm duy nhất và nghiệm đó gọi là đường cong qua điểm x . Độ dài của một véctơ tiếp xúc là 18 Định nghĩa 2.2.2 Độ dài của cung nôi hai điểm x0 = x(t0) và x = x(t) là Chúng ta không thể nói tới đường thẳng trong đa tạp M. Nhưng chúng ta có thể xét tới những đường có tính chất của đường thẳng . Định nghĩa 2.2.3 (Đường trắc địa) Đường cong trong đa tạp M nối 2 điểm x0 và x có độ dài ngắn nhất được gọi là đường trắc địa nối hai điểm đó. Định lí 2.2.4 (Bài toán biến phân cho đường trắc địa) Đường trắc địa là nghiệm của bài toán biến phân và thoả mãn phương trình vi phân tương ứng với bài toán biến phân đó Tức là đường đi ngắn nhất nối hai điểm x0 và xl trong Rn là đường thẳng đi qua hai điểm đó. Thật vậy theo nguyên lí Fermat, đường cong có độ dài ngắn nhất khi đạo hàm biến phân triệt tiêu, lấy đạo hàm biến phân của phiếm hàm ta có phương trình Đạo hàm biến phân giao hoán với tích phân ta có Đạo hàm biến phân và đạo hàm theo t giao hoán với nhau cho nên ta có thể đổi chỗ Lấy tích phân từng phần theo t ta có 19 Cho nên ta có Suy ra x(t) = a + L.t tức là đường thẳng. Vì với t = t0 có x = x0 và với t = t1 có x = x1 suy ra Nếu đường cong là chính quy thì s(t) ≠ 0. Theo định lí hàm ngược , tồn tại hàm ngược t = t(s) . Khi đó ta c ó thể chọn chính s là một tham số của đường cong. Định nghĩa 2.2.5 Tham số hoá đường cong theo tham số độ dài của nó từ một điểm cố đinh x0 = x(t0) đến một điểm x = x(t) bất kì được gọi là tham số hoá tự nhiên Mệnh đề 2.2.6 Trong hệ tham số hoá tự nhiên của đường cong, véctơ tiếp xúc luôn có độ dài là 1 , Chứng minh. Thật vậy, trong tham số hoá tự nhiên, cho nên theo định lí hàm ngược, Cho nên, 2.3 Mục tiêu trực chuẩn. Mục tiêu Frenet. Độ cong. Độ xoắn. Giả sử chúng ta có đường cong 20 Mệnh đề 2.3.1 Trong hệ tham số hoá tự nhiên của đường cong, đạo hàm véctơ tiếp xúc (s) theo biến tham sống dài s là một véctơ (s) vuông góc với véctơ tiếp xúc (s). Chứng minh. Thật vậy, chúng ta đã chỉ ra rằng Do vậy, Tức là Định nghĩa 2.3.2 Véctơ chuẩn hoá được gọi là véctơ pháp tuyến của đường cong tại Định nghĩa 2.3.3 Đại lượng gọi là độ cong tại điểm x(s). Nhận xét 2.3.4 (Ý nghĩa hình học của độ cong) Độ cong k(s) của đường cong chính quy tại x(s) là với R bán kính của đường tròn tiếp xúc với đường cong, tâm ở điểm cuối của véctơ (s) . Thật vậy Chúng ta có công thức khai triển Taylor bậc nhất với ε = o (∆s) và là một điểm trung gian giữa s và s + (∆s). Do vậy ta có Theo hệ thức trong tam giác trong hình học sơ cấp, [trong đó θ là góc giữa véctơ (s) và véctơ (s+∆s) 21 Định nghĩa 2.3.5 (Hệ quy chiếu Frenet) Véctơ là véctơ tiếp xúc. Véctơ được gọi là véctơ pháp tuyến. Véctơ được gọi là véctơ trùng pháp tuyến. Hệ quy chiếu (s), , được gọi là hệ quy chiếu Frenet . Mặt phẳng sinh bởi hai véctơ đơn vị và được gọi là mặt mật tiếp. Mặt phẳng sinh bởi và được gọi là mặt pháp diện. Mặt phẳng sinh bởi hai véctơ và được gọi là mặt trực đạc . Theo định nghĩa ta có cho nên theo quy tắc đạo hàm , cùng phương (nhưng có thể không cùng hướng) với , tức là ⊥ , . Đặt là hệ Số tỉ lệ Sao cho Định nghĩa 2.3.6 Hệ số được gọi là độ xoắn của đường cong tại x(s). Nhận xét 2.3.7 Trong mặt mật tiếp ta có thể nhìn thấy hình ảnh của đường cong như đường cong phẳng chính quy tiếp xúc với trục , nằm về phía . Trong mặt trực đặc ta cũng nhìn thấy đường cong là đường cong phẳng tiếp xúc với trục nhưng có thể nằm về hai phía. Trong mặt pháp diện ta nhìn thấy hai nhánh đường cong theo hình gấp nếp. Định lí 2.3.8 (Công thức Frenet) hay là Chứng minh. Trước hết theo định nghĩa độ cong, 22 Theo định nghĩa véctơ trùng pháp tuyến Cho nên ta có Vì lẽ , nên . Tức là là tổ hợp tuyến tính của hai véctơ còn lại. Nhưng suy ra Từ suy ra Cho nên Nhận xét 2.3.9 Trong lân cận điểm x(s), ảnh của đường cong lên mặt mật tiếp và mặt trực đặc là các đường cong tiếp xúc với . Hình chiếu trực giao của đường cong lên mặt pháp diện là hai nhánh cùng đi từ gốc tọa độ tiếp xúc với phương có kì dị hình nếp gấp. Do vậy cơ sở Frenet cho một nghiên cứu định tính đưng cong tại lân cận mỗi điểm. Từ đó suy ra rằng hình ảnh của đường cong trong hệ toạ độ Frenet là tiếp xúc với phương và là giải kì dị với phương . 2.4 Định lí cơ bản Nhận xét 2.4.1 Các khái niệm độ dài đường cong, độ cong của cung chính quy là những khái niệm bất biến qua đảng cấu affine trực giao còn khái niệm độ xoắn của cung song chính quy định hướng bất biến qua các phép biến đổi affine trực giao, bảo 23 toàn định hướng. Trên thực tế độ cong và độ xoắn xác định chính đường cong. Chúng ta phát biểu kết quả cơ bản của lí thuyết đường cong bỏ qua chứng minh. Định lí 2.4.2 (Định lí cơ bản) Cho hai hàm số k(s) ≥ 0 và κ(s) khả vi lớp Cl,l ≥ 0 trên khoảng mở J ⊆ R. 1. Tồn tại cung chính quy định hướng với tham số hoá tự nhiên J → R3, s r(s) khả vi lớp Cl+2, nhận k(s) và κ (s) là độ cong và độ xoắn tương ứng. 2. Nếu tồn tại hai cung chính quy r và lo với tính chất trên, thì tồn tại một phép dời hình (tức là một đảng cấu affine trực giao bảo toàn định hướng biến chúng sang nhau, r = f o p. Do khuôn khổ chương trình, chúng ta bỏ qua chứng minh. Sẽ rất thuận tiện khi chúng ta có thể dẫn ra công thức tính độ cong và độ xoắn trong tham số hoá bất kì. Mệnh đề 2.4.3 Giả sử là một tham sô/ hoá bất kì của một cung cong. Khi đó độ cong và độ xoắn được tính theo công thức Chứng minh. Thật vậy, Cho nên, Chúng ta lại có 24 Cho nên, Chúng ta chỉ cần quan tâm đến thành phần chứa trong , Cho nên ta có Ví dụ. Cho dường cong tham số hoá là = với Khi đó, Cho nên, 25 2.5 Bài tập củng cố lý thuyết 1 Cho đường cong tham số hoá là đường xoắn ốc Hãy tính độ cong và độ xoắn tại điểm bất kì. 2. Tính độ cong và độ xoắn của đường ellipse tại một thể bất kì. 3 . Tính độ cong và độ xoắn của đường hyperbola tại một thể bất kì. 4. Tính độ cong và độ xoắn của đường parabola tại một thể bất kì. 5 . Cho đương cong bậc 2 tổng quát Hãy tính độ cong và độ xoắn tại một điểm bất kì. 26 Chương 3 Đại số ten sơ, đại số ngoài, ten sơ đối xứng 3.1 Tích ten sơ các không gian véctơ Định nghĩa 3.1.1 Giả sử V và W là hai không gian véctơ trên trường . Kí hiệu VW là không gian véctơ sinh bởi tập V x W . Phần tử tổng quát trong VW có dạng tổ hợp tuyến tính hình thức trong đó tổng được hiểu theo nghĩa đại số, tức là chỉ có một số hữu hạn các hệ số là khác 0. Xét không gian véctơ con L, sinh bởi tất cả các phần tử có dạng Khi đó không gian thương VW/L được gọi là tích tensơ của hai không gian véctơ V và W và được kí hiệu là V W. Các phần tử trong không gian thương được kí hiệu là Hệ quả 3.1.2 Trong tích ten sơ ta luôn có các hệ thức thể hiện tính song tuyên Hệ quả 3.1.3 Nếu e1, . . . , en là một cơ sở của không gian véctơ V và f1, , fm là một cơ sở của không gian véctơ W thì các véctơ ei ⊗ fj, i = 1n, j = 1 m sinh ra tích ten sơ V W. Ngược lại ta có thể dùng chính các phần tử sinh này để định nghĩa tích ten sơ. Định nghĩa 3.1.4 (Định nghĩa II) Giả sử không gian véctơ V có một cơ sở là ei i = 1. n và không gian véctơ W có một cơ sở là fj , j = 1m . Kí hiệu hình thức ei ⊗ fj = (ei, fj) là cặp các véctơ cơ sở. Khi đó bao tuyến tính hình thức 27 được gọi là tích tensơ của hai không gian véctơ với cơ sở. Hệ quả 3.1.5 (Tính chất phổ dụng) Tồn tại ánh xạ song tuyên tính tự nhiên ι : V x W → V⊗W. Nếu B : V x W → F là một ánh xạ xong tuyên tính, thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyên tính ϕB : V⊗W→F từ tích tensơ V⊗W vào F sao cho B = ϕB o ι B Ngược lại ta có thể dùng tính chất phổ dụng làm định nghĩa tích tensơ. Định nghĩa 3.1.6 (Định nghĩa III) Tích tensơ của hai không gian véctơ V và W là một cặp gồm một không gian véctơ, kí hiệu là V⊗W và một ánh xạ song tuyến tính ι : V x W → V⊗W sao cho với mọi cặp gồm một không gian véctơ F và một ánh xạ song tuyến tính B : V x W → F, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính ϕB : V⊗W→F sao cho B = ϕ o ι B Mệnh đề 3.1.7 Ba định nghĩa I-III là tương đương nhau. Chứng minh Dễ thấy ngay Định nghĩa I suy ra Định nghĩa II và Định nghĩa II suy ra Định nghĩa III. Ngược lại, từ Định nghĩa III suy ra Định nghĩa II vì do Định nghĩa II có tính phổ dụng. Từ Định nghĩa II suy ra Định nghĩa I do lí luận theo số chiều. 3.2 Tích ngoài và tích ten sơ đối xứng Định nghĩa 3.2.1 Giả sử V1, , Vn là các không gian véctơ trên trường cơ sở Ta có thể tạo ra tổng trực tiếp của các tích ten sơ các không gian véctơ xếp thứ tự trong đó Không gian véctơ con sinh bởi các phần tử dạng 28 được gọi là tích ngoài và được kí hiệu là V1 ∧∧ Vn Không gian

Tài liệu đính kèm:

Hinh_hoc_vi_phan.pdf

Đề thi liên quan

Đề thi minh họa kì thi thpt năm 2016 – Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Lượt xem: 686 Lượt tải: 0
Đề khảo sát thpt quốc gia lần 1 năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán lớp 12 thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Lượt xem: 742 Lượt tải: 0
Đề thi thử môn toán – lần 3 năm học 2016 thời gian : 180 phút (không kể cả giao đề)
Lượt xem: 655 Lượt tải: 0
Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2016 môn thi: Toán – Giáo dục trung học phổ thông
Lượt xem: 1010 Lượt tải: 0
Đề tự luyện thpt quốc gia năm học 2014 - 2015 môn toán 12 – thời gian 180 phút
Lượt xem: 649 Lượt tải: 0
Chuyên đề Hệ phương trình, bất phương trình và phương trình
Lượt xem: 1014 Lượt tải: 0
Đề thi thpt quốc gia năm học 2015 - 2016 - lần 3 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Lượt xem: 655 Lượt tải: 0
Để kiểm tra chất lượng các môn thi đại học môn toán Năm học 2014 2015 (thời gian làm bài : 180 phút không kể thời gian phát đề)
Lượt xem: 664 Lượt tải: 0
Đề thi thử kỳ thi thpt quốc gia năm 2016 môn thi : Toán 12 thời gian làm bài: 180 phút
Lượt xem: 582 Lượt tải: 0
Đề thi thử đại học lần 3 môn : Toán; khối a và a1 thời gian làm bài: 180 phút
Lượt xem: 802 Lượt tải: 0