Hệ Thống Bài Tập Trắc Nghiệm Vận Dụng, Vận Dụng Cao, Phân Loại ...

Hệ thống bài tập trắc nghiệm vận dụng, vận dụng cao, phân loại hàm số mũ, logarit phần 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (504.34 KB, 21 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

THÂN TẶNG QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TOÀN QUỐC

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ MŨ LOGARIT

LỚP 12 THPT

PHẦN 11 – 20

4

9

1993

9

4

log

a

log

b

log

b

a

c







</div><span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2

Câu 1. Tổng các nghiệm của phương trình

₂

x24

_.5

2x

_

₁

_.

A. log25 B. 2log25 C. 2 D. 2log25 – 1

Câu 2. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc (– 10;100) để phương trình 2

3 2

log

x



(

m



1)log

x m

  

2 0

có nghiệm ?

A. 109 B. 100 C. 10 D. 6

Câu 3. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc (– 19;20) để phương trình 2

3 2

log

x



(

m



2)log

x m

  

4 0

có hai nghiệm phân biệt

x x

1

,

2thỏa mãn

x x

1 2



9

.

A. 20 B. 23 C. 17 D. 19

Câu 4. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình

31

2 .5

x

x _x

_

_m

_{có hai nghiệm phân biệt mà tổng bình}

phương hai nghiệm khơng vượt q 15 ?

A. 5 B. 4 C. 8 D. 7

Câu 5. Khoảng (a;b) là điều kiện tham số m để phương trình

₂

x24

_.5

2x

_

_m

_{có hai nghiệm phân biệt mà tổng}

của chúng nhỏ hơn 0,5. Giá trị b – a gần nhất với số nào

A. 0,49 B. 0,48 C. 0,47 D. 0,51

Câu 6. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình

3

_x

_{ }

4

_me

x_{có hai nghiệm phân biệt.}

A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số

Câu 7. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình

_me

2x

_

₍₅

_x

_

₂

_m

_

₂₎

_e

x

_

₁₀

_x

_{ }

_{4 0}

_{có ba nghiệm}

phân biệt ?

A. 10 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 8. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình

3 2

32 2

3

3

3

8

log

3

3

2

2

3

x

x

x

m

x

x

m

x

x









_{  }

_

_





có hai

nghiệm phân biệt.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

Câu 9. Tồn tại bao nhiêu số ngun m để phương trình

_{5 .2}

x1 2x2 x1

_

_10.8

mx_{có hai nghiệm phân biệt}

1

,

2

x x

thỏa

mãn điều kiện

2

 

x

₁

x

₂



x x

_{1 2}



12

.

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

Câu 10. Tồn tại bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình

_e

3m

_

_e

m

_

₂₍

_x

_

₁

_

_x

2

₎₍₁

_

_x

₁

_

_x

2

₎

_{có nghiệm}

A. 2 B. 0 C. Vô số D. 1

Câu 11. Tập hợp

S



( ;

a b

)

gồm tất cả các giá trị m để phương trình

2

x

_{ }

3

_m

4

x

_

1

_{có hai nghiệm thực}

phân biệt. Tính giá trị biểu thức 2a + 3b.

A. 29 B. 28 C. 32 D. 36

Câu 12. Phương trình 2

3 3

log

x



(

m



2)log

x n

  

5 0

(n là tham số nguyên) có hai nghiệm phân biệt mà tích của chúng bằng 27. Giá trị nguyên nhỏ nhất của n là

A. 3 B. 4 C. 2 D. 5

Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất m để hàm số 2

2 ₂

1

log (

3

) 1

2

x

y

x

x m

x

me

x







 

 



có tập xác định



.

</div><span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Câu 14. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn

log

_a

b



2log

_b

c



4log

_c

a

và a + 2b + 3c = 48. Tính abc.

A. 324 B. 243 C. 521 D. 512

Câu 15. Cho

( )

1

2018

x

2018

f x





. Tìm số nguyên n nhỏ nhất sao cho





5

n

_

2018

_f

( 2017) ( 2016) ...

_

_f

_

_{ }

_f

(0)

_

_f

(1) ...

_{ }

_f

(2018)

_.

A. n = 5 B. n = 6 C. n = 7 D. n = 8

Câu 16. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn

log

3

;log

5

2

4

a

b



c

d



và a – c = 9. Tính b – d.

A. 93 B. 85 C. 71 D. 76

Câu 17. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc miền [– 2019;2019] để phương trình sau có nghiệm

2

2 2 2

log

x



2log

x



m



log

x



m

.

A. 2021 B. 2019 C. 4038 D. 2020

Câu 18. Phương trình 2 2

27 1

3

3log

_



2

x



(

m



3)

x

 

1

m



_



log (

x

  

x

1 3 ) 0

m



có hai nghiệm phân biệt a, b thỏa mãn điều kiện |a – b| < 15. Số giá trị nguyên của tham số m thu được là

A. 12 B. 11 C. 13 D. 14

Câu 19. Tính tổng các nghiệm phân biệt của hai phương trình

2

₇

_{3 ln(}

_4);

2

₁₁

_{21 ln(6}

₎

x



x

 

x



x



x







x

.

A. 2 B. 4 C. 8 D. 6

Câu 20. Phương trình

₃

_x

2

_

₆

_x

_

_ln(

_x

_

₁₎

3

_{ }

_{1 0}

_{có bao nhiêu nghiệm phân biệt ?}

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

Câu 21. Tìm điều kiện tham số để bất phương trình

_m

_.9

2x2x

_

₍₂

_m

_

_1).6

2x2x

_

_m

_.4

2x2x

_

₀

_{nghiệm đúng với}

mọi giá trị

1

2

x



.

A. m < 1,5 B. m



1,5 C. m



0 D. m < 0

Câu 22. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số

2

ln(

1)

2

x

y





mx



x



đồng biến trên

(1;



)

?

A. 4 B. 1 C. 3 D. 2

Câu 23. Tìm tập hợp các giá trị của a để bất phương trình

log

_a

x



3

x



3

(

0

 

a

1

).

A. (2;3) B. (1;2) C. (3;5] D.

(5;



)

Câu 24. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để hàm số

y



log(

mx m

 

2)

xác định trên

1

;

2











.

A. 4 B. 5 C. 3 D. Vô số

Câu 25. Các số thực dương x, y, z thỏa mãn

log

₆

x

log

₃

y

log

₂

z

log

₅

x

3

yz











_



_





. Tính giá trị biểu thức

6 3 2

log 5

₂

log 5

₃

log 5

P x





y



z

.

A. 20 B. 24 C. 26 D. 30

Câu 26. Phương trình 2

2 2

log

x



(

m



2)log

x



2

m



0

có hai nghiệm phân biệt a, b thỏa mãn

a b

 

60

. Số các giá trị nguyên m < 100 thỏa mãn bài toán là

A. 93 B. 98 C. 92 D. 97

</div><span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

4

Câu 1. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để hệ phương trình sau có số nghiệm tối đa

10

4 4

1993

9

4

9log

1993

log (1993 )

y

x

m

x

xy x

y



 













A. 6 B. 7 C. 3 D. 10

Câu 2. Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình

_a

x4

_

₁₉₉₃

_x

_

₇₉₇₁

_{nghiệm đúng với}

_{ }

_x

_

_{. Khi đó}

giá trị biểu thức

4log

₁₉₉₃

(9 )

a

gần nhất số nào sau đây

A. 1993 B. 1050 C. 1975 D. 1945

Câu 3. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m khơng vượt q 2020 để phương trình sau có nghiệm





2 2

2ln (

m



1) cos

x



tan

x m





2

m



0

.

A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021

Câu 4. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 2 2 2

2 22

log (

2

) 1

1

log (

1)

x

x y

x

y







_





?

A. 5 B. 4 C. 2 D. 6

Câu 5. Cho phương trình

4

3

log (

4

) 2

2 0

x

_x

_{m x}

_m



_

_

_{ }

_{ }

,

m

là tham số. Gọi

S

là tập hợp tất cả các giá trị ngun của

m

để phương trình đã cho có nghiệm thuộc





1;1



. Số phần tử của

S

là

A. 3. B. 6. C. 5. D. Vô số

Câu 6. Cho loga logb logc l go _x 0;b2 _xy

p  q  r   ac . Tính

y

theo

p q r

, ,

.

A. _{y q}_ 2__pr_{. B.}

2p ry

q

 . C.

y



2

q p r

 

. D.

y



2

q pr



.

Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc (– 2019;2020) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm

2 ₂ 2 ₂ ₂ 2 ₂

4 9.3

(4 9

).7

,

2

1

2

2

.

x y x y y x

x

y

x m

   

 









 







A. 2017 B. 2021 C. 2019 D. 2020

Câu 8. Có bao nhiêu cặp số nguyên x, y thỏa mãn

0

 

x

2020

và

log (3

₃

_x

_{  }

3)

_x

2

_y

_

9

y_?

A. 2019 B. 6 C. 2020 D. 4

Câu 9. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với

x



2020

thỏa mãn

2(3

_{x y}

_

) 3(1 9 ) log (2

_

_

x

_

₃

_x

_

1)

_?

A. 4 B. 3 C. 2020 D. 1010

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương c để tồn tại các số thực a > 1, b > 1 thỏa mãn

9 12 16

5

log

a

log

b

log

b a

c







?

A. 5 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 11. Tồn tại bao nhiêu số hữu tỷ a thuộc [– 1;1] sao cho tồn tại số thực b thỏa mãn

2 22

2

4

1

1

log (1

2 )

4

1 2

1 2

4

2

a a

a a a a

a

b

b





















.

</div><span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Câu 12. Tồn tại bao nhiêu cặp số (x;y) với

0

 

x

2020;

y



_

thỏa mãn

2

2 2 23

log (3

_x

_

6

_x

_

6) 3

_

y

_

_y

_

_x

_

2

_x

_

1

_?

A. 5 B. 6 C. 7 D. 4

Câu 13. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để

22

3 3

1;1;

max ln

3ln

min ln

3ln

3

e

e

x

x m

 

x

x m

  _ _

 













?

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3

Câu 14. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 2 1

2

0

_x

2020; 2.4

y

1 2

x

2log

x

y



 

 



?

A. 2020 B. 2019 C. 63 D. 31

Câu 15. Có bao nhiêu cặp số (x;y) thỏa mãn đồng thời 2

*

2 2 2

;0

2020

ln (

1)

y

.

y

x

x

x

e

e

y

x

x

 

 





_

_

 









 







A. 3 B. 2 C. 4 D. Vơ số

Câu 16. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn

4 3 2 22

2

2020; log

4

8

(

4 )

1

1

x

y

y

y

x

x y

y

















.

A. 2019.2020 B. 20202 _{C. 1993} _{D. 4}

Câu 17. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

x y

    

0; 20

x

20

thỏa mãn điều kiện

2 23

log (

x



2 )

y



x



2

y



3

xy x y

  

0

?

A. 19 B. 6 C. 10 D. 41

Câu 18. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) với

1

 

y

2020

thỏa mãn điều kiện

1 2 1

3 3 2

2 (4

2 )

log (4

2

4 ) log (2

)

4

x

x x

_y

_y

x

_y

y

x

y

 











.

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

Câu 19. Tồn tại bao nhiêu giá trị m để hệ phương trình

log (

3₂ ₂

)

₂

log (

) 2

x y

m

x

y

m















có đúng hai nghiệm nguyên ?

A. 3 B. 2 C. 1 D. Vơ số

Câu 20. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) với

y





0;2017



thỏa mãn

2

22 2

2

3

log

8

2 2

5

2

3

x

x y

x

x

y

x

x









 





.

A. 44 B. 22 C. 42 D. 21

Câu 21. Khi hệ bất phương trình

log

2019

(

) 0

2

1

x y

x y

xy m









 

 



có nghiệm duy nhất thì giá trị m thu được thuộc khoảng

A.

1

;0

3



_











B. (0;1) C. (1;2) D.

1

1;

3



_{ }











Câu 22. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với 0 < x < 500 thỏa mãn phương trình

2 2 2 22

log (2

x



2

x



2) 2



y



y



x



x

.

A. 4 B. 2 C. 3 D. 1

Câu 23. Cho hai số thực x > y thỏa mãn

_ln(

_{x y}

_

₎

_{ }

_x

₂

_{y e e}

_

2x y

_

₂

_{. Hỏi giá trị biểu thức 5x + 3y nằm trong}

khoảng giá trị nào sau đây

A. (0;1) B. (1;2) C.

1;

1

2



_{ }











D.

</div><span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

6

Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có hai nghiệm đều lớn hơn – 2:

3 3

log (

x

 

3)

m

log

_x_

9 16



.

A. 15 B. 17 C. 14 D. 16

Câu 2. Tính tổng các số nguyên dương n thỏa mãn

4

n

_

3

_{viết trong hệ thập phân là số có 2020 chữ số.}

A. 6711 B. 6709 C. 6707 D. 6705

Câu 3. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để tập nghiệm của bất phương trình sau chứa khoảng (1;3)

2 2

7 7

log (

x



2

x

  

2) 1 log (

x



6

x

 

5

m

)

A. 35 B. 36 C. 34 D. Vơ số

Câu 4. Có bao nhiêu cặp số ngun (a;b) thỏa mãn 1 < a < b < 100 và phương trình

_a

bx

_

_b

ax_{có nghiệm nhỏ}

hơn 1 ?

A. 4751 B. 4656 C. 2 D. 4750

Câu 5. Cho a là hằng số dương khác 1 thỏa mãn

_a

2cos 2x

_

_4cos

2

_x

_

₁

_với

_{ }

_x

_

_{. Giá trị của a thuộc khoảng}

nào sau đây

A. (2;3) B. (43;5) C. (0;2) D.

(4;



)

Câu 6. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 2 2

3 4

log (

x y



) log (



x



y

)

?

A. 3 B. 2 C. 1 D. Vô số

Câu 7. Biết rằng phương trình

₂

x22

_{.5 .7}

x3 x

_

_m

_{có hai nghiệm phân biệt}1

,

2

x x

thỏa mãn

x

₁



x

₂



x x

_{1 2}



4

. Giá trị tham số m nằm trong khoảng nào

A. (1;2) B. (2;3) C. (3;4) D. (4;5)

Câu 8. Khi phương trình

₂

3x2

_.5

2x m

_

₂

_{có hai nghiệm phân biệt a, b thỏa mãn}

_{a b}

_{ }

_{2 2}

_{thì giá trị m thu}

được thuộc khoảng giá trị nào

A. [2;3) B. (1;2) C. (0;1) D. (– 3;0)

Câu 9. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2

25

4log

.log

1 0

5

x

x m



 

có hai nghiệm phân biệt a, b

thỏa mãn điều kiện

ab



50

ab



625 0



.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 10. Cho phương trình 2 2

2 2

log

x



(5

m



1)log

x



4

m

 

m

0

với m là tham số. Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt

x x

1

,

2thỏa mãn

x

1



x

2



165

. Giá trị của

x

1



x

2 bằng

A. 16 B. 119 C. 120 D. 159

Câu 11. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn

2 2 2

1

1

1

1

log

x



log

y



log

z



2020

và

log (

2

xyz

) 2020



.

Tính giá trị của biểu thức

log

2



xyz x y z

(

  

)

xy yz xz







1



.

A. 20202 _{B. 1010} _{C. 4040} _{D. 2020}

Câu 12. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn

2020

₂ ₃

3

(3

1) (

1)3

y

x

x y x

x

x

x







 

 







A. 7 B. 6 C. 15 D. 13

Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m để phương trình

₁₆

x

_

_6.8

x

_

_8.4

x

_

_m

_.2

x1

_

_m

2

_

₀

_{có hai nghiệm}

</div><span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

A. 16 tập con B. 8 tập con C. 4 tập con D. Vô số tập con

Câu 14. Cho hàm số

_{( ) 2019ln}

2019

x

f x





_

e



e



_





. Tính

f



(1)



f



(2) ...

 

f



(2018)

.

A. 2018 B. 1009 C. 1008,5 D. 1009,5

Câu 15. Tìm số nghiệm x thuộc [0;100] của phương trình cos( ) 1

4

1

2

cos(

) log (3cos(

) 1)

2

x

_x

_x

 

_{ }

_

_

_

_

_.

A. 51 B. 49 C. 50 D. 52

Câu 16. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình

_ln(

_x

2

_

₃

_x

_{ }

₁₎

_x

2

_

₃

_x

_

₀

_.

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để tập nghiệm của bất phương trình sau chứa đúng hai số nguyên ?

2

ln(

x



2

x m



) 2ln(2



x

 

1) 0

.

A. 10 B. 8 C. 11 D. 9

Câu 18. Cho

a b c

, ,

là các số thực khác 0thỏa mãn

6

a

_

9

b

_

24

c_{. Tính}_T a a

b c

  .

A. 3. B. 3. C. 2. D. 11

12.

Câu 19. Cho hai hàm số

y

ln

x

2

x





và

3

1

4

2020

2

y

m

x

x



 





. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham

số m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất bằng

A. 506 B. 1011 C. 2020 D. 1010

Câu 20. Có bao nhiêu m nguyên dương để tập nghiệm của bất phương trình

₃

2x2

_

_{3 3}

x



m2

_{ }

₁



₃

m

_

₀

_có

khơng quá 30 nghiệm nguyên?

A. 28. B. 29. C. 30. D. 31.

Câu 21. Cho hàm số

( ) ln

2

x

f x

x





 

_

_



_

. Tính tổng

f



(1)



f



(2) ...

 

f



(2021)

.

A. 2021 B.

2022

2023

C.

2021

2022

D.

4035

2021

Câu 22. Cho các hàm số

y



log

2

x



1

và ylog2



x4



có đồ thị như hình vẽ.

Diện tích của tam giác

ABC

bằngA. 21. B. 7

4. C.

21

2 . D.

214 .

Câu 23. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để bất phương trình ₈x __3.22x1__9.2x _{  }_m _{5 0 1}

 

_nghiệm

đúng với mọi x

 

1, 2

</div><span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

8

Câu 1. Cho đồ thị như hình vẽ. Biết rằng CB = 2AB. Mệnh đề

nào sau đây đúng

A. a = 5b B.

_{a b}

_

2

C.

_{a b}

_

3_D.

_a

3

_

_b

Câu 2. Có bao nhiêu cặp số thực (x;y) thỏa mãn đẳng thức

2 2

2 22 2 2 9

4

6

2 log

2log (2 2

2

2

)

2

3

x

xy

y

x

y

xy x

y

x

xy

y























.

A. 3 B. 2 C. 0 D. 1

Câu 3. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 2020;2020] để phương trình sau có đúng hai nghiệm

2

(2

x

_

2 ) 3

_x

x

_

_m

_

0

_.

A. 2094 B. 2093 C. 2092 D. 2095

Câu 4. Tồn tại bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình



log

2



3

100 0

x

x m







có đúng một nghiệm ?

A. 1 B. 0 C. 3 D. 8

Câu 5. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn – 10 < m < 10 để phương trình 1

4

2

x

_

log (

_x

_

2 )

_m

_

_m

_có

nghiệm ?

A. 4 B. 9 C. 10 D. 5

Câu 6. Tồn tại bao nhiêu số nguyên âm m để phương trình sau có nghiệm

2

22 2

3

3

1

log

5

2

2

1

x

x m

x

x m

x

x



 





 

 

.

A. 6 B. 5 C. Vô số D. 4

Câu 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m sao cho

10m



_

và phương trình sau có nghiệm duy nhất

2 2

5 5

2log

_mx_

(2

x



5

x



4) log



_mx_

(

x



2

x



6)

. Tìm số phần tử của S.

A. 16 B. 15 C. 13 D. 14

Câu 8. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 6 3

35

(2 log

)(1 log 2)

log 5

log

y

x







và

_{x y}

_

2

_

₀

_?

A. 40 B. 35 C. 34 D. 27

Câu 9. Cho hàm số

( )

2

1 2019

x

x

f x





.

Tính giá trị biểu thức

P



f

(cos1 )





f

(cos 2 ) ...



 

f

(cos178 )





f

(cos179 )

 _.

A. 45,5 B. 89,5 C. 90,5 D. 44,5

Câu 10. Biết rằng phương trình 3

3 3 3

log

x



(

m



5) log

x



(6

m



5)log

x



9

m

 

3 0

có ba nghiệm thực phân biệt sao cho tích của chúng bằng 729. Tổng các nghiệm khi đó bằng

A. 1 B. 12 C. 39 D. 6

Câu 11. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng (1;20) để bất phương trình

log

_m

x



log

_x

m

có tập hợp

nghiệm chứa khoảng

1

;1

3

x 





_

</div><span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

A. 17 B. 0 C. 18 D. 16

Câu 12. Tính 3n + 2 biết rằng

2

2 2 2 2

1

1

1

276

...

,

0,

1

log

log

log

n

log

x

x

x



x

 

x



x

 



.

A. 68 B. 71 C. 74 D. 77

Câu 13. Tìm tất cả các giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số

sin sinsin 1 sin

4

6

( )

9

4

x m xx x

f x









không nhỏ hơn

1

3

?

A.

log

₆

2

3

m



B.

log

₆

2

3

m



C.

log

₆

13

18

m



D.

m



log 3

₆

Câu 14. Khoảng (a;b) là tập hợp các giá trị m để phương trình

_{log cos}

2

_{x m}

_

_{log(cos )}

_x

2

_{  }

_m

_{4 0}

_có

nghiệm. Tính giá trị biểu thức

_a

2

_

_b

2_.

A. 6 B. 4 C. 8 D. 5

Câu 15. Có tất cả bao nhiêu số thực m thuộc [– 1;1] để phương trình sau có nghiệm (x;y) duy nhất

2

2 2

21

log

_m_

(

x



y

) log (2



x



2

y



2)

.

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Câu 16. Biết rằng phương trình

9

x

_

(2

_m

_

3).3

x

_

81 0

_

_{có hai nghiệm phân biệt mà tổng bình phương hai}

nghiệm bằng 10. Giá trị tham số m thu được thuộc khoảng

A. (5;10) B. (0;5) C. (10;15) D.



15;





Câu 17. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2

3 5

log (3

x

_

2 ) log (3

_m

_

x

_

_m

)

_{có nghiệm ?}

A. 3 B. 4 C. 2 D. 5

Câu 18. Cho x, y là hai số dương thỏa mãn 5x + y = 4. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên m để phương trình sau

có nghiệm:

2

23

2

log

x

y m

x

3

x y m

1 0

x y





_

_

_{   }



.

A. 10 B. 5 C. 9 D. 2

Câu 19. Cho hai số dương a, b thỏa mãn

log

4

a



log

6

b



log (4

9

a



5 ) 1

b



. Ký hiệu

b

T

a



thì

A. 1 < T < 2 B.

1

2

2

 

T

3

C. – 2 < T < 0 D.

1

0

2

T

 

Câu 20. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc [1;81]

2

3 3

log (9 ) (

x



m



5)log

x



3

m



10

.

A. 3 B. 5 C. 4 D. 2

Câu 21. Tồn tại bao nhiêu bộ số nguyên (x;y) thỏa mãn

1

 

x

20;1

 

y

20

và

3 2

2

2

1

(

2

4

8)log

(2

3

6).log

2

3

y

x

xy

x

y

x

y xy

y

x





















.

A. 2017 B. 4034 C. 2 D. 2017.2020

Câu 22. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đồng thời: 3

3

0

_{ }

_y

2020; 3

x

_

3

_x

_{ }

6 9

_y

_

log

_y

_.

A. 2020 B. 9 C. 7 D. 8

Câu 23. Bất phương trình



2



2

3 1 3

7

log 11 log

_a



x



3

ax



10 4 .log (



_a

x



3

ax



12) 0



có nghiệm duy nhất. Giá trị tham số a thu được thuộc khoảng

A. (0;1) B. (1;2) C. (– 1;0) D.

(2;



)

</div><span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

10

Câu 1. Cho hàm số

_{f x}

_{( ) 4ln(}

_

_x

2

_{ }

₁

_x

_{) 9(}

_

_e

x

_

_e

x

₎

_{. Tồn tại bao nhiêu số ngun m để phương trình sau}

có hai nghiệm phân biệt:

_{f me}

(

x

)

_

_f

(2

_

_x

) 0

_

_.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 2. Cho hàm số

_{f x}

_{( ) ln(}

_

_x

2

_{ }

₁

_x

_{) (}

_

_e

x

_

_e

x

₎

_{. Hỏi phương trình}

_f

_{(3 )}

x

_

_f

₍₂

_x

_{ }

_{1) 0}

_{có bao nhiêu}

nghiệm thực ?

A. 3 B. 0 C. 2 D. 1

Câu 3. Cho hàm số

_{f x}

_{( ) ln}

_



_x

2

_{ }

₁

_x



_{. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m thỏa mãn bất phương trình}

(log )

( log 2019) 0

_m

f

m



f





?

A. 63 B. 64 C. 65 D. 66

Câu 4. Cho hàm số

_{f x}

_{( ) ln}

_



_x

2

_{ }

₁

_x



_{. Tính giá trị biểu thức}

_a

2

_

_b

2_{khi a và b là hai số thực dương a, b}

thỏa mãn

f a

( )

f b

(

2) 0; 4

ab

1

2(

a b

)

ab













.

A. 1 B. 4 C. 2 D. 3

Câu 5. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn đẳng thức

ln( )

_ab

_{  }

_a

2

_e

a eb

_

_{b a e}

(

_

)

_{. Giá trị biểu thức}

ln(2

a



3 )

b

nằm trong khoảng nào sau đây ?

A. (2;3) B. (1;2) C. (0;1) D. (3;4)

Câu 6. Cho hàm số

_{f x}

_{( )}

_

_{e x}

2

_

₁₍

_e

x

_

_e

x

₎

_{. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương}

trình

(

7)

12

0

1

f m

f

m





 

_

_









.

A. 4 B. 6 C. 3 D. 5

Câu 7. Cho hàm số

_{( )}

4

_ln(

2

₁

_{) 1993(}

₎

9

x x

f x

_

x

_{ }

x

_

e

_

e

 _{. Tìm tập nghiệm của bất phương trình}

(

1)

(ln ) 0

f a

 

f

a



.

A. [0;1] B. (0;1] C.



0;





D.



0;





Câu 6. Cho hàm số

_{f x}

( ) 2

_

x

_

2

x_{. Ký hiệu}

0

m

là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn bất phương

trình

_{f m}

_{( )}

_

_f

₍₂

_m

_

_{2 ) 0}

12

_

_{, khi đó}0

m

nằm trong khoảng nào sau đây

A. [1513;2019) B. [1009;1513) C. [505;1009) D. [1;505)

Câu 7. Cho hàm số

_{f x}

( ) 1993

_

x

_

1993

x_{. Gọi}

0

m

là giá trị lớn nhất của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

_f

(4

_x

_{ }

9)

_f

(

_

_m

.1993 ) 0

x

_

_{. Giá trị}

0

m

gần nhất số nào sau đây

A. 5140343 B. 9681010 C. 1975542 D. 1945722

Câu 8. Cho hàm số

_{f x}

( ) 1993

_

x

_

1993

x_{. Biết rằng tồn tại duy nhất bộ số (x;y) thỏa mãn bất phương trình}

(

x y

)

(

x

ln

1) 0

f e



  

y x

f e



x

 

. Giá trị biểu thức

P



2

x



5

y

nằm trong khoảng nào ?

A. (1;2) B. (2;3) C. (3;4) D. (5;6)

Câu 9. Cho hàm số

_{f x}

_{( ) 2}

_

_e

x

_

_log(

_{m x}

2

_{ }

₁

_mx

₎

3_{. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình}

sau nghiệm đúng với mọi giá trị x:

f x

( )



f

(

 

x

) 0

.

</div><span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Câu 10. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn

_ab

1

_ln(

_ae

3

₎

_a

ab







. Giá trị của biểu thức

P



2

a b



bằng

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 11. Cho hàm số

_{f x}

_{( )}

_

_x

2

_{ }

₁

_x

_{và bất phương trình} 3

3

2019

(

) (

)

0

(

2019 )

x

x

x m f x m

f x

x













.

Ký hiệu M là giá trị nguyên nhỏ nhất của m để bất phương trình nghiệm đúng với

 

x



4;16



, M có số ước nguyên dương là

A. 16 B. 14 C. 20 D. 24

Câu 12. Cho hàm số

_{f x}

_{( )}

_{ }

_x

_x

2

_

₁

_{. Có bao nhiêu giá trị nguyên m nhỏ hơn 10 để bất phương trình sau}

nghiệm đúng với mọi giá trị x:

_{e f e}

x

( ). (

x

_{f m x}

_

)

_{ }

_{x m}

_.

A. 10 B. 11 C. 12 D. 9

Câu 13. Cho hàm

_{f x}

_{( ) 4}

_

_e

4x

_

_9log(

_{m x}

2

_{ }

₁

_mx

₎

9

_

₁₉₉₃

_{. Bất phương trình}

_{f x}

_{( )}

_

_f

₍

_{ }

_x

_{) 0}

_nghiệm

đúng với mọi giá trị x thì số nguyên m lớn nhất thu được có căn bậc 10 gần nhất với số nào

A. 20 B. 12 C. 13 D. 18

Câu 14. Cho hai số thực x, y thỏa mãn

_{( ln 2 2 )(1}

_x

_

x

_

_y

2

_{) 2}

_

_y

_{. Giá trị của tổng}

_{x y}

_

_bằng

A. 1 B. 2 C. – 1 D. 4

Câu 15. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện

_

₁₉₉₃

_ae

4

_

_{ln(1993 ) 4 (4}

_a

_

_

_a

2

_

_{9 ) 12}

_b

2

_

_ab





. Khi đó

giá trị biểu thức

_{10 ab}

12 _{gần nhất số nào sau đây}

A. 45 B. 56 C. 17 D. 29

Câu 16. Cho hàm số

23

( ) log

1

m x

f x

x





. S là tập hợp tất cả các giá trị m để

f a

( )



f b

( ) 3



với mọi số thực a, b

thỏa mãn điều kiện

_e

a b

_

_{e a b}

(

_

)

_{. Tính tích các phần tử của S.}

A. 27 B. – 27 C.

3 3

D. –

3 3

Câu 17. Cho các số thực x, y dương thỏa mãn

2 ln(

)

xey x

e

ey x y

x y

e





   



. Giá trị biểu thức

3

x



2

y

nằm

trong khoảng nào sau đây

A. (16;17) B. (15;16) C. (17;18) D. (19;20)

Câu 18. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện

(

ea



ln

a



1)(1



ab

) 2



ab

. Giá trị biểu thức

2

a



3

b

nằm trong khoảng nào sau đây

A. (8;9) B. (6;7) C. (7;8) D. (9;10)

Câu 19. Cho hệ

(

),

1993

1994

x yx

e

e x y

m

y



















với m là tham số lớn hơn 1.

Khi hệ có nghiệm duy nhất thì giá trị

log m

thu được gần nhất với

A. 866 B. 968 C. 722 D. 542

Câu 20. Cho hàm số

_{f x}

_{( ) 1993}

_

x

_

₁₉₉₃

x

_

_{ln( 4}

_x

2

_{ }

_{1 2 )}

_x

_{. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để bất}

phương sau nghiệm đúng với

_{ }

_x

_{(0;1) :}

_{f x}



3

_

₂

_x

2

_

₃

_{x m}

_



_

_f

₍₂

_{x x}

_

2

_{ }

_{5) 0}

_.

A. 7 B. 3 C. 9 D. 8

Câu 21. Cho hàm số

_{f x}

_{( )}

_

3

_{1993 4}

_

_x

_

3

_{1993 4}

_

_x

_

₍₉

x

_

_{9 ) 2019}

x

_

_x

_{. Tồn tại bao nhiêu số nguyên âm}

m để bất phương trình

f

(3sin

x



4cos )

x



f

(



m

) 0



có nghiệm ?

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

</div><span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

12

Câu 1. Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2

2 2

1

log (

3) log (

1)

4 2

3

2

x

 

x

 

x

  

x

x



.

A. 1 B. 2 C. – 1 D.

1



2

Câu 2. Tìm số giá trị nguyên của tham số m thuộc (– 10;10) để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

2 2 2 ₁

( 10 1)

_

x

_

( 10 1)

_

x

_

2.3

x  _.

A. 14 B. 13 C. 15 D. 16

Câu 3. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 100;100] để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt



2



2 2

log

_x

_

3log

_x

_

2

9

x

_

(

_m

_

1)3

x

_

_m

_

0

_.

A. 103 B. 102 C. 101 D. 100

Câu 4. Tồn tại bao nhiêu số ngun dương m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

2

22

2

1

log

2

1

2

2

x

mx

x

mx

x

x





_

_

_{  }



.

A. 4 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 5. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 20;20] để phương trình sau có nghiệm thuộc (0;2) ?

2 ₂ 2 ₂ 2 ₂

.9

x x

(2

1).6

x x

.4

x x

0

m





m







m





.

A. 15 B. 13 C. 12 D. 11

Câu 6. Cho các số thực x, y lớn hơn 1 thỏa mãn

log .log (6 ) 2log .log (2 ). 3 log (2 )

3

x

3

y



3

x

3

y





3

xy





4,5

.

Giá trị của biểu thức

x



2

y

gần nhất với số nào sau đây

A. 7 B. 8 C. 10 D. 9

Câu 7. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 1

2

2

_{ }

_x

2021; 2

y

_

log (

_x

_

2 ) 2

y

_

_{x y}

_

_?

A. 2020 B. 9 C. 2019 D. 10

Câu 8. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 10;10] để phương trình

₁₆

x2

_

_2.4

x21

_

₁₀

_

_m

_{có đúng hai}

nghiệm thực phân biệt ?

A. 7 B. 9 C. 8 D. 1

Câu 9. Tìm số nghiệm thực của phương trình

₂₀₁₈

x

_

_x

2

_

₂₀₁₆

_

3

₂₀₁₇

_

5

₂₀₁₈

_?

A. 3 B. 1 C. 4 D. 2

Câu 10. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn

x

log 73



y

log 117



z

log 2511



11

. Tính

x

log 732



y

log 1127



z

log 25112 .

A. 469 B. 2020 C. 2019 D.

76



11

Câu 11. Phương trình

_9.9

x22x

_

₍₂

_m

_

_1).15

x2 2x 1

_

₍₄

_m

_

_2).5

2x2 4x 2

_

₀

_{có đúng hai nghiệm thực phân biệt}

khi và chỉ khi m thuộc khoảng (a;b). Tính 2a + b.

A. 2 B. 0 C. 1 D. 3

Câu 12. Khoảng



k

;





là tập hợp tất cả các giá trị m để bất phương trình 2

2 2

log (2 ) 2(

x



m



1)log

x

 

2 0

có nghiệm

x



2

. Tính giá trị biểu thức

₁₆

_k

2

_

₄

_k

_.

A. 1993 B. 12 C. 60 D. 10

Câu 13. Cho hàm số

 

5 3 2

2

₁₆

₃

₄

₁₄

₂

₂₀₂₀

5

3

2

x x x

x x x

e

e

e

f x



m

_





e



_



m

_





e



_





_



e



_















</div><span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

thuộc

S

bằng

A. 7

8

 . B. 1

2. C. 2. D.

38 .

Câu 14. Tồn tại bao nhiêu số ngun m để phương trình

₂

sin2x

_

₂

1 cos 2x

_

_m

_{có nghiệm ?}

A. 3 B. 2 C. 1 D. 4

Câu 15. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

log

9

x



log

12

y



log (

16

x y



)

và

2

x

b a

y





với a, b nguyên

dương. Tính giá trị biểu thức ab.

A. 6 B. 5 C. 8 D. 4

Câu 16. Tồn tại bao nhiêu bộ số

( ; ; )

x y z

thỏa mãn *

9 6 4

9

4

1;

1;

; log

log

log

y

x

x

y

z

x

y

z









_





.

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

Câu 17. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn

log (2

4

a



3 ) log

b



10

a



log

25

b

. Tính

3 2 33 2 3

a

ab

b

a

ab

b









.

A.

25

29

B.

5

6

C.

25

27

D.

25

28

Câu 18. Cho các số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa mãn 2

2

log

_a

b

log .log

_b

c

_b

c

9log

_a

c

4log

_a

b

b







_

_









.

Tính giá trị biểu thức

_log

_log

2

a

b



b

c

.

A. 1 B. 0,5 C. 2 D. 3

Câu 19. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn

log

₅

x



log

₁₂

y



log

₈₄

z



log (

₈₅

x y z

 

)

. Khi đó giá trị biểu

thức

log 2020

_xyz nằm trong khoảng nào sau đây A.

1 3

;

2 2













B. (– 1;0) C.

3

;2

2













D.

1

0;

2













Câu 20. Tập hợp các giá trị m để phương trình

₁₉₉₃

x3  x2 2x m

_

₁₉₉₃

x2x

_

_x

3

_

₃

_{x m}

_{ }

₀

_{có ba nghiệm phân}

biệt có dạng (a;b). Tính giá trị tổng

a



2

b

.

A. 0 B. 2 C. – 2 D. 1

Câu 21. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m trên khoảng – 50;50) để bất phương trình

3

2

3

2

x xx x

m







nghiệm đúng với

mọi giá trị x dương.

A. 98 B. 50 C. 49 D. 51

Câu 22. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đồng thời

2 3 3

0

_{ }

_x

2020; 8

x

_

3 .4

_x

x

_

(3

_x

_

1).2

x

_

(

_y

_

1)

_x

_

(

_y

_

1)

_x

_.

A. 2021 B. 6 C. 2020 D. 11

Câu 23. Tồn tại b bao nhiêu số nguyên m để hệ phương trình sau có nghiệm

5 7 3 5 2

2 2

3

3

2(

1) 0,

ln (4

3

3) (

2)ln

1 0.

x y x y

_{x y}

x

y

m

x m

  







  







 





 



A. 2019 B. 6 C. 2020 D. 4

Câu 24. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình

( 2 1)

_

x

_

_m

( 2 1)

_

x

_

8

_{có hai nghiệm dương phân}

biệt ?

A. 8 B. 7 C. 10 D. 9

</div><span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

14

Câu 1. Có bao nhiêu số ngun dương m để bất phương trình

₂₀₁₉

sin2x

_

₂₀₁₈

cos2x

_

_m

_.2019

cos2x_{có nghiệm ?}

A. 1 B. 2020 C. 2019 D. 2018

Câu 2. Tính tổng các giá trị m thu được khi tồn tại duy nhất một cặp số (x;y) thỏa mãn

2 2

2 2

log (

2) 2 log (

1)

3

4

.

x

y

x y

x

y m







 

 









A. 20 B. 14 C. 46 D. 28

Câu 3. Cho hàm số

_{f x}

_{( )}

_{ }

_ln(

_x

2

_

_x

₎

_{. Tính giá trị biểu thức}

_e

f(1)

_

_e

f(2)

_{ }

_...

_e

f(2019)_.

A.

2020

2019

B. –

2019

2020

C.

2019

2020

D.

2019

e

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị m để tập nghiệm của bất phương trình sau chứa đúng hai số nguyên

2

2 2

log (

x



3

x m



) 2log (



x



1)

.

A. (3;4] B. (4;5] C. (2;3] D.





;2



Câu 5. Tìm điều kiện tham số m để phương trình

2

4 3

4 2

1

1

5

x x

m

m

 







có bốn nghiệm phân biệt.

A. (0;1] B. – 1;1] C.





;1



D.

( 1;0) (0;1)



_

Câu 6. Tính tổng các giá trị m để phương trình 2 2





2 1

2 3

3

x   x x m



log

_x _{ }_x

2

x m





2

có ba nghiệm phân biệt.

A. 3 B. 2 C. – 3 D. 2

Câu 7. Tập hợp tất cả các giá trị tham số m để phương trình

₈

x

_

_m

_.2

2x1

_

₍₂

_m

2

_

_1).2

x

_{ }

_{m m}

3

_

₀

_{có ba}

nghiệm thực phân biệt là khoảng (a;b). Tính ab.

A.

3

2

B.

2

2

C.

2 3

3

D.

4

3

Câu 8. Cho hàm số

_{f x}

_{( )}

_

_a

_{log 4}

_x

2

_{ }

₂

_{ab e}

₍

x

_

_e

x

_{) 6}

_

_{thỏa mãn}

_f

_{(log(log )) 4}

_e

_

_{. Giá trị của biểu thức}

(log(ln10))

f

bằng

A. 2 B. 8 C. 3 D. 4

Câu 9. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn

2 2 2

2

6

12

(

2)

(

2)

(

2)

18

a b c

a

b

c



 









 

 





. Giá trị a + b + c bằng

A. 0 B. 3 C. 4 D. 2

Câu 10. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) trong đó

0

 

x

2020

và

log

₂

2

6

8

2 2

1

1

y

x

y

x

x



_

_{  }





?

A. 1 B. 2 C. 2018 D. 2020

Câu 11. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x thực

2 23 3

2 log (



x

 

1) log (

mx



2

x m



)

.

A. 7 B. 5 C. 6 D. 8

Câu 12. Tính tổng các nghiệm của phương trình

log (cos ) 2log (cot )

2

x



3

x

trên đoạn [5;25].

A. 13



B. 7



C.

40

3



D.

70

3



Câu 13. Tìm số giá trị nguyên m thuộc [– 20;20] để phương trình sau có nghiệm

2 2 2

2

</div><span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

A. 12 B. 23 C. 25 D. 10

Câu 14. Cho hàm số

_{f x}

_{( ) ln(}

_

_x

2

_{ }

₁

_x

₎

_{. Tập nghiệm của bất phương trình}

_{f a}

₍

_{ }

₁₎

_f

_{(ln ) 0}

_a

_

_là

A. [0;1] B. (0;1] C.



1;





D.

(0;



)

Câu 15. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để hệ phương trình

2 2

2

2

2 ,

2

1 (

2).2 . 1

x y y

x y

x

y

m

y







 





 







có nghiệm duy nhất

A. 0 B. 1 C. 3 D. 2

Câu 16. Phương trình



2



2 3 1

3

log

_x

_

3

_x

_{ }

2 2

_

5

x  x

_

2

_{có hai nghiệm phân biệt}





1

,

2 1 2

x x x



x

thỏa mãn

điều kiện ₁

2

₂

2

a

b

x



x





với a, b nguyên dương. Tính a – 2b.

A. 5 B. – 1 C. 1 D. 9

Câu 17. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc – 2;7] để phương trình

_{3 .2}

_x

2 2x m

_

₇

_{có hai nghiệm phân biệt ?}

A. 5 B. 8 C. 7 D. 6

Câu 18. Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình

12

22

2

1

log

2

5

2

xx

x

x









_

_









.

A. 0 B. 2 C. 1 D. 0,5

Câu 19. Tồn tại bao nhiêu số nguyên

m



[– 2019;2019] để phương trình

2019

2

1

2

1

0

1

2

x

x

mx

m

x

x

















có

ba nghiệm thực phân biệt ?

A. 4038 B. 2019 C. 2017 D. 4039

Câu 20. Tìm điều kiện tham số m sao cho

6

x

_{ }

(2

_m

).3

x

_{   }

_m

0,

_x

(0;1)

_.

A. m < 1,5 B.

0

 

m

1,5

C.

m



1,5

D.

m



3

Câu 21. Tìm tập hợp tất cả các giá trị m để hàm số

y

ln(3

x

1)

m

2

x



 



đồng biến trên

1

;

2



_











.

A.

2

;

9











B.

7

;

3



_









C.

4

;

3



_



 





D.

1

;

3





  





Câu 22. Phương trình

_{2 .3}

x2 mx1

_

₆

_{có hai nghiệm mà tổng của chúng bằng}

2

log 81

. Giá trị tham số m thu được nằm trong khoảng nào

A. (– 7;– 2) B. (– 2;5) C. (6;7) D. (5;6)

Câu 23. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m lớn hơn – 20 để phương trình sau có nghiệm lớn hơn 1

2

2 2

log (

) (2

1)log (

) 2 0

x

x m





x



x m



 

.

A. 23 B. 22 C. 20 D. 18

Câu 24. Tồn tại bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn

ln

x



ln(

x

 

1) ln(

x

  

2) ... ln(

x



2019) ln(2020!)



?

A. 1 B. 2019 C. 0 D. 2020

Câu 25. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình

2

log(

1)

x

m

x







có nghiệm duy nhất ?

A. 1 B. 0 C. 2 D. Vô số

Câu 26. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương (a;b) thỏa mãn đẳng thức

3 2 23

log (

a b

 

) (

a b



)



3(

a



b

) 3 (



ab a b

  

1) 1

.

A. 2 B. 3 C. 1 D. Vô số

</div><span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

16

Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên

m



(– 5;5) để hàm số

_y

_{  }

_x

3

₃

_x

2

_

_{3 ln}

_{m x}

_

₂

_{nghịch biến trên}

_(0;

_

₎

_?

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

Câu 2. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi ₄

3

3

0;log

2

x

_{ }





_





?

.16

x

(2

1).12

x

.9

x

0

m



m





m



.

A. 6 B. 2 C. 5 D. 0

Câu 3. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đồng thời 2 ₂

0

2020

2.625

x

10.125

y

3

4

1

x

y

x

 















A. 2020 B. 674 C. 2021 D. 1347

Câu 4. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn ₁

2

1

2020

2

y

2

log (

2 )

y

x

y

x

x



 





 







A. 2021 B. 10 C. 11 D. 2020

Câu 5. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên (a;b) thỏa mãn điều kiện 2 2 2

2 2

16(

8)

log

4

(

2)

a

b

b a

b



_

_

_



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 6. Tập hợp (a;b) bao gồm tất cả các giá trị m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

3

2 3 3 2

2

x  m x

_{ }

1 2

_x

_

2(

_x

_

6

_x

_

9

_{x m}

_

)

_.

Tính giá trị biểu thức

_a

2

_

_{ab b}

_

2_.

A. 112 B. 124 C. 64 D. 156

Câu 7. Cho hàm số

_{f x}

( ) 1993

_

x

_

1993

x_{. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương trình}

(4 )

(9

1993) 0

f

m



f m





?

A. 153 B. 69 C. 96 D. 72

Câu 8. Tính tổng các giá trị m thu được khi tồn tại duy nhất một cặp số (x;y) thỏa mãn

2 2

2 2

log (

2) 2 log (

1)

3

4

.

x

y

x y

x

y m







 

 









A. 20 B. 14 C. 46 D. 28

Câu 9. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn đồng thời

2

6

2 2 2

1

10

log(10

20

20) 10

y

2

1

x

x

x

y

x

x

  





















A. 3 B. 4 C. 2 D. 1

Câu 10. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 100;100] để phương trình

2019

x

_

_mx

_

1

_{có hai nghiệm phân}

biệt ?

A. 94 B. 92 C. 184 D. 93

Câu 11. Đường thẳng

x k



cắt đồ thị hàm số ylog5x và đồ thị hàm sốylog5



x4



. Khoảng cách giữa các

giao điểm là 1

2. Biết k a  b, trong đó a b, là các số nguyên. Khi đó tổng

a b



bằng

</div><span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Câu 12. Tập hợp (a;b) gồm tất cả các giá trị m để phương trình

(

_m

_

5).3

x

_

(2

_m

_

2).2 . 3

x x

_{ }

(1

_m

).4

x

_

0

_có

hai nghiệm phân biệt. Tính a + b.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

Câu 13. Có bao nhiêu số ngun m thuộc (– 10;10) để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt mà tích hai

nghiệm > 2

2

2 2

log log 2

3

x

_

2(

_m

_

3)3

x

_

_m

_{ }

3 0

_.

A. 9 B. 16 C. 10 D. 11

Câu 14. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc [1;2] ?

4 82 2

2log

x



2log

x



2

m



2018 0



.

A. 7 B. 9 C. 8 D. 6

Câu 15. Tính tổng các giá trị m để phương trình 2 2

2

1

2

4

6

log

2(

)

2

1

x

x

x

x

x m

x m





_

_

_{ }





có đúng ba nghiệm

phân biệt.

A. 2 B. 3 C. 1 D. 0

Câu 16. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc (– 10;10) để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

23 9

log (

1) log 9(

1)

m

x

x

 



_

x





_

.

A. 1 B. 0 C. 11 D. 10

Câu 17. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để tập nghiệm bất phương trình

₍₃

x2

_

₃₎₍₃

x

_

_{2 ) 0}

_m

_

_chứa

không quá 9 số nguyên ?

A. 3281 B. 3283 C. 3280 D. 3279

Câu 18. Tìm số nghiệm thực của phương trình 2 1 2

2 2

2

x 

.log (

_x

_{ }

1

_x

) 4 log (3 )

_

x

_x

_.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 19. Tìm tập hợp tất cả các giá trị m để bất phương trình

12

x

_{ }

(2

_m

).6

x

_

3

x

_

0

_đúng

_{ }

_x

₀

_.

A. m < 4 B. m > 4 C.

m



4

D. 0 <

m



4

Câu 20. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình



7 4 3



 

sinx



7 4 3





sinx



4

trên





2 ;2

 



.

A.

3

2



 _{B. 0} _C.

2



 _D.

_

Câu 21. Tồn tại bao nhiêu số ngun m thuộc [– 10;10] để phương trình sau có nghiệm nhỏ hơn – 1

2

2 2

log

x

 

1 log (

mx m



)

.

A. 10 B. 9 C. 1 D. 20

Câu 22. Phương trình

₄

x1

_

₍₈

_m

_

_5).2

x

_

₂

_m

_{ }

_{1 0}

_{có hai nghiệm phân biệt với tích của chúng bằng – 1. Khi}

đó m thuộc khoảng nào sau đây

A. (– 5;– 3) B. (– 3;0) C. (0;1) D. (1;3)

Câu 23. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x

2 2

ln(7

x



7) ln(



mx



4

x m



)

.

A. 0 B. 35 C. 12 D. 14

Câu 24. Tìm điều kiện tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất

2

2 1 2 (1 ) 2 2

1

_

_

2

_x

_

_{m m}

(

_

1)

_x

_

2 .2

_

mx x

_

(

_x

_

_mx

_

1)2

mx m

_

_x

_

_{m x}





.

</div><span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

18

Câu 1. Cho hàm số

( ) log

₂

2

1

2

1

xx

f x







. Tính

f f

( (1))



f f

( (2)) ...

 

f f

( (40))

.

A. 410 B. 820 C. 40 D. 1640

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình sau có nghiệm thực: 2

2 2

log (

x



3

x



2 ) log (

m



x m



)

.

A. 10 B. 9 C. Vô số D. 8

Câu 3. Tập hợp [a;b) bao gồm tất cả các giá trị m để phương trình

_ln(3

_{x mx}

_

_{ }

_{1) ln(}

_{ }

_x

2

₄

_x

_

₃₎

_có

nghiệm. Giá trị biểu thức a + b là

A. 4 B. 7 C.

22

3

D.

10

3

Câu 4. 4 số nguyên dương

a b c d

, , ,

với

a



1,

c



1

thỏa mãn

log

3

;log

5

2

4

a

b



c

d



và

a c

 

9

. Tính b – d.

A. 93 B. 21 C. 9 D. 13

Câu 5. Phương trình

4

x y

_

3

x2y2_{có bao nhiêu nghiệm (x;y) với x là số nguyên ?}

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

Câu 6. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc (0;4)

2 2

1 1

2 2

log (

x

  

2) 1 log (

x



2

x m



)

.

A. Vô số B. 4 C. 5 D. 3

Câu 7. Tính tổng các giá trị m để phương trình 2 2 2

4 5 24 5

2

x x m

log

(

1)

x x

m

  

 





.

A. 1 B. 0 C. – 2 D. 7

Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm

_y

_

_x

3

_

₉

_x

2

_

₍

_m

_

₂₀₀₂₎

_x

_

_12ln

_x

_{nghịch biến trên (0;3) ?}

A. 2019 B. 2022 C. 2020 D. 2021

Câu 9. Phương trình

₄

4x9y

_

₉

4x29y2_{có bao nhiêu nghiệm với (x;y) với y là số nguyên ?}

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

Câu 10. Cho hai hàm số

( )

2

5

; ( )

1

5

x

ln(

1)

1

mx m

f x

g x

x

x

 











. Có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hai

hàm số cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt ?

A. 11 B. 8 C. 10 D. 9

Câu 11. Tồn tại bao nhiêu số nguyên a thuộc (– 2019;2019) để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

1

1

ln(

_x

_

5) 3



x

_

1

 

x a

.

A. 2015 B. 2014 C. 2022 D. 0

Câu 12. Biết rằng tồn tại duy nhất cặp số thực (x;y) thỏa mãn 1 2

2

2 (

_

_{x y e}

_

)

x y 

_

log (2

_y

_{  }

_y

1) 0

_{. Giá trị}

biểu thức 5x – 3y khi đó bằng

A. 0 B. – 1 C. 1 D. 2

Câu 13. Biết các số thực x, y thỏa mãn

_{3 (3}

2y x

_

_{3 ) 81(3}

4y

_

x

_

_{3 )}

4y _{. Giá trị biểu thức x + 6y bằng}

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 14. Bất phương trình 1

4 2

2 .log

x

_{x m}

_

.2

x

_

log

_{x m}

_{ }

0

_{. Số giá trị nguyên dương m để bất phương trình}

</div><span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

A. 3 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 15. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) với – 5 < y < 5 thỏa mãn phương trình





2

4 4 2 12

3 1

3

log (4

_x

_

4

_x

_{ }

3) 2020

x  x y

.log 2

_y

_

2

_

0

A. 1 B. 5 C. 8 D. 0

Câu 16. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

_{y }

_{ }

_2019;2020

3

_





và

4 2

1

1

log

log (

)

2

4

x

x

y x





 















.

A. 84567 B. 93781 C. 90787 D. 60608

Câu 17. Cho các số không âm a, b thỏa mãn 2 2 4

2

1; 2

a b

2

b a

1 log

34 2

a b

_{ }



_



_{ }

_

a b

_

_{. Có bao nhiêu}

số tự nhiên không vượt quá tổng a + b ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 18. Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

log (

2

2 ) log (3

3

2 )

yy y

x







?

A. 2 B. Vô số C. 0 D. 1

Câu 19. Tìm điều kiện tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

3

2 3 3 2 2 1

2

x  m x

_

(

_x

_

6

_x

_

9

_{x m}

_

).2

x

_

2

x

_

1

_.

A.

m



4

B.

4

 

m

8

C.

m



8

D.

4

8

m

m





 



Câu 20. Phương trình

(4

_

15)

x

_

(2

_m

_

1)(4

_

15)

x

_{ }

6 0

_{có hai nghiệm phân biệt}

1

,

2

x x

thỏa mãn

1

2

2

x



x

, khi đó giá trị tham số m thu được thuộc khoảng nào

A. (3;5) B. (– 1;1) C. (1;3) D.

(

 

; 1)

Câu 21. Phương trình

_{log (}

2

_{1) 4log (}

_{1) 4}

2

_{8 0}

a

x

 

a

x

 

m

 

với

0

 

a

1

có hai nghiệm

x x

1

,

2thỏa mãn điều

kiện

x x

_{1 2}

 

x

₁

x

₂



15

. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A.

0;

3

2

a 

_



_





B.

3

;2

2

a 

_



_





C.

5

2;

2

a 

_



_





D.

5

;4

2

a 

_



_





Câu 22. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

_4.2

x x( 2y)

_

₂

x y

_

₂

_x

3

_{ }

_{6 2(}

_x

_

₁₎₍

_y

_

₁₎

_?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 23. Cho hàm số

_{f x}

( ) 2

_

x

_

2

x_{. Gọi}0

m

là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn điều kiện

12

( )

(2

2 ) 0

f m



f

m





. Khi đó

m

0thuộc khoảng nào sau đây ?

A. [1513;2019) B. [1009;1513) C. [505;1009) D. [1;505)

Câu 24. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình

_9.3

2x

_

_m

₍₄

4

_x

2

_

₂

_x

_{ }

_{1 3}

_m

_

_3).3

x

_{ }

_{1 0}

_{có đúng}

ba nghiệm thực phân biệt ?

A. Vô số B. 3 C. 1 D. 2

Câu 25. Giả sử m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số

_{f x}

( ) 31

_

x

_

3

x

_

_mx

_trên

_

_{là 2. Khi đó m}

thuộc khoảng nào

A. (– 10;– 5) B. (– 5;0) C. (0;5) D. (5;10)

Câu 26. S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

5

x

_

10

_

_m

25

x

_

4

_{có nghiệm duy}

nhất. Số tập hợp con của S là

A. 3 B. 4 C. 16 D. 15

</div><span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

20

Câu 1. Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn [0;18] để phương trình sau có đúng một nghiệm dương

4

(

x



2).log (

x m



)

 

x

1

.

A. 16 B. 19 C. 17 D. 18

Câu 2. Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2 2

2 2

log (

x

 

3) log

x x





4

x

 

1 0

.

A. 4 B. 6 C. 5 D. 3

Câu 3. Cho hàm số

1

( ) ln

2

x

2

x

f x



x





. Tính tổng bình phương các giá trị m để phương trình sau có đúng ba

nghiệm thực phân biệt:

1

₍

2

₄

_{7) 0}

4

3

f

f x

x

x m



















_

_







.

A. 10 B. 14 C. 13 D. 5

Câu 4. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 2019;2019] để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

2020

₉

2020

.(ln 2020

x

)

. ln 2020

x

x

x e

m

x e

x

x















_





_





.

A. 2016 B. 2015 C. 2020 D. 2019

Câu 5. Cho hàm số

_{f x}

_{( )}

_

_x

5

_

₍

_x

_

₂₎

5

_

₍

_x

_

₃₎

3_{. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên m để phương trình}

(

x

)

(

5)

f me



f x



có hai điểm phân biệt.

A. 1540 B. 1485 C. 28 D. 136

Câu 6. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình

_x

3

_

₍

_m

3

_

_{4 )}

_{m x m}

_

_.ln(

_x

2

_

₁₎

_{nghiệm đúng với}

mọi số thực x ?

A. 2 B. 1 C. 3 D. Vơ số

Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên x để tồn tại duy nhất cặp (x;y) thỏa mãn 2

3 ₃

log (2

 

x

2

xy x



) log



y

?

A. 4 B. 3 C. 5 D. 2

Câu 8. Tồn tại bao nhiêu cặp số thực (x;y) thỏa mãn hệ

5 3 2

3

( 5 4 ) log 52

3

5 (

4)

4

1 (

3)

8

x x x

_y

y

y

y

  



_{ }

_





  







A. 1 B. 2 C. 5 D. Vô số

Câu 9. Cho hàm số

_{f x}

_{( ) 3}

_

_x

7

_{ }

_x

₃

m_{. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình}

_{f f x}

_{( ( ))}

_

_x

_có

nghiệm thuộc [1;3].

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

Câu 10. Cho hàm số

_{f x}

_{( )}

_

_e

x

_

_x

2

_

_x

_{. Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình sau có nghiệm}

thuộc khoảng



0;ln10



:

_f



_{f x}

_{( )}

_

_m



_

_x

2

_

_m

_.

A. 7 B. 8 C. 6 D. 5

Câu 11. Tồn tại bao nhiêu số tự nhiên n có bốn chữ số thỏa mãn

₍₂

n

_

_{3 )}

n 2020

_

₍₂

2020

_

₃

2020

₎

n_?

A. 8999 B. 2019 C. 1010 D. 7979

Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên âm m để phương trình

3

2log (9

3

) 7

x

_

_{x m}

_

_

_{x m}

_

_{có hai nghiệm phân biệt.}

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

Câu 13. Cho hai số dương a, b khác 1 thỏa mãn 2

16

log

;log

4

a

b

b

a

b





. Tính a + b.

</div><span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Câu 14. Cho hàm số

_{f x}

_{( )}

_

_e

x

_{ }

_{x m}

2

_

_m

_{. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau}

có nghiệm thuộc



0;ln10



:

_{f f x}

_{( ( )}

_

_m

2

₎

_{ }

_{x m}

2_.

A. 2 B. Vô số C. 0 D. 4

Câu 15. Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình

₉

4x x 2

_

_4.3

4x x 2

_

₂

_m

_{ }

_{1 0}

_{có nghiệm ?}

A. 27 B. 25 C. 23 D. 24

Câu 16. Tập hợp tất cả các giá trị x không thỏa mãn bất phương trình

₉

x24

_

₍

_x

2

_

_4).2019

x2

_

₁

_{là khoảng}

(a;b). Tính giá trị biểu thức b – a.

A. 5 B. – 1 C. – 5 D. 4

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình

5

3log (8

2

) 2

x

x



x m







m

có hai nghiệm phân biệt.

A. 17 B. 15 C. 16 D. 18

Câu 18. Cho hàm số

f x

( ) ln 1

1

₂

x







_



_





, biết rằng

f

(2)



f

(3) ...

 

f

(2018) ln



a



ln

b



ln

c



ln

d

với a,

b, c, d là các số nguyên dương, trong đó a, c, d là các số nguyên tố tăng dần. Tính

P a b c d

   

.

A. 1986 B. 1698 C. 1689 D. 1968

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

x x

₁

,

₂thỏa mãn 2 2

1 2

1

x



x



2 2 2 2

8 1

2

3log (2

x

 

x

2

m



3

m

) log



x

 

(2

m x m m

)

 



0

.

A. 1 B. 2 C. 5 D. 11

Câu 20. T = [c;d] là tập hợp tất cả các giá trị a để phương trình sau có nghiệm

2 2 2 2 4 2 2

2 2

2(1



a x

)



2

a



log (

x



3

x

 

3)

x



log (3

x



6

x



2

a

 

3) 4

. Giá trị biểu thức

₍

_d

3

_

_c

3 5

₎

_{thuộc khoảng nào}

A. (650;750) B. (1000;1500) C. (550;650) D. (200;450)

Câu 21. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc – 10;10) để hai đồ thị hàm số sau cắt nhau, trong đó có đúng hai

giao điểm có hồnh độ dương:

(

1) 2

2

x m

m

y

x

 





và

ln( 1)

1

1

1

2

2

1

3

xx

x

y

x





 



_{ }









 

.

A. 19 B. 8 C. 10 D. 12

Câu 22. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình

(3.2 .log

x

_x

_

12log

_x

_

2

x

_

4) 5

x

_

_m

_

0

_có

đúng hai nghiệm thực phân biệt ?

A. 23 B. 22 C. 25 D. 24

Câu 23. Tồn tại bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn 2 2

3 2

log (

x



2 ) log (

y



x



y

)

?

A. 2 B. 1 C. Vô số D. 3

Câu 24. Cho 7 12 54

1

log 12

x

; log 24

y

; log 168

axy

bxy cx











với a, b, c là các số nguyên. Tính

a



2

b



3

c

.

A. 4 B. 10 C. 19 D. 15

Câu 25. Tập hợp S = [a;b] bao gồmcác giá trị tham số m để bất phương trình sau đúng với mọi giá trị

x



 

0; 2

:

2 2

2 4

log

x



2

x m

 

4 log (

x



2

x m



) 5



. Tính giá trị biểu thức a + b.

A. 4 B. 2 C. 0 D. 6

Câu 26. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m < 10 để hàm số

_y

_

_ln(

_x

2

_

_mx

_

₁₎

_{đồng biến trên}

_(0;

_

₎

_?

A. 10 B. 11 C. 8 D. 9

</div><!--links-->