On Tap Toan 9 - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (164 trang)
  1. Trang chủ
  2. >>
  3. Kỹ Thuật - Công Nghệ
  4. >>
  5. Cơ khí - Chế tạo máy
On tap Toan 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.64 MB, 164 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span>II. NỘI DUNG CÁC CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT) Tiết 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Luỹ thừa của một số hữu tỷ: a) Tính chất: a n = a1 .a .a ... 424 3a. a0 = 1, a1 = a (a ≠ 0). (n ∈ N). (n thừa số a) a m .a n = a m + n. am:an = am-n. (m, n ∈ N ). (m, n ∈ N,m ≥ n) n. m n. (x ) = x.  x xn (x.y) = x .y ;   = n y  y. m.n. n. n. n. (y. ≠ 0). b) Ví dụ: a) 3x5. 5x2 = 15x5+2=15x7 b) 15m9 : 3m7 = 5m2 2. Nhân đơn thức với đa thức: a) Công thức:. A(B + C) = AB + AC ; A(B - C) = AB – AC. b) Ví dụ: 1. 5x(3x2 - 4x + 1) = 5x.3x2 + 5x(-4x) + 5x.1 = 15x3 – 20x2 + 5x 2. (2 3 + 5 ) 3 - 60 = 2 3 3 + 5 3 − 4.15 = 6 + 15 − 2 15 = 6 − 15 3. Nhân đa thức với đa thức: a) Quy tắc: Nhân một đa thức với một đa thức ta nhân lần lượt từng số hạng của đa thức này với đa thức kia rồi cộng tổng các tích vừa tìm được. b) Công thức. (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD. c) Ví dụ: 1. (x - 2)(6x2 - 5x + 1) = x.6x2 + x(-5x) + x.1 + (-2)6x2 + (-2)(-5x) + (-2).1 = 6x3 - 5x2 + x - 12x2 + 10x - 2 = 6x3 - 17x2 + 11x - 2. 2. (1 - x )(1 + x + x ) = 1 +. x + x − x − x x − x x = 1− x x. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài 1. Thực hiện phép tính: 1. <span class='text_page_counter'>(2)</span> 2 3. a) (3xy - x2 + y) x2y. b) (5x3 - x2)(1 - 5x). Giải: 2 3. 2 3. 2 3. 2 3. a) (3xy - x2 + y) x2y = 3xy. x2y + (-x2). x2y + y. x2y = 2x3y2 -. 2 4 2 x y + x2y2 3 3. b) (5x3 - x2)(1 - 5x) = 5x3 - 25x4 - x2 + 5x3 = - 25x4 + 10x3- x2 Bài 2. Tìm x biết: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30 Giải: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30 36x2 - 12x - 36x2 + 27x = 30 15x = 30 ⇒ x = 2 Bài 3. Rút gọn biểu thức: ( 28 − 12 − 7 ) 7 + 2 21 = 4.7 . 7 − 4.3. 7 − 7 . 7 + 2 21 = 2 7. 7 − 2 3. 7 − 7. 7 + 2 21 = 2.7 – 2 21 - 7 + 2 21 = 7 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài 1. Tính: 1 2. 1 2. a) ( x + y)( x + y). b) (x -. 1 1 y)(x - y) 2 2. Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau (với a ≥ 0 ): a) 3a . 27a b) 9a 2b 4 c) 3a 3 12a Bài 3. Triển khai và rút gọn các biểu thức sau: (với x, y không âm) a) ( x + 2 )( x − 2 x + 4 ). b) ( x + y )( x 2 + y − x y ). Tiết 2 : TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC (Tiếp) I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Chia đa thức cho đơn thức: * Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau. Ví dụ: (15x2y3 + 12x3y2 - 10 xy3) : 3xy2 = (15x2y3 : 3xy2) + (12x3y2 : 3xy2) + (-10xy3 : 3xy2) 2. <span class='text_page_counter'>(3)</span> = 5xy + 4x2 -. 10 y 3. 2. Chia đa thức một biến đã sắp xếp. Ví dụ: Thực hiện phép chia: 1. (6 x 2 + 13 x − 5) : (2 x + 5) Giải: 6 x 2 + 13 x − 5. 2x + 5. - ( 6 x 2 + 15 x ). 3x − 1. −2 x − 5. - ( −2 x − 5) 0 2. Sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia: (12 x 2 − 14 x + 3 − 6 x 3 + x 4 ) : (1 − 4 x + x 2 ). Giải: Ta có 12 x 2 − 14 x + 3 − 6 x3 + x 4 = x 4 − 6 x3 + 12 x 2 − 14 x + 3 và 1 − 4 x + x 2 = x 2 − 4 x + 1 x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 14 x + 3. - ( x 4 − 4 x3 + x 2 ). x2 − 4 x + 1. x2 − 2x + 3. −2 x3 + 11x 2 − 14 x + 3. - ( 2 x3 + 8 x 2 − 2 x ) 3 x 2 − 12 x + 3 −(3x 2 − 12 x + 3). 0. 3. Tính chất cơ bản của phân thức: a) Định nghĩa phân thức đại số: Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng. A , trong đó A, B là các đa thức và B B. khác đa thức 0. Ví dụ:. 1 6x2 y2 ; 5 8x y x+2. b) Phân thức bằng nhau:. Ví dụ:. A C = B D. nếu AD = BC. x +1 1 = vì (x +1)(x - 1) = x2 - 1 2 x − 1 x -1. 3. <span class='text_page_counter'>(4)</span> c) Tính chất cơ bản của phân thức: A A.M A A:N ; = = B B.M B B:N d) Quy tắc đổi dấu:. A B. =. -A ; -B. A B. (M ≠ 0; N ≠ 0; B ≠ 0). = −. A -A = − -B B. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài 1. Các phân thức sau có bằng nhau không?. x − x2 x = a) 2 5 x − 5 5( x + 1). b). x 2 + 8 3x 2 + 24 x = 2x −1 6x − 3. Bài 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để rút gọn phân thức: 45 x(3 − x) − 45 x( x − 3) = = –3 15 x( x − 3) 15 x( x − 3). Bài 3. Tính: a). 2300 23. b). 63 x 3 với x > 0 7x. Giải: a). 2300 = 23. 23.100 23. 100 = = 100 = 10 23 23. b). 63 x 3 = 7x. 9.7 x.x 2 3x 7 x = 7x 7x. = 3x. với x > 0. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài 1. Rút gọn phân thức: a). 6x2 y2 8x y 5. b). 10 xy 2 ( x + y ) 15 xy( x + y ) 2. Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau: a). ( x y + y x )( x − y ) = x− y xy. b). x 3 + 3 xy + 2 y 2 1 = 3 2 2 3 x + 2 x y − xy − 2 y x− y. với x > 0 và y > 0. TIẾT 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ. 4. <span class='text_page_counter'>(5)</span> I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Ví dụ: a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3) b) x - 2 x y +5 x - 10y = [( x )2 – 2 y =. x ] + (5 x - 10y). x ( x - 2y) + 5( x - 2y). = ( x - 2y)( x + 5) 2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) Phương pháp đặt nhân tử chung : Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác. Công thức:. AB + AC = A(B + C). Ví dụ: 1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2) 2. 3x + 12 x y = 3 x ( x + 4y) b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức. * Những hằng đẳng thức đáng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A + B)(A - B) (A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3 A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1. x2 – 4x + 4 = ( x − 2 ). 2. 2. x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3) 3. ( x + y) 2 − ( x − y )2 = [ ( x + y) + ( x − y )][( x + y) − ( x − y) ] = 2 x.2 y = 4 xy Cách khác: ( x + y) 2 − ( x − y )2 = x 2 + 2 xy + y 2 − ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = 4 xy 5. <span class='text_page_counter'>(6)</span> c) Phương pháp nhóm hạng tử: Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. Ví dụ: 1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2 – 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y) = (x – 2y)(x + 5) 2. x - 3 x + =. x y – 3y = (x - 3 x ) + ( x y – 3y). x ( x - 3) + y( x - 3)= ( x - 3)( x + y). II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2) b) 2(x + 3) – x(x + 3) c) x2 + 4x – y2 + 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y) Bài 2: Giải phương trình sau : 2(x + 3) – x(x + 3) = 0 x + 3 = 0  x = −3 ⇔ ( x + 3)( 2 − x ) = 0 ⇔  ⇔ 2 − x = 0  x = 2 Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 10( x - y) – 8y(y -. x). b) 2 x y + 3z + 6y +. xy. Bài 2: Giải các phương trình sau : a) 5 x ( x - 2010) -. x + 2010 = 0. b) x3 - 13 x = 0. TIẾT 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (Tiếp) I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm) Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c ( a ≠ 0 ) nếu b1b2 = ac  b1 + b2 = b Ví dụ: a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1 6. <span class='text_page_counter'>(7)</span> = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1) b) y − 3 y + 2 = y − y − 2 y + 2 = =. y. (. (. ) (. y −1 − 2. y −2. )(. ). y −1. ). y −1. e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử: Ví dụ: a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2 = (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y) b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x = (x + 2)2 - ( 2 x ) = ( x − 2 x + 2 )( x + 2 x + 2 ) 2. g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ: a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b) =(a - b) (a2 - b2) = (a - b) (a - b) (a + b) = (a - b)2(a + b) b) 27 x3 y − a3b3 y = y ( 27 x3 − a 3b3 ) 3 = y (3x)3 − ( ab )   . = y ( 3x − ab ) ( 9 x 2 + 3xab + a 2b 2 ) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a). 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) = ( 2 x ) − y 3  + ( 4 x 2 − y 2 )   2 = ( 2 x − y ) ( 2 x ) + 2 xy + y 2  + ( 2 x + y )( 2 x − y )   3. = ( 2 x − y ) ( 4 x 2 + 2 xy + y 2 + 2 x + y ). b) x2 + 5x - 6 = x2 + 6x - x - 6 = x(x + 6) - (x + 6) = (x + 6)(x - 1) c) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2 = (a2 + 4)2 - ( 8 a)2 7. <span class='text_page_counter'>(8)</span> = (a2 + 4 + 8 a)( a2 + 4 - 8 a) Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a) (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) b) (x2 - 5x + 6):(x - 3) Giải: a) Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1) nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1) Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6. b). = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2) nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2) III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Rút gọn các phân thức sau: a). x 2 +xy-y 2 2x 2 -3xy+y 2. b). 2x 2 -3x+1 x 2 +x-2. Bài 2: Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm) a) xy + y x + x + 1. b). a 3 − b3 + a 2b − ab 2. TIẾT 5. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số: Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung. Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu) Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau:. 5 7 và 12 30. * Bước 1: Tìm BCNN (12;30) = 60 * Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu:. 60:12=5 60:30=2. * Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng.. 8. <span class='text_page_counter'>(9)</span> 5 5.5 25 = = 12 12.5 60 7 7.2 14 = = 30 30.2 60 2. Quy đồng mẫu nhiều phân thức: Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau: - Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung. - Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức. - Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của. 3x x+3 và 2 2x + 4 x −4. * Bước 1: Tìm MTC. - Phân tích các mẫu thành nhân tử. 2x +4 = 2(x + 2) x2 - 4 = (x - 2) (x + 2) - MTC là: 2(x - 2) (x + 2) * Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu. +) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2) +) 2(x - 2)(x + 2): (x2 - 4) = 2 * Bước 3 : Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tương ứng. 3x ( x − 2 ) 3x 3x = = 2 x + 4 2( x + 2) 2 ( x + 2 )( x − 2 ). 2 ( x + 3) x+3 x+3 = = 2 x − 4 ( x + 2)( x − 2) 2 ( x + 2 )( x − 2 ). II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:. 5 3 và 2 2x + 6 x −9. MTC: 2(x - 3)(x + 3) 5 5 5( x − 3) = = 2x + 6 2( x + 3) 2( x + 3)( x − 3) 3 3 3.2 6 = = = x 2 − 9 ( x + 3)( x − 3) 2( x + 3)( x − 3) 2( x + 3)( x − 3) III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu với một phân thức để tìm MTC thuận tiện hơn). 9. <span class='text_page_counter'>(10)</span> a). 4x 2 − 3x + 5 ; x3 −1. 1 − 2x x2 + x +1. b). 10 ; x+2. 5 2x − 4 TIẾT 6. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC (Tiếp). I. Luyện tập: Bài 1: Quy đồng mẫu phân thức sau:. 2x x và 2 x − 8x + 16 3x − 12x 2. Phân tích các mẫu: x2 - 8x + 16 = (x - 4)2 3x2 - 12x = 3x(x - 4) MTC: 3x(x - 4)2 2x 2x 2x.3x 6x 2 = = = x 2 − 8x + 16 ( x − 4) 2 3x ( x − 4) 2 3x ( x − 4) 2 x x x ( x − 4) = = 3x − 12x 3x ( x − 4) 3x ( x − 4) 2 2. Bài 2: Rút gọn biểu thức :. 1 1 + 2+ 3 2− 3. Giải: MTC : (2+ 3 )(2- 3 ) Quy đồng:. 1 1 2− 3+2+ 3 4 + = = =4 4−3 1 2+ 3 2− 3. Bài 3: Giải phương trình:. x+2 1 2 = + x − 2 x x ( x − 2). Giải: ĐKXĐ: x ≠ 0;x ≠ 2. x+2 1 2 = + ⇒ x 2 + 2x = x − 2 + 2 ⇔ x 2 + x = 0 x − 2 x x ( x − 2).  x = 0 ( k TM®K ) ⇔ x ( x + 1) = 0 ⇔  .Vậy phương trình có tập nghiệm S = {−1}  x = −1 ( TM®K ). II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài1: Quy đồng mẫu các phân thức sau: a). x+ y x− y ; ; x− y x+ y. b). 1 1 ; ; x+y x−y 10. <span class='text_page_counter'>(11)</span> 3 2 3 6 6+2 −4 = 2 3 2 6. Bài 2: Chứng minh đẳng thức :. TIẾT 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Cộng hai phân thức cùng mẫu: * Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. A C A+C + = B B B. Ví dụ: Tính: a). x2 4x + 4 x 2 + 4x + 4 x + 2 + = = 3x + 6 3x + 6 3x + 6 3. b). x2 2 .x + 2. +. 2 2 .x + 2 2 .x + 2. x 2 + 2 2 .x + 2. =. 2 .x + 2. (x + 2 ) = x + 2 2 (x + 2 ) 2 2. =. 2. Cộng hai phân thức không cùng mẫu: * Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Ví dụ:. y − 12 6 + 2 6 y − 36 y − 6y. MTC: 6y(y - 6) y − 12 6 y − 12 6 + 2 + = (y -12)y + 6.6 = 6 y − 36 y ( y − 6) y − 6 y 6( y − 6) 6 y( y − 6) 6y(y-6). =. y 2 − 12 y + 36 ( y − 6) 2 y−6 = = 6 y ( y − 6) 6 y ( y − 6) 6y. *Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất sau: - Tính chất giao hoán: A + C = C + A B. D. D. B. - Tính chất kết hợp:  A + C  + E = A +  C + E  B. D. F. B. D. F. 3. Phép trừ các phân thức đại số: *Quy tắc: Muốn trừ phân thức của. C D. A C A cho phân thức , ta cộng với phân thức đối B D B. A C A  C = + −  B D B  D. 11. <span class='text_page_counter'>(12)</span> Ví dụ:  x +1  ( x + 3) + − 2  ( x − 1)  x( x − 1) . a). x +1 x+3 - 2 = 2 x −1 x − x. =.  ( x + 1)   ( x + 1)( x + 1)  x+3 ( x + 3) x + − = + −  ( x + 1)( x − 1)  x ( x − 1)  x( x + 1)( x − 1)  x( x + 1)( x − 1) . ( x + 3) x − ( x + 1) 2 x −1 1 = = = 2 x( x + 1)( x − 1) x( x − 1) x( x + 1) 3+x x+2 ( 3 + x)  x + 2  +  − =  x−2 ( 3 − x) 3 − x x−2 . b).  ( 3 + x)( 3 − x)  ( x + 2 )( x − 2 ) + − =  ( x − 2) 3 − x ( x − 2)( 3 − x) . (. ).  2 2 7 − 2 x2  = 3 − x − ( x − 4) =  ( x − 2)( 3 − x) ( x − 2)( 3 − x) . II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Thực hiện phép tính sau: 2x 2 − x x −1 2 − x2 + + x −1 1− x x −1. 2− x 2x 2 − x x −1 2 − x2 + = x −1 x −1 x −1 x −1. 2. =. =. ( x − 1) 2 = x −1 x −1. Bài 2: Rút gọn biểu thức P = =. x +1 2 x ( x + 1)( x + 2) + 2 x ( x − 2) + = x−4 x −2 x +2 x + 2 x + x + 2 + 2x − 4 x 3x − x + 2 = x−4 x−4. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Tính:. 1 1 − x x −1. Bài 2: Cho biểu thức: P =. x +1 2 x 2+5 x + − 4− x x −2 x +2. a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P khi x = 1. TIẾT 8: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 12. <span class='text_page_counter'>(13)</span> 1. Phép nhân các phân thức đại số: A C A.C (B; D ≠ 0) . = B D B.D. Ví dụ: a) b). x − 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1) x2 −1 = = 2 . x + 2 x − 2 ( x + 2)( x − 2) x − 4 3 + x x − 3 ( 3 + x)( x − 3) x 2 − 3 = = 2 . x +1 1− x ( x + 1)(1 − x) x −1. 2. Phép chia các phân thức đại số: A C A D : = . ( B, C , D ≠ 0) B D B C. Ví dụ: a). 7 − x x +1 7 − x x + 2 7 − x : = . = x + 2 x + 2 x + 2 x +1 x +1. b). x 2 − 2 x 2 + 2 .x x2 − 2 ( x − 1) (x − 2) = : . = 2 x −1 x( x − 1) x( x + 2 ) x −x x2. (x ≠ -2, x ≠ -1) (x ≠ 1, x ≠ - 2 ). 3. Biến đổi biểu thức hữu tỉ: - Biểu thức hữu tỉ là biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số. - Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức là sử dụng các quy tắc cộng, trừ nhân, chia các phân thức đại số để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức . II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Thực hiện phép tính: 7 x + 2 14 x + 4 7 x + 2 x 2 y (7 x + 2) x 2 y x : = . = = 2 3 2 3 3 3 xy x y 3 xy 14 x + 4 3 xy (14 x + 4) 6 y . Bài 2: Rút gọn biểu thức: Q = . x. 1− x. = =. +. x  3− x − (đ/k:....) 1 + x  1 − x. x (1 + x ) + x (1 − x ) 3 − x − 1− x 1− x 3 x − 3 − 3(1 − x ) −3 = = 1− x 1− x 1+ x. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ . Bài 1: Rút gọn biểu thức: A= . x.  x −2. Bài 2: Tính:. +.  x−2 . x + 2  4 x x. x +1 x + 2 x + 3 : . x + 2 x + 3 x +1. 13. <span class='text_page_counter'>(14)</span> TIẾT 9: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A ⇔ A ≥ 0. b, A.B = A. B ( A ≥ 0,B ≥ 0 ). a, A 2 = A =   −A ⇔ A < 0 c,. A A = B B. d, A 2 B = A B ( B ≥ 0 ). ( A ≥ 0,B > 0 ). Ví dụ: a) Rút gọn biểu thức:. 2 + 8 + 50 =. 2 +2 2 +5 2 =8 2. b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 1 − 10a + 25a 2 − 4a , tại a =. 2. 1 − 10a + 25a 2 − 4a = (1 − 5a)2 − 4a = 1 − 5a − 4a. Thay a =. 2 vào biểu thức trên ta được:. 1− 5 2 − 4 2 = 2 −1 II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Rút gọn 20 − 45 + 75 − 180 = 2 5 − 3 5 + 5 5 − 6 5 = −2 5 . a. 1.  . 1. 2 . Bài 2: Cho biểu thức: A =  − +  :    a −1 a − a   a +1 a −1  a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A b) Tìm a để A > 0 Giải: a) Điều kiện A xác định: a > 0; a ≠ 1 . a. 1.  . 1. 2. . Ta có: A =  − + :  a ( a − 1)   a + 1 ( a − 1)( a + 1)   a −1 =. b) A > 0. a. a −1 a −1+ 2 a −1 a −1 a −1 : = . = a ( a − 1) ( a − 1)( a + 1) a ( a − 1) a + 1 a. a −1 > 0 ⇔ a −1 > 0 ⇔ a > 1 a. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Rút gọn: B =. 3 2 + 3 +1 3 −1. 14. <span class='text_page_counter'>(15)</span> Bài 2: Cho biểu thức: Q =.  a  b − 1+ : 2 2 a −b  a − b  a − a2 − b2 a. 2. 2. a) Rút gọn Q. b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b 2+ x. 2− x. 4x . x −3. Bài 3: Cho biểu thức P =  − −  : 2− x 2+ x x−4 2 x −x a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0. c) Tìm giá trị của x sao cho P = 1 . TIẾT 10: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (Tiếp ) I. KIẾN THỨC CƠ BẢN a) A B = − A 2 B ( A < 0, B ≥ 0) ; A B = A2 B ( A ≥ 0, B ≥ 0 ) ; A 1 = B B. b). A A B = B B. c) d). ( AB ≥ 0,B ≠ 0 ). AB. ( B > 0) ;. (. C A− B C = A−B A+ B. (. ). C A+ B C = A−B A− B. ( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B) .. ). ( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B). Ví dụ: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 biết: 1  a +1  1 với a > 0, a ≠ 1 M= + : a − 1 a − 2 a + 1 a − a. Giải: 1  a +1  1 + M = : a −1 a − 2 a +1 a− a  1+ a  a +1 = : 2  a ( a − 1)  ( a −1) =. a −1 1 =1− a a. Suy ra M = 1 −. 1 a. < 1 (Vì a > 0, a ≠ 1 ). Vậy M < 1 15. <span class='text_page_counter'>(16)</span> II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 5+ 5−. Bài 1: Rút gọn biểu thức:. 5 + 5− 5 5+. 5 5. Giải: 5+ 5−. 5 + 5− 5 5+. ( (. 5 = 5+ 5 5−. 5 )(5 + 5 ) (5 − 5 )(5 − 5 ) (5 + 5 ) + (5 − 5 ) + = =3 20 5 )(5 + 5 ) (5 + 5 )(5 − 5 ) 2.  x2 x x − 4 x  4. P= . Bài 2: Cho biểu thức:. 2.   x +1 x −1  −  .   x + 1    x −1. a) Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P? b) Tìm giá trị của x để P = 0 Giải: a) Điều kiện: x > 0; x ≠ 1  x2 x x P =  − 4 x  4 = =. x3 − x . 4 x. (. x ( x + 1). (.   x +1 x −1  x 2 x. x − x − .  .   = x +1 4 x   x −1. )(. ). x + 1+ x −1 .. ). x +1− x +1. x −1. =. (. ) ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) 2. x +1 −. 2. x ( x − 1)( x + 1) 2 x − 2 . x −1 4 x. x −1. 2 x. x = 0. b) Để P = 0 ⇔ x ( x + 1) = 0 ⇔   x = −1 Các giá trị này không thỏa mãn điều kiện, do đó không có giá trị nào của x để P = 0. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Rút gọn biểu thức: 5 + 5 + 5 − 5 5−. Bài 2: Cho biểu thức Q =. 5. 5+. 5. 1− x x 1− x. a) Tìm điều kiện xác định Q? b) Rút gọn Q. c) Tìm x để Q = 1. 6x + 1 6x − 1  x 2 − 36 Bài 3: Cho phân thức P =  2 + 2 ; . 2  x − 6x. x + 6x  12x + 12. a) Tìm điều kiện xác định của P? b) Rút gọn P. c)Tính giá trị của P tại x = 9 + 4 5 .. 16. <span class='text_page_counter'>(17)</span> TIẾT 11: LUYỆN TẬP Câu 1: Rút gọn các phân thức sau:. 2 y 2 − 3y + xy − 3x ( y − 3y ) + ( xy − 3x ) y ( y − 3) + x ( y − 3) ( y − 3)( x + y ) y − 3 a) = = = = x2 − y2 ( x + y )( x − y ) ( x + y )( x − y ) ( x + y )( x − y ) x − y. (. ). 2 x2 − 2 x + 4 2 x2 − 4 x + 8 2 = = b) 3 2 x +8 ( x + 2) x − 2x + 4 x + 2. (. ).  x −1 x + 1  1 x Câu 2 : Cho biểu thức: P =  − −   2  x − 1   x +1  2 x. 2. a). Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P. b) Tìm x để. P >2 x. Giải: a) Điều kiện: x ≥ 0 : x ≠ 1 2   x −1 x +1 1 x  P =  − − =   2   x − 1   2 x  x +1 . (. ) ( x + 1) ( x − 1)( x + 1) 2. x −1 −. 2.  2   2 − 2x    4 x   .  4 x   1 − x   4 x  (1 − x ) 1 − x =  =     =  x  1 − x   2 x   1− x  4x 2. 2. b) Để. 1 P 1− x 1 >2⇔ > 2 ⇔ x < . Kết hợp với điều kiện ta được: 0 < x < 2 3 3 x x. ( ). 14 1 = 1+ x −3 x −9 14 1 14 1 Giải: Ta có phương trình 2 = 1+ ⇔ = 1+ x −3 x −3 ( x + 3)( x − 3) x −9 ĐKXĐ: x ≠ ±3 . 14 1 = 1+ ⇒ 14 = ( x + 3)( x − 3) + ( x + 3) x −3 ( x + 3)( x − 3). Câu 3: Giải phương trình:. 2. ⇔ 14 = x 2 − 9 + x + 3 ⇔ x 2 + x − 20 = 0. ∆ = 1 + 4.20 = 81 > 0,. ∆ = 81 = 9 −1 + 9 −1 − 9 x1 = = 4; x 2 = = −5 , 2 2. x1 = 4; x2 = -5 đều thoả mãn ĐKXĐ Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 4; x2 = -5.. 17. <span class='text_page_counter'>(18)</span> TIẾT 12: KIỂM TRA ĐỀ SỐ 1 Câu 1: Rút gọn các phân thức sau: a). x 2 − 4x 3 + 3 x 2 − 5x + 6. Câu 2: Tính:. b). 4 − 4x 2 − 9y 2 − 12xy 2x + 2 + 3y. c). xy − 4y 2xy + 4y + x 2 y3 x 2 y3. 2 +1 3 +1 : 2 −1 4−2 3. Câu 3: Cho biểu thức  A =  . 1   x  . x −. x   x − 1 . x + x +1. a) Tìm điều kiện xác định của A? Rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =. 3 4. c) Tìm x để A < 8. ĐỀ SỐ 2. Câu 1: Tính:. 1. (2 − 5). 2. 1. −. (2 + 5) x−. Câu 2: Giải phương trình:. 2. 4 + 2 + x = 0 (1) 2+ x.    Câu 3: Cho biểu thức: A = 1 − a − 3 a  :  a − 2 + a − 3 − . a−9   a +3. 2− a. 9−a   a+ a −6. a) Rút gon A. b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên.. 18. <span class='text_page_counter'>(19)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT) ĐỀ SỐ 1 Câu. x 2 − 4x 3 + 3 ( x − 1)( x − 3) x − 1 = = x 2 − 5x + 6 ( x − 2 )( x − 3) x − 2. a). b) Câu 1. Điểm. Lời giải. 1đ. 4 − 4x 2 − 9y 2 − 12xy 4 − ( 4x 2 + 12xy + 9y 2 ) = 2x + 2 + 3y 2x + 3y + 2. 4 − ( 2x + 3y ) ( 2 + 2x + 3y )( 2 − 2x − 3y ) = = 2 − 2x − 3y 2x + 3y + 2 2 + 2x + 3y xy − 4y 2xy + 4y xy − 4y + 2xy + 4y 3xy 3 c) + = = 2 3= 2 2 3 2 3 2 3 x y x y x y x y xy 2. =. 1đ 1đ. 2 +1 3 +1 : 2 −1 4−2 3 Câu 2. = =. 2 +1 x 4−2 3. 2 −1. (. 3 + 1). 2 −1. ( 4 − 2 3 )( 4 + 2 3 ). 2. 1 1 = 16 − 12 2. =. 2đ. a) Với x > 0 và x ≠ 1 ta có:   x −1  x A=   x   A= Câu 3. A=. ( x − 1) . x. (. ). x −1 +. x. (. x −1. x2 − x + x2 + ( x − 1). ). x +1     x. 2 x2 =2 x x. b) Với x =. 3 3 ⇒A = 2 = 3 4 4. c) A < 8 ⇔ 2 x < 8 ⇔ x < 4 ⇔ x < 16. 1đ 1đ 2đ 1đ. kết hợp với điều kiện 0 < x < 16; x ≠ 1 .. 19. <span class='text_page_counter'>(20)</span> ĐỀ SỐ 2 Câu. Lời giải. Điểm. Ta có: 1. (2 − 5) Câu 1. (. (. 5−2. 1. −. 1. =. =. 2. ). 2. (2 + 5) −. 2. 1. (. 5+2. ). 2. =. 1 1 − 5−2 5+2. ) ( 5 − 2) = 4 = 4 ( 5 + 2)( 5 − 2 ) 5 − 4. 1đ. 5+2 −. Giải: Điều kiện: x ≥ 0 ⇒ x + 2 > 0 , Ta có:. 1đ 1đ. (1) ⇔ x ( 2 + x ) − 4 + 2 + x = 0 ⇔ x ( 2 + x ) = 2 − x (2). Điều kiện: 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 . Kết hợp điều kiện của bài ta có: 0 ≤ x ≤ 2 Câu 2. Bình phương hai vế của (2) ta có: x ( x + 2) = ( 2 − x ). 1đ. 2. ⇔ x2 + 2x = 4 − 4x + x2 ⇔ x =. 2 3. Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 . 3. 1đ. 20. <span class='text_page_counter'>(21)</span> a) TXĐ: a ≥ 0; a ≠ 4  A = 1 −  . (. )(. ( (. ).  a   a −2 a −3 3− a  A = 1 − + − :  a +3  a +3 2− a a −2 . Câu 3. A=. 3 a −2 : a +3 a +3. A=. 3 a −2. (.    ⇔   . )  ) . 0,5 đ. 1đ. 1đ. b) Giả sử a ∈ Z . Để A ∈ Z ⇔ ⇔. )( )(.   3− a 3+ a : a − 2 + a − 3 + a −3   a +3 2− a a −2 a +3  . a ( a − 3) a +3. 0,5 đ. 3 ∈Z a −2. ). a − 2 là ước của 3.   a − 2 = −1  ⇔ a −2=3  a − 2 = −3  a − 2 =1. a =3⇔ a =9 a =1⇔ a =1 a = 5 ⇔ a = 25. 2đ. a = −1(l ). CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Tiết 13: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI I. Kiến thức cơ bản: 1. Định nghĩa: Phương trình dạng ax+b=0, với a và b là hai số đã cho và a≠0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ: 5x + 8 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = 5; b = 8 -2x + 4 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -2; b= 4 -7x – 3 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -7; b = -3 2. Hai quy tắc biến đổi phương trình: a) Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. Ví dụ 1: Cho phương trình: x – 2 = 0, chuyển hạng tử -2 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành +2 ta được x = 2 21. <span class='text_page_counter'>(22)</span> Ví dụ 2: Cho phương trình:. 2 3. + x = 0, chuyển hạng tử. từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành -. 2 ta được x 3. 2 3. =. 2 3. b) Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. Ví dụ 3: Cho phương trình:. 1 x 2. = 3, nhân hai vế của. phương trình với 2 ta được: x = 6 Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0. Ví dụ 4: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương trình cho 3 ta được: x =. −2 3. c) Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương phương trình đã cho. Ví dụ 5: Giải phương trình: 3x – 6 = 0 Giải: 3x – 6 = 0 ⇔ 3x = 6 (Chuyển -6 sang vế phải và đổi dấu) (Chia hai vế cho 3) ⇔ x = 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S={2} II. Bài tập vận dụng. Bài 1: Chỉ ra phương trình nào là phương trình bậc nhất trong các phương trình sau: a) 2 – x = 0; b) 8x – 3 = 0; c) 0x – 3 = 0 ; d) 3x – 2 = 3. Bài 2:. Giải phương trình:. a) 3 -. 1 x = 0 2. b) x + 8 = 0 c) -4x + 2 = 4 Giải: a). 3 -. 1 1 1 x = 0 ⇔ x = -3 ⇔ (-2).(- ) x = (-2).(-3) 2 2 2. ⇔ x = 6.. Vậy phương trình có tập nghiệm S = {6} b) x + 8 = 0 ⇔ x = -8 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-8} 2 4. c) -4x + 2 = 4 ⇔ -4x = 4 - 2 ⇔ -4x = 2 ⇔ x = − ⇔ x = −. 1 2. 1 2. Vậy phương trình có tập nghiệm S = { − } III. Bài tập đề nghị. 22. <span class='text_page_counter'>(23)</span> Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn: a) 4x – 20 = 0 b) 5y = 0 c) 12 + 7x = 0 d) x2 - x = 0 e) 0x - 2 = 0 f) 2x – x + 10 = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: a). 1 x−3= 0 2. b) 1 + x = 0. c) x + 2=3 d) 3x + 2x - 5 = 0 Tiết 14: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax + b = 0 I. Kiến thức cơ bản Các bước chủ yếu để giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0: - Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có). - Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc (nếu có). - Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia. - Thu gọn và giải phương trình nhận được. Ví dụ 1: Giải phương trình: x – 2 = 4 - x Giải: Ta có: x - 2 = 4 - x ⇔ x + x = 4 + 2 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 Phương trình có tập nghiệm S = {3} Ví dụ 2: Giải phương trình: 8 – (x – 6) = 12 - 3x Giải: - Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc: 8 – x + 6 = 12 – 3x - Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và chuyển các hằng số sang vế kia - x + 3x = 12 – 8 – 6 - Thu gọn và giải phương trình vừa tìm được: 2x = -2 ⇔ x = -1 Phương trình có tập nghiệm : S = {-1} Ví dụ 3: Giải phương trình: x−. 5 x + 2 7 − 3x = 6 4. Giải: - Qui đồng mẫu hai vế của phương trình: x−. 5 x + 2 7 − 3x = 6 4. - Nhân hai vế của phương trình với mẫu chung để khử mẫu: 12x - 10x + 4 = 21 9x - Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và chuyển các hạng tử tự do sang vế kia: 23. <span class='text_page_counter'>(24)</span> 12x – 10x + 9x = 21 – 4 - Thu gọn và giải phương trình vừa tìm được: 11x = 17 ⇔ x =. 17 11. 17 Phương trình có tập nghiệm S =   11 . Ví dụ 4:. Giải phương trình: x+ 2 x -3 = 0. Giải: - Đặt nhân tử chung: x + 2 x -3 = 0 ⇔ (1+ 2 ) x -3 = 0 - Hệ số a = 1+ 2 ; b = -3 - Ta có: (1+ 2 ) x -3 = 0 ⇔ (1+ 2 ) x = 3 ⇔ x=. 3 1+ 2. Phương trình có tập nghiệm: S = . 3   1 + 2 . II. Bài tập áp dụng. Bài 1: Giải phương trình: 3x – 2 = 2x - 3 Giải: 3x – 2 = 2x – 3 ⇔ 3x – 2x = 2 – 3 ⇔ x = -1 Phương trình có tập nghiệm S = {-1} Bài 2: Giải phương trình: 4 – 2t + 12 + 5t = t + 24 - 3t Giải: 4 – 2t + 12 + 5t = t + 24 - 3t ⇔ -2t + 5t – t + 3t = 24 – 4 – 12 ⇔ 5t = 8 ⇔. Phương trình có tập nghiệm. t =. 8 5. 8 5. S={ }. Bài 3: Giải. phương trình: (x - 1) – (2x -1) = 9 - x Giải: (x - 1) – (2x -1) = 9 - x ⇔ x - 1 - 2x + 1 = 9 – x ⇔ x – 2x + x = 9 – 1 + 1 ⇔ 0x = 9 (Không có giá trị nào của x thoả mãn phương trình) Vậy phương trình vô nghiệm hay tập nghiệm của phương trình là: S = ∅ Bài 4: Giải phương trình: x - 2 = x – 2 Giải: x - 2 = x – 2 ⇔ x – x = - 2 + 2 ⇔ 0x = 0 Phương với mọi x ∈ R Bài 5: Giải. phương trình:. x 2x +1 x − = −x 4 3 6. Giải: 24. <span class='text_page_counter'>(25)</span> x 2x + 1 x − = −x 4 3 6 3 x − 8 x + 4 2 x − 12 x ⇔ = 12 12 ⇔ 3 x − 8 x + 4 = 2 x − 12 x ⇔ 3 x − 8 x − 2 x + 12 x = 4 ⇔ 5x = 4 4 ⇔x= 5 4  S=  5 . Bài 6: Giải phương trình: Giải:. x−2 x−2 x−2 + − =3 3 2 6. x−2 x−2 x−2 + − =3 3 2 6 1 1 1 ⇔ ( x − 2) + −  = 3 3 2 6 2 = 3 ⇔ (x – 2) 3 9 ⇔x – 2 = 2 13 ⇔ x = 2. Phương trình có tập nghiệm:. S= {. 13 } 2. III. Bài tập đề nghị. Giải các phương trình: Bài 1: 8x-3 = 5x +12 Bài 2: 32 (x+1) = 48x Bài 3:. x+. 3 − 2x 2x − 2 = 3 4. Bài 4:. 2x – 4 – (12 + 4x) - 1 = 3x. Bài 5:. x −3 3− x x −3 − + =2 6 4 3. Tiết 15: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH I. Kiến thức cơ bản * Tích hai số: a.b = 0 ⇔ hoặc a = 0 hoặc b = 0 * Phương trình tích có dạng: A(x).B(x) = 0; Trong đó A(x), B(x) là đa thức - Cách giải: A(x).B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 Ví dụ: Giải phương trình: (3x – 5)(x + 3) = 0 Ta có: (3x – 5)(x + 3) = 0 ⇔ 3x – 5 = 0 hoặc x + 3 = 0 * 3x – 5 = 0. 3x = 5 ⇔ x =. 5 3. * x + 3 = 0 ⇔ x = -3 25. <span class='text_page_counter'>(26)</span> Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x =. 5 và x = 3. 3 Tập nghiệm của phương trình là S = {. 5 ; -3} 3. * Các kiến thức trọng tâm liên quan đến giải phương trình tích - Những hằng đẳng thức đáng nhớ - Phân tích đa thức thành nhân tử - Quy tắc biến đổi và cách giải phương trình - Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 II. Bài tập áp dụng Bài 1: Giải các phương trình sau: a) (2x + 10)(4x + 8) = 0 b) (2,5 + 5x)(0,1x - 1,2) = 0 2(2 x + 1) 7 x − 1  − = 0 7 4  . c) (3x – 1) . d) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = 0 Giải: a) Ta có: (2x + 10)(4x + 8) = 0 ⇔ 2x + 10 = 0 hoặc 4x + 8 = 0 * 2x + 10 = 0 ⇔ 2x = -10 ⇔ x = - 5 * 4x + 8 = 0 ⇔ 4x = -2 ⇔ x = - 2 Tập nghiệm của phương trình là: S = {- 5; - 2} b) Ta có: (2,5 + 5x)(0,1x - 1,2) = 0 ⇔ 2,5 + 5x = 0 hoặc 0,1x - 1,2 = 0 * 2,5 + 5x = 0 ⇔ 5x = - 2,5 ⇔ x = - 0,5 * 0,1x - 1,2 = 0 ⇔ 0,1x = 1,2 ⇔ x = 12 Tập nghiệm của phương trình là S = {- 0,5 ; 12} c) Ta có: 2(2 x + 1) 7 x − 1  −  = 0 7 4   2(2 x + 1) 7 x − 1 − = 0 ⇔ 3x – 1 = 0 hoặc 7 4 1 * 3x – 1 = 0 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 3 2(2 x + 1) 7 x − 1 2(2 x + 1) 7x −1 8(2 x + 1) * − = 0 ⇔ = ⇔ 7 4 7 4 28 7(7 x − 1) 28 ⇔ 8(2 x + 1) = 7(7 x − 1) ⇔ 16 x + 8 = 49 x − 7 ⇔ 16 x − 49 x = −7 − 8 5 ⇔ −33 x = −15 ⇔ x = 11 1 5 Tập nghiệm của phương trình là: S =  ;   3 11. (3x – 1) . =. 26. <span class='text_page_counter'>(27)</span> Bài 2: Giải phương trình sau: (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1) Giải : Ta có (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1) ⇔ (x – 1)(5x + 3) - (3x – 8)(x – 1) = 0 ⇔ (x – 1)[( 5x + 3) - (3x – 8)] = 0 ⇔ (x – 1)(5x + 3 – 3x + 8) = 0 ⇔ (x – 1)(2x + 11) = 0 ⇔ x – 1 = 0 hoặc 2x + 11 = 0 * x – 1 = 0 ⇔ x = 1 * 2x + 11 = 0 ⇔ 2x = - 11 ⇔ x = - 5,5 Tập nghiệm của phương trình là S = {1 ; - 5,5} Bài 3: Giải phương trình sau bằng cách đưa về dạng phương trình tích: (x2 + 2x + 1) – 9 = 0 Giải: Ta có: (x2 + 2x + 1) – 9 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 4) = 0 ⇔ x – 2 = 0 hoặc x + 4 = 0 * x – 2 = 0 ⇔ x = 2 * x + 4 = 0 ⇔ x = - 4 Tập nghiệm của phương trình là S = {- 4 ; 2} III. Bài tập đề nghị Bài 1: Giải các phương trình: a) (2x + 5)(x – 7)(6x + 1) = 0; b) 5x(x – 10(x – 3) = 0 c) x3 – 1 = x(x – 1); d) 3x2 + 7x – 20 = 0. 3). +. Tiết 16: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I. Kiến thức cơ bản: 1. Phương trình bậc nhất một ẩn: Có dạng ax + b = 0 (a ≠ 0) với a,b là các số đã cho Nghiệm của phương trình là: x = -. b a. * Ví du: 2x + 5 = 0 <=> 2x = -5 <=> x = -. 5 2. 2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) a ≠ 0. Nghiệm của bất phương trình là: ax + b > 0 <=> ax > -b <=> x > -. b a. nếu. a > 0 hoặc. x. < -. b nếu a < 0. a. 27. <span class='text_page_counter'>(28)</span> * Ví dụ:. 2x + 3 > 0 <=> 2x > -3 <=> x > -2x + 3 > 0 <=> -2x > -3 <=> x <. 3 2 3 2. 3. Giá trị tuyệt đối: a = a khi a ≥ 0 a = -a khi a < 0 Ví dụ: 6 = 6 ; 0 = 0 ; −3 = 3 4. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: ví dụ : Giải phương trình sau: 4 x = 2x + 1 (1) Giải: Ta có: 4 x = 4x khi 4x ≥ 0 <=> x ≥ 0 4 x = - 4x khi 4x < 0 <=>x < 0 Ta giải hai phương trình sau: 1). 4x = 2x + 1 với điều kiện x ≥ 0. Ta có. 4x = 2x + 1 <=> 4x - 2x = 1 <=> 2x = 1 <=> x =. 0,5 Giá trị x = 0,5 thoả mãn điều kiện x ≥ 0, nên x = 0,5 là nghiệm của phương trình (1) 2) - 4x = 2x + 1 với điều kiện x < 0 Ta có -4x = 2x + 1 <=> -4x - 2x = 1 <=> -6x = 1 <=>x = −. 1 6. Giá trị x = -. 1 6. thoả mãn điều kiện x < 0, nên −. 1 6. là. nghiệm của phương trình (1) 1 Tâp nghiệm của phương trình (1) là S = − ;0,5  6. . II. Bài tập áp dụng Bài 1: Giải phương trình sau: x + 4 = 2x - 5 (2) Giải Ta có x + 4 = x + 4 khi x + 4 ≥ 0 <=>x ≥ - 4 x + 4 = -x - 4 khi x + 4 < 0 < = > x <- 4 Ta giải hai phương trình sau: 1) x + 4 = 2x-5 với điều kiện x ≥ - 4 Ta có x + 4 = 2x - 5 < => x-2x = -5 – 4 <=> -x = -9 <=> x = 9 Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x ≥ - 4, nên x = 9 là nghiệm của phương trình (2) 2) - x - 4 = 2x - 5 với điều kiện x < - 4 Ta có - x – 4 = 2x – 5 <=> -x – 2x = 4 – 5 <=> -3x = -1 <=> x =. 1 3. 28. <span class='text_page_counter'>(29)</span> Giá trị x =. 1 3. không thỏa mãn điều kiện x < - 4, nên x =. 1 không là nghiệm của (2) 3. Vậy tập nghiệm của phương trình (2)là: S = {9} Bài 2: Giải phương trình − 5 x = x + 8 (3) Giải − 5 x = -5x khi -5x ≥ 0 <=> x ≤ 0 Ta có − 5 x = 5x khi -5x < 0 <=> x > 0 Ta giải hai phương trình sau: 1) -5x = x + 8 với điều kiện x ≤ 0 Ta có -5x= x + 8 <=> -5x – x = 8 <=> -6x = 8 <=> x = −. 4 3. Giá trị x = −. 4 3. thỏa mãn điều kiện x ≤ 0, nên x = −. 4 3. là. nghiệm của phương trình (3) 2) 5x = x +8 với điều kiện x > 0 Ta có: 5x = x + 8 <=> 5x – x = 8 <=> 4x = 8 <=> x = 2 Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x > 0, nên x = 2 là nghiệm của phương trình (3) 4 3. Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là S = { − ; 2} Bài 3: Giải các phương trình sau. 2 x − 3 = 2x - 3 (4) Giải Ta có: 2 x − 3 = 2x - 3 khi 2x - 3 ≥ 0 <=> x ≥ 1,5 2 x − 3 = -2x + 3 khi 2x - 3 < 0 <=> x < 1,5 Ta giải hai phương trinh sau: 1) 2x - 3 = 2x - 3 với điều kiện x ≥ 1,5 Ta có 2x - 2x = -3 + 3 <=> 0x = 0 , ta thấy mọi giá tri của x ≥ 1,5 đều thoả mãn điều kiện của ẩn nên x ≥ 1,5 là nghiệm của phương trình (4) 2) -2x + 3 = 2x - 3 với điều kiện x <1,5 Ta có -2x + 3 = 2x - 3 <=> -2x – 2x = -3 – 3 <=> -4x = -6 <=> x = 1,5 Giá trị x = 1,5 không thỏa mãn điều kiện x < 1,5 nên x = 1,5 không là nghiệm của phương trình (4) Vậy tập nghiệm của phương trình (4) là S= {x / x ≥ 1,5} III. Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau: a) 5 x - 3x – 2 = 0 b) 3 − x + x2 – (4+x)x = 0. 29. <span class='text_page_counter'>(30)</span> PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tiết 17: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT (CÓ HỆ SỐ b = 0 HOẶC c = 0) I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai ) là phương trình có dạng : ax 2 + bx + c = 0 Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0 . Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc hai : a) 5x2 - 3x - 2 = 0 có a = 5, b = - 3, c = - 2 b) 7x2 - 7 = 0 có a = 7, b = 0, c = -7 2 c) 9x - 9x = 0 có a = 9, b = -9, c = 0 2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai có hệ số b = 0 hoặc c = 0 * Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax2 + bx = 0 Phương pháp giải: Đặt thừa số chung để đưa về phương A = 0. trình tích: A.B = 0 ⇔  B = 0  x=0  x=0 Ta có: ax + bx = 0 ⇔ x(ax +b)=0 ⇔  ⇔ x = − b ax+b=0  a  2. Ví dụ 1: Giải phương trình:. 4x2 – 8x = 0 ⇔ 4x( x-2) = 0. Giải 4 x = 0 ⇔ x − 2 = 0. 4x2 – 8x = 0. x = 0 ⇔  x = 2. Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 2 *Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax2 + c=0 • Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển vế và đưa phương trình về c dạng x2 = rồi giải. a Ví dụ 2: Phương trình x2 + 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = 2 > 0 Ví dụ 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = 0 Giải: 5x2 – 100 = 0 ⇔ 5x2 = 100 ⇔ x2 = 20 ⇔ x = ± 2 5 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 5 ; x2 = - 2 5 II. Bài tập áp dụng 30. <span class='text_page_counter'>(31)</span> Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c Bài tập 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ? Xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó: a) 4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0 b) 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3 c) 7x2 + 2x = 3 + 2x 2 d) − 2 2 x + 2 x + 8 = 8 Giải : a) Phương trình 4x3 + 2x2 + 7x - 9 = 0 không phải là phương trình bậc hai b) Phương trình 6x2 + 2x - 3 = 4x2 + 3 2 2 ⇔ 6x + 2x – 3 - 4x 3 = 0 2 ⇔ 2x + 2x - 6 = 0 Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - 6 c) Phương trình 7x2 + 2x = 3 + 2x 2 ⇔ 7x +2x -3 -2x = 0 2 = 0 ⇔ 7x – 3 Là phương trình bậc hai có a = 7, b = 0 , c = -3 d) Phương trình − 2 2 x 2 + 2 x + 8 = 8 ⇔ − 2 2x 2 + 2x + 8 − 8 = 0 ⇔ - 2 2 x2 +. 2x. = 0 2, c = 0. Là phương trình bậc hai có a = -2 2 , b = Dạng 2: Giải phương trình: Bài tập 2:Giải các phương trình sau: a) 2x2 + 5x = 0, b) 5x2 - 15 = 0, c) x2 + 2010 = 0 Giải a) 2x2 + 5x = 0 ⇔ x (2x + 5 ) = 0 x = 0 ⇔  x = − 5 2 . Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0 và x =. −. 5 2. b) 5x2 - 15 = 0 ⇔ 5x2 = 15 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ± 3 Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 3 và x = - 3 2 c) x + 2010 = 0 Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > 0. Vậy phương trình vô nghiệm. III. Bài tập đề nghị Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, chỉ rõ các hệ số a, b, c của chúng. a) 2x2 + 5x + 1 = 0, b) 2x2 – 2x = 0 c) − 3x 2 = 0, d) 4x + 5 = 0 Giải 31. <span class='text_page_counter'>(32)</span> a, 2x2 + 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = 1. b) 2x2 – 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = 0. c) − 3x 2 = 0 là phương trình bậc hai có a = - 3 , b = 0, c = 0. d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai. Bài 2: Đưa các phương trình sau về phương trình dạng 2 ax + bx + c = 0 và giải các phương trình đó: a) 5x2 + 8 x = 2( 4 x + 2) , b) 7 x 2 + 7 x − 86 = −(x + 86 ) Giải a) 5 x 2 + 8 x = 8 x + 2 ⇔ 5x2 + 8x − 8x − 2 = 0 ⇔ 5x2 − 2 = 0 ⇔ x=±. 2 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 7 x 2 + 7 x − 86 = −( x + 86 ). b,. 2 5. và x = −. 2 5. ⇔ 7 x 2 + 7 x − 86 = − x − 86 ⇔ 7 x 2 + 7 x − 86 + x + 86 = 0 ⇔ 7 x2 + 8x = 0 ⇔x. (. ). 7x + 8 = 0. x = 0 x = 0  ⇔ ⇔ x = − 8  7x + 8 = 0  7. Vậy phương trình có hai nghiệm. x = 0 và x = −. 8 7. Tiết 18: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. Kiến thức cơ bản Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: Đối với phương trình ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 và biệt. thức. ∆ = b − 4ac 2. - Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm. - Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =. −b + ∆ 2a. và x2 =. −b − ∆ 2a. - Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −. Ví dụ:. Giải. b 2a. phương trình. 2 x2 − 5x + 1 = 0. 32. <span class='text_page_counter'>(33)</span> Giải Phương trình. 2 x2 − 5x + 1 = 0. Có a = 2, b = - 5, c = 1. ∆ = b − 4ac = ( −5 ) − 4.2.1 = 25 − 8 = 17 2. 2. ∆ = 17 > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt −b + ∆ − ( −5 ) + 17 5 + 17 = = 2a 2.2 4 −b − ∆ − ( −5 ) − 17 5 − 17 x2 = = = 2a 2.2 4 Chú ý: Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 có a và c trái dấu, tức là a.c < 0 thì ∆ = b2 − 4ac > 0 khi đó phương trình có x1 =. hai nghiệm phân biệt. II. Bài tập áp dụng Bài 1: Giải phương trình sau: 2 x2 − 2 2 x + 1 = 0 Giải 2 x 2 − 2 2 x + 1 = 0 (a = 2, b = −2 2 , c = 1). (. ∆ = b 2 − 4ac = −2 2. ). 2. − 4.2.1 = 4.2 − 4.2 = 0. Vậy phương trình có nghiệm kép:. x1 = x2 = −. b −2 2 2 =− = 2a 2.2 2. Bài 2: Cho phương trình 2 x 2 − ( m + 4 ) x + m = 0 a) Tìm m biết x = 3 là một nghiệm của phương trình ? b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m? Giải: a) Phương pháp: Vì x0 là một nghiệm của phương trình nên ax 02 + bx0 + c phải bằng 0 Vì phương trình nhận x=3 là một nghiệm nên: 2.32 − ( m + 4 ) .3 + m = 0 ⇔ 18 − 3m − 12 + m = 0 ⇔ −2m = −6 ⇔ m=3. Vậy với m = 3 phương trình đã cho nhận x = 3 là một nghiệm. b) Để phương trình ax 2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm thì ∆ ≥ 0 Ta có: ∆ =  − ( m + 4 )  − 4.2.m 2. = m 2 + 8m + 16 − 8m = m 2 + 16. Vì m ≥ 0 với mọi m do đó ∆ = m2 + 16 > 0 với mọi m Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. III. Bài tập đề nghị Bài 1: Giải các phương trình sau 2. 33. <span class='text_page_counter'>(34)</span> (. ). a, 2 x 2 − 1 − 2 2 x − 2 = 0 1 2 b, x 2 − 2 x − = 0 3 3. Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm, tính nghiệm đó a, mx 2 + ( 2m − 1) x + m + 2 = 0. b, 2 x 2 − ( 4m + 3) x + 2m 2 − 1 = 0. Tiết 19: CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN I. Kiến thức cơ bản * Công thức nghiệm thu gọn: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) (1) Đặt b = 2b'. Ta có: ∆' = b’2 – ac (1) vô nghiệm <=> ∆ ' < 0. (1) có nghiệm kép <=> ∆ ' = 0; x1 = x2 =. − b' a. (1) có hai nghiệm phân biệt <=> ∆ ' > 0 − b'+ ∆ ' − b'− ∆' ; x2 = a a (1) có nghiệm <=> ∆ ' ≥ 0. x1 =. Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 10x2 + 6x + 1 = 0 (2) Giải: Ta có: ∆ ' = 32 - 10.1 = - 1. ∆ ' < 0 => phương trình (2) vô nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 5x2 - 6x + 1 = 0 (3) 2 Giải: Ta có: ∆ ' = (-3) - 5.1 = 4 ; ∆' = 4 = 2 . ∆ ' > 0 => phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt. x1 =. − (−3) + 2 = 1; 5. x2 =. − (−3) − 2 1 = 5 5. Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x2 - 10x + 25 = 0 (4) 2 Giải: Ta có: ∆ ' = (-5) - 1. 25 = 0. ∆ ' = 0 => phương trình (4) có nghiệm kép: x1 = x2 =. − (−5) = 5; 1. II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Xác định hệ số a, b', c trong các phương trình sau: a) 12x2 - 8x + 1 = 0 b) x2 - 2 3 x - 3 = 0 c) 5 x2 - 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0 d) x2 - 5 5 x - 7 = 34. <span class='text_page_counter'>(35)</span> 6 -3 5 x Giải: −8 = −4 ; c = 1. 2 −2 3 2 3 x - 3 = 0 Ta có: a = 1; b' = = − 3 ; c = -3. 2 - 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0. a) 12x2 - 8x + 1 = 0 b) x2 c). 2 5 x. Ta có: a = 12; b' =. − 4( 3 − 1) = −2( 3 − 1) = 2(1 − 3 ) ;c = -2. 2 - 5 5 x - 7 = 6 - 3 5 x ⇔ x2 - 5 5 x + 3 5 x - 7 - 6. Ta có: a =. 5 ; b' =. d) x2 = 0 ⇔ x2 - 2 5 x - 13 = 0 Ta có:. a = 1; b' =. −2 5 = − 5 ; c = -13. 2. Bài. 2: Giải các phương trình sau. a) -16x2 - 10x - 1 = 0 (5); b) 2x2 + 4x + 1 = 0 ( 6) c) 2 3 x2 - 4 ( 3 - 1)x - (2 3 + 4) = 0 (7); Giải: a) -16x2 - 10x - 1 = 0 ( 5) Ta có: ∆ ' = (-5)2 - (-16).(1) = 25 - 16 = 9; ∆' = 9 = 3 . ∆ ' > 0 => phương trình ( 5) có hai nghiệm phân biệt: − (−5) + 3 8 −1 − (−5) − 3 2 −1 = = ; x2 = = = − 16 − 16 − 16 − 16 2 8 2 ( 6) Ta có: ∆ ' = 2 - 4 .1 = 0.. x1 =. b) 4x2 + 4x + 1 = 0 ∆ ' = 0 => phương trình (6) có nghiệm kép: x2 =. − 2 −1 . = 4 2 - 4 ( 3 - 1)x + (2 3 + 4) = 0 (7). x1 =. c) 2 3 x2 Ta có: ∆ ' = {2(1 - 3 )}2 - 2 3 . (2 3 + 4) = 4 - 4 3 + 12 - 12 - 8 3 = 4 - 12 3 < 0. ∆ ' < 0 => phương trình (7) vô nghiệm. Chú ý: Giáo viên dạy cần hướng dẫn học sinh biết kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay. Bài 3: Cho phương trình: ( m +1)x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 (8). a) Giải phương trình với m = 1. b) Với giá trị nào của m thì phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt? Giải: a) Với m = 1 thì phương trình (8) trở thành: 2x2 + 4x + 3 = 0. (8’) ∆ ' = 2 2 − 2.3 = −2 < 0 ⇒ phương trình (8’) vô nghiệm. b) Phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 2 2 2 ∆ ' > 0 ⇔ (2m) - (m + 1)(4m - 1) > 0 ⇔ 4m - 4m + 35. <span class='text_page_counter'>(36)</span> ⇔ 3m < 1 ⇔ m <. m - 4m + 1 > 0. 1 . 3. Bài 4: Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? 5x2 + 2mx - 2m + 15 = 0 (9) Giải: Phương trình (9) có nghiệm kép khi và chỉ khi: ∆ ' = 0 ⇔ m2 - 5. ( 15 - 2m) = 0 ⇔ m2 + 10m - 75 = 0 ⇔ ∆ 'm = 52 - 1.(-75) = 100 => ∆' = 10 ⇔ m1 =. − 5 + 10 − 5 − 10 = 5 ; m2 = = −15 . 1 1. Vậy m =5 hoặc m = -15 thì phương trình (9) có nghiệm kép. III. Bài tập đề nghị: Bài 1: Xác định hệ số a, b', c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: a) -x2 - 6( 3 − 2) x + 2- 3 = 0; b) - 5x2 (2 3 − 2) x + 3 - 1 = 0; 2 c) -x - 8( 3 − 2) x + 3- 5 = (2 3 − 4) x; d) x2 + ( 7 − 4) x + 7 - 1 = ( 4 − 7 ) x. Bài 2: Giải các phương trình sau. a) - x2 - 4x + 5 = 0 (6); b) 25x2 - 16 = 0 (7) Giải: a) - x2 - 4x + 5 = 0 (6) Ta có: ∆ ' = (-2)2 - (-1).5 = 4 + 5 = 9; ∆' = 9 = 3 . ∆ ' > 0 => phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt:. − (−2) + 3 5 − (−2) − 3 − 1 = = = −5 ; x2 = =1 −1 −1 −1 −1 - 16 = 0; (7) Ta có: ∆ ' = 02 - 25.(-16) = 400 >. x1 =. b) 25x2 0.. Vậy phương trình (7) có hai nghiệm: x1 = 0 − 20 − 4 = . 25 5. 0 + 20 4 = ; x2 = 25 5. Bài 3: Tìm điều kiện của m để phương trình mx2 - 4(m - 1)x 8 = 0 (12) có nghiệm kép. Giải: Phương trình (12) có nghiệm kép khi và chỉ khi: 2 ∆ ' = 0 ⇔ {-2(m - 1)} - m.(-8) = 0 ⇔ 4m2 - 8m + 4 + 8m = 0 2 2 ⇔ 4m + 4 = 0 điều này vô lý vì: 4m + 4 > 0 Vậy phương trình (12) không có nghiệm kép với mọi m 36. <span class='text_page_counter'>(37)</span> ∈ R.. Tiết 20: HỆ THỨC VI-Ðt I. Kiến thức cơ bản: * Định lý Vi-ét: Nếu x1 và x2 là hai nghiệm (nghiệm kép hoặc hai nghiệm phân biệt) của phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) thì: b  x x + = − 1 2  a  x .x = c  1 2 a Ví dụ1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau: a) 4x2 + 2 x - 5 = 0, b) 9x2 - 12x + 4 = 0 Giải: a) 4x2 + 2 x - 5 = 0 (a = 4; b = 2; c = -5) Do a, c trái dấu PT chắc chắn có hai nghiệm phân biệt, gọi x1, x2 là nghiệm của PT đã cho, theo định lý Vi-ét ta có: x1 + x2 =. −b −2 1 = =− a 4 2. c 5 =− a 4 2 b) 9x - 12x + 4 = 0 (a = 9; b = -12; c = 4) x1 . x2 =. Có. ∆' = 36 − 36 = 0 => PT có nghiệm kép x1 = x2 x1 + x2 =. 12 4 = 9 3. x1 . x2 =. 4 9. Ví dụ 2: Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm các nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 12 = 0 (a = 1; b = -7; c = 12) Giải: Theo hệ thức Vi-ét ta có:. 37. <span class='text_page_counter'>(38)</span> −7   x1 + x2 = − 1 = 7   x .x = 12 = 12  1 2 1. Suy ra * Trường. hợp. x1 = 4; x2 = 3 hoặc x1 = 3; x2 = 4 đặc biệt:. - Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 c = 1, còn nghiệm kia là x2= a - Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là c x1=-1, còn nghiệm kia là x2= a Ví dụ 3: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 2x2 – 5x + 3 = 0;. b) x2 - 49x - 50 = 0.. Giải: a) 2x2 – 5x + 3 = 0 (a = 2; b = -5; c = 3) Vì a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 nên PT có nghiệm x1 = 3 c 1 và x2 = = 2 a b) x2 - 49x - 50 = 0 (a = 1; b = -49; c = -50) Vì a - b + c = 1 – (-49) + (-50) = 1 + 49 – 50 = 0 Nên PT có nghiệm x1 = - 1 và x2 = -. 50 c = = 50 1 a. II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau : a) x2 + 7x + 12 = 0;. b) x2 + 3x - 10 = 0.. Giải: a) x2 + 7x + 12 = 0 (a = 1; b = 7; c = 12) Ta có: ∆ = 7 2 − 4.12 = 1 > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = -7 ; x1 = - 3; x2 = -4. x1.x2. = 12. => x1 = - 4; x2 = -3 hoặc. b) x2 + 3x - 10 = 0 (a = 1; b = 3; c = -10). Do a, c trái dấu PT chắc chắn có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 =. -3 ;. x1.x2. = -1 0 => x1 = - 5; x2 = 2 hoặc 38. <span class='text_page_counter'>(39)</span> x1 = 2; x2 = -5 Bài 2: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 7x2 - 9x + 2 = 0;. b) 23x2 - 9x - 32 = 0.. Giải a) 7x2 - 9x + 2 = 0. (a = 7; b = -9; c = 2). Vì a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0 nên PT có nghiệm x1 = 1 và x2 =. 2 c = 7 a. b) 23x2 - 9x - 32 = 0. (a = 23; b = -9; c = -32). Vì a - b + c = 23 – (-9) + (-32) = 23 + 9 – 32 = 0 Nên PT có nghiệm x1 = - 1 và x2 = -. − 32 32 c = = − 23 23 a. Bài 3: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau: a) 2x2 – 7x + 2 = 0; 8x + 1 = 0. b) 5x2 + x + 2 = 0;. c). 16x2. -. Giải: ∆ = b2 - 4ac =. a) 2x2 – 7x + 2 = 0 (a = 2; b = -7; c = 2) (-7)2 – 4.2.2 = 33 >0 => x1 + x2 =. − b − ( −7 ) 7 = = ; a 2 2. x1.x2 =. c =1 a ∆ = b2 - 4ac =. b) 5x2 + x + 2 = 0 (a = 5; b = 1; c = 2) 2 1 – 4.5.2 = - 39 < 0 và. Vậy phương trình vô nghiệm => không tồn tại x1.x2. c) 16x2 - 8x + 1 = 0 (a = 16; b = -8; c = 1) = (-8)2 – 4.16.1 = 0 => x1 + x2 =. − b − ( −8) 1 = = , a 16 2. x1.x2 =. x1 + x2. ∆ = b2 - 4ac. c 1 = a 16. III. Bài tập đề nghị: Bài 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) x2 - 10x + 21 = 0;. b) x2 + x - 12 = 0. c) x2 + 7x + 12 = 0. d) x2 - 2x + m= 0. Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? . Theo hệ thức Vi-ét ta tính: x1 + x2 = ? ;. x1.x2 = ?. => x1 =?; x2 = ? 39. <span class='text_page_counter'>(40)</span> Bài 2: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) x2 - 6x + 5 = 0;. b) 4x2 - 3x - 7 = 0. c) - 3x2 + 12x + 15 = 0; = 0. d) 1,2x2 + 1,6 x – 2,8. Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? Tính a + b + c = ? nếu a + b + c = 0 => x1 = 1, x2 =. c a. Hoặc a – b + c = ? nếu a - b + c = 0 => x1 = -1, c x2 = a Bài 3: Biết x1 là nghiệm của phương trình, tìm x2? a) x2 + 2x – 35 = 0 ; x1 = - 9. b) x2 - 7x – 144 = 0 ;. x1 = 2;. Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ?. Theo hệ thức Vi-ét. c c a x1.x2 = => x2 = = ? x1 a. Hoặc theo hệ thức Vi-ét. x1 + x2 = −. b b => x2 = − a a. - x1 = ? Tiết 21: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH I. Tóm tắt kiến thức cơ bản : Nếu hai số u và v có tổng là S và có tích là P thì ta tìm u và v theo các bước sau: Bước 1: Điều kiện để tồn tại hai số u và v là S2 – 4P ≥ 0. Bước 2: Giải phương trình x2- Sx + P= 0 Tính ∆ = S2- 4P −S− ∆ 2 −S+ ∆ x2 = 2. x1 =. .. Bước 3: Hai số cần tìm là x1, x2 Ví dụ 1: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 3 và tích là P = 2. Giải Bước 1: S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1>0 => tồn tại hai số. Bước 2: Gọi hai số cần tìm là u và v và nó là nghiệm của phương trình: 40. <span class='text_page_counter'>(41)</span> x2 1 x1 =. 3x + 2 = 0. Ta có: ∆ = S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = − (−3) − 1 =1; 2. − (−3) + 1 = 2 2. x2 =. Bước 3 :Vậy hai số cần tìm là 1 và 2. Ví dụ 2: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 4 và tích là P = 5. Giải S2 - 4P = 42 - 4.5= 16 – 20 = - 4 < 0 => không tồn tại hai số. II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm hai số u và v trong các trường hợp sau: a) u + v = 1, uv = -6; b) u + v = -5, uv = 6 c) u + v = 2, uv = 2 Giải: a) Ta có: S2 - 4P = 12 - 4.(-6) = 25 > 0 => tồn tại hai số. Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm của phương trình: x2 - x - 6 = 0. Ta có: ∆ = S2 - 4P = (-1)2 - 4.1.(-6) = 25; x1 =. 1+ 5 = 3; 2. x2 =. 1− 5 = −2 2. Vậy hai số cần tìm là 3 và -2. b) Ta có: S2 - 4P = (-5)2 - 4.6 = 1>0 => tồn tại hai số. Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm của phương trình: x2 + 5x + 6 = 0. Ta có: ∆ = S2 - 4P = 52 - 4.1.6 = 1; x1 =. −5 + 1 = −2 ; 2. x2 =. −5 − 1 = −3 2. Vậy hai số cần tìm là -2 và -3. c) Ta có: S2 - 4P = 22 - 4.2 = -4 < 0 => không tồn tại hai số u và v. III. Bài tập đề nghị: Bài tập 1: a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 32 và tích là P = 231. b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = -8 và tích là P = -105. c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 2 và tích là P = 9. Hướng dẫn: a) Tìm điều kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = 322 – 4.231=… Tính ∆ =……… x1 = …… x2 =…… Vậy hai số cần tìm là………. b) Tìm điêu kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = (-8)2 – 4.(41. <span class='text_page_counter'>(42)</span> 105)=… Tính ∆ =……… x1 = …… x2 =…… Vậy hai số cần tìm là………. c) Tìm điêu kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = 22 – 4.9 =… Vậy có tồn tại hai số không ?……… Tiết 22: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH I. Kiến thức cơ bản. a trong đó a, b ∈ N và b ≠ 0. b 3 ; 8...là các phân số. 14 A( x) số là biểu thức dạng , trong đó A,B B( x) và B(x) ≠ 0. x 2 − 2 xy 5a 2 b ; ; ... là các phân thức. x− y 7 xyz. - Phân số có dạng Ví dụ:. 1 ; 5. - Phân thức đại là những đa thức Ví dụ :. 3 x. - Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một phân thức là tập các giá trị của biến làm cho mẫu thức khác 0. - Phân thức. A( x) có B( x). ĐKXĐ là tập các giá trị của x sao cho. B(x) ≠ 0. - ĐKXĐ của một phương trình là tập các giá trị của biến làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0. Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức: a). 2x x−5. b). 3 − 2y2 16 y 2 − 9. Giải: a) Phân thức. 2x có nghĩa khi x - 5 ≠ 0 hay x ≠ 5 x−5. 3 − 2y2 có nghĩa khi 16 y2 - 9 ≠ 0 2 16 y − 9 hay ( 4y + 3) (4y – 3) ≠ 0 3 Suy ra y ≠± 4. b) Phân thức. Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau: a). x x+4 = x −1 x +1. b). 3 2x − 1 = −x x−2 x−2. Giải: a) Ta thấy x - 1 ≠ 0 khi x ≠ 1 và x + 1 ≠ 0 khi x ≠ -1. Vậy ĐKXĐ của phương trình Vì x- 2 ≠ 0 ⇔ 3 2x − 1 = − x là x ≠ 2 x−2 x−2. b). x≠ 2. x x+4 = là x ≠ ±1 . x −1 x +1. nên. ĐKXĐ. của. phương. trình 42. <span class='text_page_counter'>(43)</span> II. Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức. a) -. 1 3. b). 3a − 1 3a + 1. ( ĐKXĐ của phân thức. 3a − 1 3a + 1. là 3a + 1 ≠ 0 ó a ≠. ) 7x + 2 6 x + 18. ( Phân thức. ≠ -3). 7x + 2 6 x + 18. xác định khi 6x + 18 ≠ 0 hay x. Bài 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau: a). 3x − 2 6 x + 1 = x + 7 2x − 3.  x ≠ −7 x + 7 ≠ 0  ĐKXĐ:  ⇔ 3 2 x − 3 ≠ 0   x ≠ 2 x +1 x −1 4 b) − = 2 x −1 x +1 x −1 x − 1 ≠ 0 x ≠ 1  ĐKXĐ:  x + 1 ≠ 0 ⇔  x ≠ −1 x ≠ ±1  x ≠ ±1 x 2 − 1 ≠ 0  . c). 14 1 = 1− 3− x x −9 2. x 2 − 9 ≠ 0 ⇔ ĐKXĐ:  3 − x ≠ 0. x − 3 ≠ 0 ( x − 3)( x + 3) ≠ 0  <=>  x + 3 ≠ 0 <=> x ≠ ±3  3 − x ≠ 0 3 − x ≠ 0 . III. Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức a). 2x − 3 x. b). 5x + 1 x −1. c). x 4 − 3x + 6 ( x − 1)( x − 2). Bài 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau: 2x − 5 =3 x+5 12 c) =1 x −1. a). x2 − 6 3 = x+ x 2 16 30 d) + =3 x − 3 1− x. b). Hướng dẫn: Bài 1 : a) x ≠ 0 b) x ≠ 1, c) Ta có: (x - 1)(x - 2) ≠ 0 ó x – 1 ≠ 0 và x – 2 ≠ 0 Vậy với điều kiện x ≠ 1 và x ≠ 2 thì M xác định. Bài 2: a) ĐKXĐ: x ≠ -5 b) ĐKXĐ: x ≠ 0 c) ĐKXĐ: x d) ĐKXĐ: x ≠ 3, x ≠ 1 ≠ ±1. 43. <span class='text_page_counter'>(44)</span> Tiết 23:. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU. I. Kiến thức cơ bản: 1. Một số kiến thức liên quan: - Quy tắc chuyển vế; - Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn; - Cách giải phương trình tích; - Cách tìm điều kiện xác định của phương trình. 2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: + Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình; + Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức; + Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được; + Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. 3. Các dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu: Dạng 1: Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0. ⇔. ( a≠ 0 ). x = -. b a. Ví dụ: Giải phương trình: x −8 =2 x+4. (1) Giải: Điều kiện xác định của phương trình (1) là: x + 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ -4 Quy đồng mẫu thức ở hai vế ta được: x - 8 = 2(x + 4) ⇔ x - 8 = 2x + 8 ⇔ x - 2x = 8 + 8 ⇔ -x = 16 ⇔ x = -16 ( Thoả mãn ĐKXĐ) Vậy: x = -16 là nghiệm của phương trình đã cho. Dạng 2: Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc hai một ẩn: ax2+ bx + c = 0 (a ≠ 0 ) ∆ = b2- 4ac + ∆ > 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt + ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm + ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép Ví dụ: Giải phương trình: x 2 − 3x + 6 1 = 2 x −9 x−3. Giải: Điều kiện x ≠ ±3 Quy đồng mẫu thức ở hai vế ta được: 44. <span class='text_page_counter'>(45)</span> x 2 − 3x + 6 = x + 3 ⇔ x 2 − 3x + 6 − x − 3 = 0 ⇔ x2 − 4 x + 3 = 0. Giải ra ta có x1 = 1 (thỏa mãn điều kiện) x2 = 3 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có một nghiệm là x = 1 II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình: x+2 =4 x −1. (1). Giải: Điều kiện xác định của phương trình (1) là: x 1≠ 0⇔ x ≠1 Quy đồng, khử mẫu hai vế ta được: x + 2 = 4(x – 1) ⇔ x + 2 = 4x - 4 ⇔ x - 4x = -4 - 2 = -6 ⇔ - 3x x = 2 ( Thoả mãn ⇔ ĐKXĐ) Vậy: x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 2: Giải phương trình: −2 = 2x − 1 3x + 2. Giải: Điều kiện xác định của phương trình là:. x. ≠. −2 3. Quy đồng mẫu thức ở hai vế ta được: - 2 = ( 2x - 1)( 3x + 2) -2 = 6x2 + 4x – 3x - 2 ⇔ 6x2 + x = 0 ⇔ x( 6x + 1) = 0 ⇔ ⇔ x = 0 ( thoả mãn ĐKXĐ) hoặc x Vậy:. =. −1 ( Thoả mãn ĐKXĐ) 6. Phương trình đã cho có 2 nghiệm:. −1 6. x1 = 0 ;. x2 =. Bài 3: Giải phương trình: 14 1 = 1− x −9 3− x 14 1 14 1 = 1− = 1+ ⇔ 2 x−3 x2 − 9 3− x x −9 Điều kiện xác định: x ≠ 3 ; x ≠ −3 2. Giải. Quy đồng mẫu thức ở hai vế ta được: 4 = x2 – 9 + x +3 ⇔ x2 + x - 20 = 0 ∆ = 81 > 0; ∆ = 9. x1 = 4 ( thoả mãn ĐKXĐ) ⇒ 45. <span class='text_page_counter'>(46)</span> x2 = -5 ( thoả mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 4; x2 = - 5 III. Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình: 2x + 3 x − 3 = 2x − 1 x + 5. Hướng dẫn: - Tìm ĐKXĐ:. 2x – 1 ≠ 0. x + 5 ≠0 - Quy đồng mẫu và khử mẫu đưa phương trình về dạng ax = -b ⇒ x = ? ( đối chiếu ĐKXĐ) rồi kết luận nghiệm của phương trình. Bài 2: Giải phương trình: 1 3+ x −3 = x+2 x−2. Hướng dẫn: - Tìm ĐKXĐ. - Quy đồng mẫu và khử mẫu, đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0 - Giải phương trình; - Đối chiếu giá trị tìm được của x với ĐKXĐ. Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình đã cho. Tiết 24: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG I. Kiến thức cơ bản. 1. Khái niệm: Phương trình trùng phương là 4 ax + bx 2 + c = 0 (a ≠ 0). Ví dụ: x 4 − 13 x 2 + 36 = 0 ( a = 1, b = −13, c = 36). phương. trình. có. dạng. x 4 − 9 x 2 = 0 ( a = 1, b = −9, c = 0) 2. Cách giải (Bằng cách đặt ẩn số phụ): - Đặt x2 = t. Điều kiện t ≥ 0 , ta được phương trình bậc hai đối với t: at 2 + bt + c = 0 . - Giải phương trình này để tìm t (chỉ nhận những giá trị t ≥ 0 ). Sau đó tìm x = ± t . Ví dụ: Giải phương trình: 9 x 4 − 10 x 2 + 1 = 0 (1) Giải: - Đặt x 2 = t . Điều kiện: t ≥ 0 . Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t: 9t 2 − 10t + 1 = 0 (2) - Giải phương trình (2): 46. <span class='text_page_counter'>(47)</span> Ta có: 9 + (-10) + 1 = 0 ⇒ t1 = 1; t 2 =. 1 9. 1 9. Cả hai giá trị t1 = 1; t2 = đều thỏa mãn điều kiện t ≥ 0 * Với t = t1 = 1 * Với t = t 2 =. ta có x2 = 1 ⇒ x1 = −1, x2 = 1. 1 1 1 1 ta có x 2 = ⇒ x3 = − , x4 = 9 9 3 3. Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm: 1 1 x1 = −1; x2 = 1; x3 = − ; x4 = 3 3. II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình: 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 (3) Giải: Đặt x 2 = t . Điều kiện: t ≥ 0 . Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t: 0,3t2 + 1,8t + 1,5 = 0 (4) - Giải phương trình (4): Ta có: 0,3 - 1,8 + 1,5 = 0 ⇒ t1 = −1; t2 = −5 t1 = −1; t2 = −5 đều không thỏa mãn điều kiện Cả hai giá trị t≥0. Vậy phương trình (3) vô nghiệm. Chú ý : Có thể giải bài toán trên bằng cách đưa ra nhận xét: Vế trái 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 ≥ 1,5, còn vế phải bằng 0. Vậy phương trình (3) vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình: (5) 5 x 4 + 2 x 2 − 16 = 10 − x 2 Giải: 5 x 4 + 2 x 2 − 16 = 10 − x 2 ⇔ 5 x 4 + 3 x 2 − 26 = 0 - Đặt x 2 = t . Điều kiện: t ≥ 0 .. Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t: 5t 2 + 3t − 26 = 0 (6) - Giải phương trình (6): Ta có:. ∆ = 32 − 4.5.(−26) = 529; ∆ = 529 = 23 ⇒ t1 =. −3 + 23 −3 − 23 = 2; t2 = − = −2, 6 2.5 2.5. Giá trị t1 = 2 thỏa mãn điều kiện t ≥ 0 Giá trị t2 = -2 không thỏa mãn điều kiện t ≥ 0 * Với t = t1 = 2, ta có x2 = 2 ⇒ x1 = − 2, x2 = 2 . Vậy phương trình (5) có hai nghiệm: x1 = − 2, x2 = 2 III. Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình: 3x 4 + 4 x 2 + 1 = 0 (1) Giải: - Đặt x 2 = t . Điều kiện: t ≥ 0 . 47. <span class='text_page_counter'>(48)</span> Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t: 3t 2 + 4t + 1 = 0 (2) Ta có: 3 – 4 + 1=0 ⇒ t1 = −1; t 2 = −. - Giải phương trình (2): Cả hai giá trị t1 = −1; t2 = −. 1 3. 1 3. đều không thỏa mãn điều kiện.. t≥0. Vậy phương trình (1) vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình: (3) x4 − 5x2 + 4 = 0 Giải: - Đặt x 2 = t . Điều kiện: t ≥ 0 . Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t: t 2 − 5t + 4 = 0 (4) - Giải phương trình (4): Ta có: 1+(-5)+4=0 ⇒ t1 = 1; t2 = 4 Cả hai giá trị t1 = 1; t2 = 4 đều thỏa mãn điều kiện t ≥ 0 * Với t = t1 = 1 ta có x2 =1 ⇒ x1 = −1, x2 = 1 * Với t = t2 = 4 ta có x 2 = 4 ⇒ x3 = −2, x4 = 2 Vậy phương trình (3) có bốn nghiệm: x1 = −1; x2 = 1; x3 = −2; x4 = 2 Bài 3: Giải phương trình: 2x4 + 5x2 – 1 = 0 (5) 2 - Đặt x = t . Điều kiện: t ≥ 0 . Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t: 2t2 + 5t – 1 = 0 (6) - Giải phương trình (6): ∆ = 52 − 4.2.(−1) = 25 + 8 = 33;. Ta có:. −5 + 33 −5 − 33 , t2 = 4 4 −5 + 33 Giá trị t1 = thỏa mãn điều kiện t ≥ 0 4 −5 − 33 Giá trị t2 = không thỏa mãn điều kiện t ≥ 0 4 −5 + 33 *Với t = t1 = , ta có 4 t1 =. x2. =. −5 + 33 −5 + 33 −5 + 33 ⇒ x1 = , x2 = − 4 2 2. Vậy x1 =. phương. trình. (1). có. hai. nghiệm:. −5 + 33 −5 + 33 , x2 = − 2 2. Tiết 25: Kiểm tra Đề số 1 Bài 1 : Giải phương trình: a) − 2 x 2 + 2 = 0 b) 2x4 - 7x2 - 4 = 0 48. <span class='text_page_counter'>(49)</span> x2 − 1 = −1 x +1 e) x − 5 = 3. c). d). 1 − 3x x+5 +2− x− =4 4 3. Bài 2: Cho phương trình: x2 + 4(m - 1)x – 4m +10 = 0. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Bài 3: Cho phương trình x2 - 6x – 16 = 0. Biết x1 = -2 là một nghiệm của phương trình. Tìm x2? Đề số 2 Bài 1 : Giải phương trình: a) 8x2 – 7 = 0 b) 3 x 4 + 10 x 2 + 3 = 0 c). 4 6 − =5 x+ 2 x−3. d). x – ( 2x + 3x) -. 19 = 3 e) x − 1 = 2 Bài 2: Cho phương trình: x2 – 6x + m + 5 = 0. a) Giải phương trình với m = 3. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: Cho phương trình 4x2 + 4x + 1 = 0. Biết x1= -0,5 là một nghiệm của phương trình. Tìm x2? HƯỚNG DẪN CHẤM Đề số 1 NỘI DUNG. BÀI 2. a) - 2 x + 2 = 0 2 2 ⇔ - 2 x = - 2 ⇔ x = 1 ⇔ x = ±1 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = -1; x2 = 1 b) 2x4 – 7x2 – 4 = 0 (*) Đặt t = x2 (ĐK: t ≥ 0) Thay t vào (*) ta được : 2t2 – 7t – 4 = 0 (**) Giải phương trình (**) ta được: t1 =. ĐIỂM 1đ. 1đ. 1 ; t2 = 4 2. Ta thấy t1; t2 đều thoã mãn đk t ≥ 0 1 1 1 ta có: x2 = ⇔ x = ± 2 2 2 2 Với t2 = 4 ta có: x = 4 ⇔ x = ± 4 = ± 2.. Với t1 =. Bài 1 (5đ). Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: x1 = -2; x2 = 2; x3 =. 1 ; x4 = 2. 1 . 2. x2 −1 = -1 ( ĐK: x ≠ -1) x +1 2 2 ⇔ x -1 = - (x + 1) ⇔ x +x = 0 ⇔ x( x + 1) = 0 ⇔ x1 = 0; x2 = -1( loại ). c). 1đ. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 0. d). 1 − 3x x+5 +2− x− = 4 (*) MTC = 12 4 3. 1đ 49. <span class='text_page_counter'>(50)</span> ⇔ 3(1 – 3x) + 24 – 24x – 4( x + 5) = 48 ⇔ 3 – 9x + 24 – 24x – 4x - 20 – 48 = 0 ⇔ -37x = - 41 ⇔ x =. 41 37. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x =. 41 37. e) x − 5 = 3 (*) - Trường hợp 1: x − 5 = x – 5 nếu x ≥ 5 Khi đó (*) ⇔ x – 5 = 3 ⇔ x = 8. - Trường hợp 2: x − 5 = - (x – 5) nếu x < 5. Khi đó (*) ⇔ - (x – 5) = 3 ⇔ x = 2. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = 2; x2 = 8.. Bài 2 (3đ). Bài 3 (2đ). 1 đ. Xét phương trình: x2 + 2( m + 1)x + m2 +11 Có ∆' = ( m +1)2 – (m2 + 11) = m2 + 2m + 1 – m2 – 11 = 2m – 10.. 1đ. a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆' > 0 ⇔ 2m – 10 > 0 ⇔ m>5 ' b) Để phương trình có nghiệm kép ∆ = 0 ⇔ 2m – 10 = 0 ⇔ m=5. 1đ. Xét phương trình: x2 – 6x – 16 = 0 (1) Có a và c trái dấu nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = 6 Mặt khác theo giả thiết có x1 = -2 ⇒ -2 + x2 = 6 ⇒ x2 = 8. 1đ. 2đ. Đề số 2 BÀI. ĐIỂM 1đ. NỘI DUNG 2. a) 8x - 7 = 0 2. ⇔x =. 7 7 ⇔x = ± 8 8. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = -. Bài 1 4 2 2 (5đ) b) 3x + 10x + 3 = 0 (*) Đặt t = x (ĐK: t ≥ 0) 2 Thay t vào (*) ta được : 3t + 10t + 3 = 0 (**). 7 ; x2 = 8. 7 8. 1đ. 1 ; t2 = -3 3 Ta thấy t1; t2 đều không thoã mãn đk t ≥ 0.. Giải phương trình (**) ta được: t1 = -. 50. <span class='text_page_counter'>(51)</span> Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. c). 1đ. 4 6 − = 5 ( ĐK: x ≠ -2; x ≠ 3) x + 2 x −3. ⇔ 4( x - 3) - 6(x + 2) = 5( x + 2)(x – 3) 2 ⇔ 4x – 12 – 6x – 12 = 5x – 5x – 30 2 ⇔ 5x - 3x - 6 = 0 ⇔ x1 =. 3 + 129 3 − 129 ; x2 = 10 10. Vậy phương trình đã cho hai nghiệm: x1 =. 3 + 129 3 − 129 ; x2 = 10 10. 1đ. d) x – ( 2x + 3x) – 19 = 3 (*) ⇔ x – 5x - 19 = 0 ⇔ - 4x = 19 ⇔ x = −. 19 4. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = −. 19 4. e) x − 1 = 2 (*) - Trường hợp 1: x − 1 = x – 1 nếu x ≥ 1 Khi đó (*) ⇔ x – 1 = 2 ⇔ x = 3. - Trường hợp 2: x − 1 = - (x – 1) nếu x < 1. Khi đó (*) ⇔ - (x – 1) = 2 ⇔ x = - 1. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = -1; x2 = 3.. 1đ. Xét phương trình: x2 - 6x + m +5 (1) a) Với m = 3 phương trình (1) có dạng: x2 – 6x + 8 = 0 (2) Có ∆' = (-3)2 – 8 = 1 > 0 Bài 2 Vậy phương trình (2) có hai nghiệm: x1 = 2; x2 = 4. (3đ) b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆' > 0 ⇔ (-3)2 – (m + 5) > 0 ⇔ -m+4>0 ⇔ m < 4. Xét phương trình: 4x2 + 4x + 1 = 0 (1) Có ∆' = 22 – 4.1 = 0 nên phương trình (1) có nghiệm kép. Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = -1 Bài 3 Mặt khác theo giả thiết có x1 = - 0,5 (2đ) ⇒ - 0,5 + x2 = - 1 ⇒ x2 = - 0,5. 1,5đ. 1,5đ. 2đ. 51. <span class='text_page_counter'>(52)</span> CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tiết 26: KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN - HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn * Nhắc lại về phương trình bậc nhất một ẩn Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng : ax + b = 0 (a ≠ 0) −b có nghiệm duy nhất x = a −3 = −1,5 ; Ví dụ : Phương trình 2x + 3 = 0 có nghiệm duy nhất x = 2 * Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng: ax + by = c (1) trong đó a,b và c là các số đã biết, (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0). Ví dụ: Các phương trình 3x - 2y = 2, x + 5y = 0, 0x + 4y = 3, x + 0y = 10 là những phương trình bậc nhất hai ẩn. * Phương trình (1) có nghiệm là cặp số (x0 ; y0) thỏa mãn ax0 + by0 = c Ví dụ: Cặp số (3 ; 5) là một nghiệm của phương trình 2x – y = 1 vì 2.3 – 5 = 1 * Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi một điểm có tọa độ (x0;y0) 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’ khi đó ta có hệ ax + by = c phương trình bậc nhất hai ẩn: (I)  a'x + b'y = c' 2x + y = 3 2y = 3 2x + y = 0 Ví dụ 1:  ;  ; là các hệ phương trình bậc nhất 3x + y = 1 2x +4 y = 1 3x = 1 2 ẩn. +) Nếu hai phương trình của hệ có nghiệm chung (x0;y0) thì (x0;y0) là một nghiệm của hệ (I).. Ví dụ 2:. 2 x + y = 4 có một cặp nghiệm (1;2);  − x + y = 1. +) Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm 52. <span class='text_page_counter'>(53)</span> 3 x − 2 y = 1 Ví dụ:  −6 x + 4 y = −2. Hệ vô nghiệm.. ax + by = c a ' x + b ' y = c '. + Cho hệ phương trình . Hệ vô số nghiệm khi. a b c = = . a' b' c'. x ∈ R Nghiệm tổng quát là  c − ax  y = b. hoặc. c − by  x = a   y ∈ R. a b c = ≠ a' b' c' a b Hệ có nghiệm duy nhất khi ≠ a' b'. Hệ vô nghiệm khi. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài 1: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không: a) (-4 ; 5). 7 x − 5 y = −53  − 2 x + 9 y = −53 x − y = 2. b) (3 ; 11)  − 2 x + y = 3 Bài 2: Hãy xác định các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ và cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau. 2 x − 3 y = 1. − x + 3 y = 5. a)  b)  − x + 2 y = 5 9 y − 3 x = 10. 5 x − 3 y = 7 c)  2 y = 9.  −2 x + 3 y = 5. d)  9 y − 6 x = 15. (m − 1) x + 3 y = 4. Bài 3: Cho hệ phương trình:  2 x − 6 y = 1. Với giá trị nào của m hệ đã cho có nghiệm duy nhất? III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài 1: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không: a) (1,5 ; 2), (3 ; 7) và b) (1 ; 8). 10 x − 3 y = 9  − 5 x + 1,5 y = 45. 5 x + 2 y = 9   x + 14 y = 5 2mx − y = 2. Bài 2: Cho hệ phương trình:  4 x + 6 y = m a) Hãy xác định các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ của hệ phương trình trên. b) Với giá trị nào của m hệ đã cho có nghiệm duy nhất? Vô nghiệm? Tiết 27 53. <span class='text_page_counter'>(54)</span> GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. *) Quy tắc thế: - Quy tắc: Sgk trang 13 Dạng 1: Hệ phương trình chỉ có một nghiệm. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:  x − 3 y = 2  −2 x + 5 y = 1. (I ). (1) ( 2). Giải Bước 1: Từ phương trình (1) biểu diễn x theo y, ta có x = 3y + 2 ( *) Thế phương trình (*) vào phương trình (2), ta được : -2 (3y + 2) + 5y = 1 (1') Bước 2: Dùng phương trình (1') thay thế cho pt (2) Và dùng phương trình (*) thay thế cho phương trình (1) , ta được hệ mới: x = 3y + 2  − 2(3 y + 2 ) + 5 y = 1. Giải hệ phương trình (I ) x = 3y + 2 ⇔  ⇔ − 2(3 y + 2 ) + 5 y = 1. (I ). x = 3 y + 2   y = −5.  x = −13 ⇔  y = −5. Vậy hệ (I ) có nghiệm duy nhất (x;y) = (− 13;−5). Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:. (II ). 2 x − y = 3  x + 2 y = 4. Giải: Ta có:. (II ).  y = 2x − 3  y = 2x + 3  y = 2x − 3 x = 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x + 2(2 x − 3) = 4 5 x − 6 = 4 x = 2 y = 1. Vậy hệ (II ) có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: x − y = 3. (III)  3 x − 4 y = 2 Giải: Ta có: x = y + 3. x = y + 3  x = y + 3  x = 10 ⇔ ⇔ ⇔ 3 y + 9 − 4 y = 2  − y = −7 y = 7 3 ( y + 3) − 4 y = 2. ( III ) . Vậy hệ (III) có nghiệm duy nhất (x;y) = (10;7) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:. 54. <span class='text_page_counter'>(55)</span> 3 x − 2 y = 11 4 x − 5 y = 3. ( IV ) . Giải: Nhận xét: Ta phải chia cả hai vế của một trong hai phương trình trên cho hệ số của x hoặc y. 3  5 3 x − 2 y = 11 3( y + ) − 2 y = 11 x = 7  4 4 Ta có: ( IV ) ⇔  5 ⇔ 3 ⇔ x− y = y = 5 x − 5 y = 3 4  4  4 4. Vậy hệ (IV) có nghiệm duy nhất (x;y) = (7;5) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài 1:Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: 4 x − 5 y = 3. a)  x − 3y = 5.  x + y 5 = 0   x 5 + 3 x = 1 − 5. b). Bài 2: Tìm a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5:3), B  ; −1 3 2. . III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: 3 x − y = 5 5 x + 2 y = 23. a) . 3 x + 5 y = 1  2 x − y = −8. b) . Bài 2: Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình 2 x + by = −4  bx − ay = −5. có nghiệm là (1;-2) TIẾT 28: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. *) Quy tắc thế: - Quy tắc: Sgk/13 Dạng 2: Hệ phương trình có vô số nghiệm. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: 4 x − 2 y = −6  −2 x + y = 3. (I ) . Giải: Ta có:  4 x − 2 ( 2 x + 3 ) = −6. ( I ) ⇔ .  y = 2 x + 3 x ∈ R ⇔  y = 2x + 3.  y = 2x + 3 ⇔ 0 x = 0. Vậy hệ phương trình (I) có vô số nghiệm. 55. <span class='text_page_counter'>(56)</span> Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: 4 x + 5 y = 20 0,8 x + y = 4. ( II ) . Giải: Ta có 4 x + 5 ( −0,8 x + 4 ) = 20. ( II ) ⇔ . 4 x − 4 x + 20 = 20 ⇔  y = −0,8 x + 4.  y = −0,8 x + 4 0 x = 0 x ∈ R ⇔ ⇔  y = −0,8 x + 4  y = −0,8 x + 4. Vậy hệ phương trình (II) có vô số nghiệm. Dạng 3: Hệ phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: 4 x + y = 2 8 x + 2 y = 1. ( III ) . Giải: Ta có:  y = 2 − 4x.  y = 2 − 4 x  y = 2 − 4x ⇔ ⇔ 8 x + 2 ( 2 x − 4 ) = 1 8 x + 4 − 8 x = 1 0 x = −3 (*). ( III ) ⇔ . Không có x thoả mãn phương trình (*) . Vậy hệ phương trình (III) vô nghiệm. 4 x + 5 y = 20 2 x + 2,5 y = 5. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: ( IV ) . Giải: Nhận xét : Ta chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho hệ số của x hoặc của y . 4  4  y =− x+4 4   x+ y = 4  y = − x + 4 5 5 ⇔ ⇔ ( IV ) ⇔  5 2 x + 2,5 y = 5 2 x + 2,5(− 4 x + 4) = 5  0 x = − 5 ( *)   5. Không có x thoả mãn phương trình (*) . Vậy hệ phương trình (IV) vô nghiệm. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài 1:Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: 3 x − y = 1 5 3 x − y = 2. a) . b). 6 x + 4 y = 8  3 x + 2 y = 4. Bài 2: Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1): 5x -2y = 3, (d2): x + y = m cắt nhau tại một điểm trên trục tung. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 2 x + 3 y = 5. Bài 1: Giải hệ phương trình:  3 x − 2 y = 1. 56. <span class='text_page_counter'>(57)</span> x + 3y = 1 Bài 2: Giải hệ phương trình  2 ( a. a) a = -1. ). + 1 x + 6 y = 2a. b) a = 0. trong mỗi trường hợp sau:. c) a = 1. TIẾT 29: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. - Quy tắc cộng đại số: (SGK – Tr 16) *Dạng 1: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình bằng nhau Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 4 x + 7 y = 16  4 x − 3 y = −24. Nhận xét: Hệ số của ẩn x bằng nhau, trừ vế với vế hai phương trình ta được: (1) 10 y = 40 Giải phương trình (1) ta được y = 4. Thay y = 4 vào phương  4 x + 7 y = 16 (2). trình (2) ta được 4x + 7.4 = 16 ó x = - 3. Ta trình bày lời giải như sau:. (1) 4 x + 7 y = 16 10 y = 40 y = 4 y = 4 ó  ⇔ ó  4 x − 3 y = −24 4 x + 7 y = 16  x = −3 4 x + 7 y = 16 (2). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (-3; 4) *Dạng 2. Hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình đối nhau 3 x + y = 3. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  2 x − y = 7 Nhận xét: Hệ số của ẩn y đối nhau, cộng vế với vế hai phương trình ta được: 5 x = 10 (1)  2 x − y = 7 (2). Giải phương trình (1) ta được x = 2 thay x = 2 vào phương trình (2) ta được 2.2 –y = 7 ó y = -3. Ta trình bày lời giải như sau: 3 x + y = 3  2 x − y = 7. 5 x = 10 x = 2 ⇔  ⇔ 2 x − y = 7  y = −3. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -3) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài 1. a,Giải hệ phương trình 2 x + 5 y = 8 (1) 2 x − 3 y = 0 (2). (I) . Trừ vế với vế của pt (1) cho pt (2) ta được: 57. <span class='text_page_counter'>(58)</span> y =1 8 y = 8 y =1  (I) ⇔  ⇔ ⇔ 3 2 x − 3 y = 0 2 x − 3.1 = 0  x = 2 3 2. V ậy ( ;1) là nghiệm của hệ phương trình b. Giải hệ phương trình sau: (1) 2 x + 5 y = 2 (II)  −2 x − 5 y = −5 (2). Cộng vế với vế của pt (1) và pt (2) ta được: 0 x + 0 y = −3 phương trình vô nghiệm Vậy hệ đã cho vô nghiệm Bài 2. Giải hệ phương trình sau 2 x − 11 y = −7  10 x + 11 y = 31. 12 x = 24 x = 2 ⇔ ⇔ 10 x + 11 y = 31  y = 1. Vậy nghiệm của hệ là (2;1) III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: 2 x + 5 y = 8. a)  2 x − 3 y = 0. 2 x + y = 3 3 x − y = 9. c) . 4 x − 6 y = 22  −4 x + 6 y = 5. c) . b) . 2 x + 5 y = 7 2 x − 3 y = −1. Bài 2: −6 x + 21 y = −6 6 x − 11 y = 26. a) . b) . 7 x + 2 y = 11 5 x − 2 y = 6. TIẾT 30: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. * Dạng 3: Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau hoặc không đối nhau nhưng có một hệ số là bội của hệ số kia của cùng một ẩn 4 x + 3 y = 6(1). Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  2 x + y = 4(2). Nhận xét: Hệ số của ẩn x ở phương trình (1) là bội của hệ số của ẩn x của phương trình (2). Ta nhân hai vế của PT (2) với 2, ta được 4x + 2y =8 4 x + 3 y = 6. Ta được hệ  (Dạng 1) 4 x + 2 y = 8 Ta trình bày lời giải như sau: 4 x + 3 y = 6 4 x + 3 y = 6  y = −2  y = −2 ⇔ ⇔ ⇔  2 x + y = 4 4 x + 2 y = 8 2 x + y = 4 x = 3. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; -2) * Dạng 4. Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau hoặc không đối nhau và không là bội của nhau. 58. <span class='text_page_counter'>(59)</span> Ví dụ 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Cách giải: Nhân PT (1) với 4, nhân PT (2) với 3 để hệ số của ẩn x trong hai phương trình của hệ bằng nhau (Dạng 1). 3 x − 2 y = 11 12 x − 8 y = 44 7 y = 35 y = 5 ⇔ ⇔ ⇔  4 x − 5 y = 3 12 x − 15 y = 9 4 x − 5 y = 3  x = 7. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (7; 5) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng: 2 x + 3 y = −2 6 x + 9 y = −6 13 y = 0 y = 0  2 x + 3 y = −2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  3 x − 2 y = −3 3 x − 2 y = −3 6 x − 4 y = −6 3 x − 2 y = −3  x = −1. a. . Vậy hệ phương trình có nghiệm là (-1 ; 0) 2 x − 7 y = 2. (1). −6 x + 21 y = −6. x = 8. b.  ⇔ ⇔ 6 x − 11 y = 26 (2) 6 x − 11 y = 26 y = 2 Bài 2: Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm A và B. Biết A(2; -2) và B(-1; 3). Giải Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; -2) nên toạ độ điểm A thoả mãn y = ax + b: Ta có 2a + b = -2 (1) Đồ thị hàm số đi qua điểm B(-1; 3). nên toạ độ điểm B thoả mãn y = ax + b: Ta c ó –a + b = 3 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình. Vậy với a =. −5  a=  2a + b = −2  3 ⇔  −a + b = 3 b = 4  3. −5 4 ; b = thi đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2; -2) và B(-1; 3). 3 3. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: 1,3 x + 4, 2 y = 12 0,5 x + 2,5 y = 5,5. a) . 5 x + 2 y = 3. b)  2 x − 3 y = 5. Bài 2 : Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = (2m-5)x – 5m đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 3y = 7 và (d2): 3x + 2y = 13.. TIẾT 31: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ BẰNG CHƯƠNG TRÌNH GÀI SẴN TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI CASIO I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Sử dụng máy tính FX 220A - FX 500A Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số (theo chương trình gài sẵn trên máy 59. <span class='text_page_counter'>(60)</span> tính bỏ túi), trước hết ta phải viết hệ đó dưới dạng tổng quát:. a1 x + b1 y = c1  a2 x + b2 y = c2. Sau đó ấn MODE 2 để chuẩn bị đưa các hệ số của hệ phương trình vào máy. Khi đó màn hình xuất hiện chữ SIMUL ở góc dưới bên phải, chữ a1và dấu ? ở bên phải. Các hệ số đưa vào máy cũng phải có dạng chính tắc (tổng quát) đã nêu ở trên; màn hình sẽ lần lượt xuất hiện chữ ký hiệu hệ số tương ứng. Nếu hệ phương trình cần giải có nghiệm duy nhất thì sau khi đưa đủ các hệ số vào máy, màn hình hiện giá trị đúng (hoặc gần đúng) của ẩn x. Sau khi ấn DATA, Màn hình sẽ xuất hiện ẩn y. Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì màn hình xuất hiện chữ -E-. Xóa ký hiệu đó bằng cách ấn AC. Chuyển sang giải hệ phương trình khác bằng cách ấn SHIFT SAC Thoát khỏi chương trình giải hệ PT bậc nhất hai ẩn bằng cách ấn MODE O 2. Sử dụng máy tính FX 500MS - FX 570MS.... Cách sử dụng như với các loại máy tính trên chỉ khác thao tác mở giao diện màn hình để làm việc, và tắt máy (thoát khỏi chương trình). * Ấn MODE MODE 1 2 để mở nếu là máy tính FX500MS * Ấn MODE MODE MODE 1 2 để mở nếu là máy tính FX5700MS * Tắt máy (thoát khỏi màn hình làm việc với giải hệ phương trình) ấn MODE 2 III. BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải các hệ phương trình sau: Bài 1. (bài 38- SBT toán 9 tập II) 3 x + 2 y = 23  −3x + 5 y = 26. Ấn MODE 2 3 DATA 2 DATA 23 DATA 3 +/- DATA 5 DATA 26 DATA Kết quả : x = 3 DATA Kết quả : y = 7 Bài 2 (bài 13 a trang15/ SGK toán 9 tập II) 3 x − 2 y = 11  4 x − 5 y = 3. Ấn MODE 2 3 DATA 2 +/- DATA 11 DATA 4 DATA 5 +/- DATA 3 DATA Kết quả : x = 7 DATA Kết quả : y = 5 Bài 3 (bài 24 SGK toán 9 tập II trang 19) 2( x + y ) + 3( x − y ) = 4  ( x + y ) + 2( x − y ) = 5. Trước hết phải đưa hệ PT về dạng hệ PT bậc nhất hai ẩn tổng quát (hệ II) 2 ( x + y ) + 3 ( x − y ) = 4 2 x + 2 y + 3x − 3 y = 4 5 x − y = 4 ⇔ ⇔ ( II )   x + y + 2x − 2 y = 5 3 x − y = 5 ( x + y ) + 2 ( x − y ) = 5. Sau đó sử dụng máy tính để tính nghiệm của hệ PT 60. <span class='text_page_counter'>(61)</span> Ấn MODE 2 5 DATA 1 +/- DATA 4 DATA 3 DATA 1 +/- DATA 5 DATA Kết quả : x = - 0,5 DATA Kết quả : y = - 6,5 Bài 4 (bài 20 SBT toán 9 tập II)  x + 3 y = 4 y − x + 5  2 x − y = 3 x − 2 ( y + 1). Trước hết phải đưa hệ PT về dạng hệ PT bậc nhất hai ẩn tổng quát (hệ III)  x + 3 y = 4 y − x + 5 2 x − y = 5 ⇔ ( III )    − x + y = −2 2 x − y = 3 x − 2 ( y + 1). Sau đó sử dụng máy tính để tính nghiệm của hệ PT Ấn MODE 2 2 DATA 1 +/- DATA 5 DATA 1 +/- DATA 1 DATA 2 +/DATA Kết quả : x = 3 DATA Kết quả : y = 1 Bài 5: (Bài 40 ý a SGK toán 9 tập II trang 27) 2 x + 5 y = 2  2  5 x + y = 1. Ấn MODE 2 2 DATA 5 DATA 2 DATA 2 ab/c 5 DATA 1 DATA 1 DATA Kết quả : -EDATA Kết quả : -E(Hệ PT trên vô nghiệm ) III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số sau đó sử dụng máy tính CASIO để kiểm tra kết quả 2 x + 5 y = 8. a)  2 x − 3 y = 0. 1,3 x + 4, 2 y = 12 0,5 x + 2,5 y = 5,5. b) . Bài 2. Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế sau đó sử dụng máy tính CASIO để kiểm tra kết quả x − y = 3. a)  3 x − 4 y = 2. TIẾT 32:. b).  x + y 5 = 0   x 5 + 3 x = 1 − 5. BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. Vận dụng các quy tắc đã học (quy tắc cộng, quy tắc thế) để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 61. <span class='text_page_counter'>(62)</span> * Lưu ý: Có sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài 1: Giải các hệ phương trình sau x − 2y = −4 a. (I)  2x + 5y = 1. 7x − 5y = 3 b. (II)  4x − y = −2. Giải a. Biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất, ta có: x = 2y − 4 x = 2y − 4 x = 2.1 − 4 x = −2 (I) ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ 2 ( 2y − 4) + 5y = 1 9y = 9 y = 1 y = 1 Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (-2; 1) b. Biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai, ta có: x = −1 7x − 5(4x + 2) = 3 −13x = 13  x = −1 ⇔ ⇔ ⇔ (II) ⇔  y = 4x + 2 y = 4x + 2 y = 4 ( −1) + 2 y = −2 Vậy hệ (II) có nghiệm duy nhất (-1; -2) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau 2x + 7y = 8 3x + 2y = −4 a. (III)  b.( IV )  2x − 3y = −12 −2x + 2y = 6 Giải a. Trừ từng vế hai phương trình trong hệ (III), ta được 10y = 20 y = 2 y = 2  x = −3 (III) ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ 2x + 7y = 8 2x + 7.2 = 8 2x = −6 y = 2 Vậy hệ (III) có nghiệm duy nhất (-3; 2) b. Trừ từng vế hai phương trình trong hệ (IV), ta được. x = −2 5x = −10 x = −2 x = −2 ⇔ ⇔ ⇔ 3x + 2y = −4 3( −2) + 2y = −4 2y = 2 y = 1. ( IV ) ⇔ . Vậy hệ (IV) có nghiệm duy nhất (-2; 1) Bài 3: Giải các hệ phương trình sau 2x − 11y = −7 4x + 7y = 16 a.( V )  b. ( VI )  5x + 11y = 14 −4x + 3y = 24 Giải a. Cộng từng vế hai phương trình trong hệ (V), ta được x = 1 7x = 7 x = 1 x = 1  ⇔ ⇔ ⇔ (V )⇔  9 2x − 11y = −7 2.1 − 11y = −7 −11y = −9 y =  11  9 Vậy hệ (V) có nghiệm duy nhất  1;   11  62. <span class='text_page_counter'>(63)</span> b. Cộng từng vế hai phương trình trong hệ (VI), ta được 10y = 40 y = 4 y = 4  x = −3 ⇔ ⇔ ⇔ 4x + 7y = 16 4x + 7.4 = 16 4x = −12 y = 4. ( VI ) ⇔ . Vậy hệ (VI) có nghiệm duy nhất (-3; 4) Bài 4: Giải các hệ phương trình sau 8x − 7y = 5 (1) 3x + 5y = 24 ( 3) a.( VII )  b.( VIII )  4x + 6y = −7 ( 2) 4x − 2y = 6 ( 4) Giải a. Hệ số của ẩn x trong phương trình (1) là bội của hệ số cùng ẩn x trong phương trình (2) nên ta nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2, ta được. 1  y = −1 8x − 7y = 5 −19y = 19 x = − ⇔ ⇔ ⇔ ( VII ) ⇔  4 8x + 12y = −14 4x + 6y = −7 4x + 6( −1) = −7 y = −1   1  Vậy hệ (VII) có nghiệm duy nhất  − ; −1  4  b. Nhân hai vế phương trình (3) với 4, nhân hai vế của phương trình (4) với 3, ta được 12x + 20y = 96 26y = 78 y = 3 x = 3 ⇔ ⇔ ⇔ 12x − 6y = 18 4x − 2y = 6 4x − 2.3 = 6 y = 3. ( VIII ) ⇔ . Vậy hệ (VIII) có nghiệm III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Giải các hệ phương trình sau x + 3y = 5 Bài 1: a.  3x − 4y = 2. x − y = 1 b.  3x + 4y = 5. 3x + 5y = 4 Bài 2: a.  3x − 6y = 8. 5x − 2y = 8  b.  2 1 x − 3 y = 3 3. 3x + 5y = 34 Bài 3: a.  4x − 5y = −13. −3x + 2y = 22 b.  3x + 5y = 13. 2x − 6y = −7 a.  10x + 7y = 39. 4x + y = −5 b.  3x − 2y = −12. Bài 4:. TIẾT 33: BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng, thế, và phương pháp đặt ẩn 63. <span class='text_page_counter'>(64)</span> phụ II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Giải các hệ phương trình sau:  1  x + 1 + b)   3 −  x + 1. 1 1 + =3 a)  x y   1 − 2 = −3  x y.  2  x + 1 + c)   1 +  x + 1. 2 =1 y −1 1 = −4 y −1. 1 =3 y +1 3 = −1 y +1. BÀI GIẢI. 1 1 + =3 a)  x y   1 − 2 = −3  x y. 1  x = u Đặt  1 = v  y. (I). u + v = 3. 2u + 2v = 6. (1). 3u = 3. u = 1. ⇔ ⇔ ⇔ (2) (I) ⇔  u − 2v = −3 u − 2v = −3 u − 2v = −3 v = 2. Thay (2) vào (1) ta được: 1 x = 1  x = 1  ⇔ 1 1  =2  y = 2  y. Thử lại: Dùng máy tính bỏ túi thử lại nghiệm của hệ PT ( HS thử )  1  x + 1 + b)   3 −  x + 1. 2 =1 y −1 1 = −4 y −1. u + 2v = 1.  1  x + 1 = u Đặt   1 =v  y − 1. (II) u + 2v = 1. 7u = −7. (3) u = −1. u = −1. (II) ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3u − v = −4 6u − 2v = −8 u + 2v = 1 u + 2v = 1 v = 1. (4). Thay (4) vào (3) ta được:  1  x + 1 = −1 1 = −( x + 1)  x = −2 ⇔ ⇔  1 1 = y − 1 y = 2  =1  y − 1. Thử lại: Dùng máy tính bỏ túi thử lại nghiệm của hệ PT ( HS thử )  2  x + 1 + c)   1 +  x + 1. 1 =3 y +1 (III) 3 = −1 y +1.  1  x + 1 = u Đặt   1 =v  y + 1. (5). 64. <span class='text_page_counter'>(65)</span> 2u + v = 3 2u + v = 3 2u + v = 3 2u + v = 3 u = 2 (6) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ u + 3v = −1 2u + 6v = −2 −5v = 5  v = −1  v = −1. (III) ⇔ . Thay (6) vào (5) ta được:  1 =2 −1   x + 1 x = ⇔ 2  1   = −1  y = −2  y + 1. Thử lại: Dùng máy tính bỏ túi thử lại nghiệm của hệ PT ( HS thử ) III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Giải các hệ phương trình sau: 2 1  x + y = 8 a)   1 + 3 = −6  x y. 2  x + b)  1 +  x. 1 =3 y−2 3 = −6 y−2.  2x  x + 1 + c)   x +  x + 1. y =3 y +1 3y = −1 y +1. TIẾT 34: KIỂM TRA ĐỀ SỐ 1: Giải các hệ phương trình sau: Câu 1: Giải hệ các phương trình: 4 x + 7 y = 16 4 x − 3 y = −24. 3 x − 5 y = 2  4 x + 2 y = −6. a) . b) . Câu 2: Tìm hai số a và b sao cho 5a - 4b = -5 và đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm A(-7 ; 4) Câu 3 : Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = (2m-5)x – 5m đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 3y = 7 và (d2): 3x + 2y = 13. ĐỀ SỐ 2: Câu 1: Giải hệ phương trình sau: 2 x + 3 y − 10 = 0  3 x − 2 y − 2 = 0 Câu 2: Tìm các giá trị của a và b sao cho đường thẳng ax - by = 4 đi qua điểm A(4 ; 3), B(-6 ; -7) 2 x + y = −1. a)  −3 x − 2 y = 1. b). x + 3y = 1 Câu 3: Giải hệ phương trình  2. (. ).  a + 1 x + 6 y = 2a. a) a=-1. b) a= 0. trong mỗi trường hợp sau:. c) a = 1. 65. <span class='text_page_counter'>(66)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM Đề Số 1 Câu 1. Nội dung 4 x + 7 y = 16. 10 y = 40. y = 4. Thang điểm  x = −3. ⇔ ⇔ ⇔ a)  4 x − 3 y = −24 4 x − 3 y = −24 4 x − 3.4 = −24 y = 4 3 x − 5 y = 2. 12 x − 20 y = 8. 1,5.  x = −1. Giải hệ ta tìm được  b)  ⇔ 4 x + 2 y = −6 12 x + 6 y = −18  y = −1 1,5 2. Vì đường thẳng (d): ax + by = -1 đi qua điểm A(-7;4) nên -7a + 4b = -1. Mặt khác, theo gt có 5a -4b = -5. −7a + 4b = −1. Giải hệ phương trình  5a − 4b = −5. 3. với hai ẩn số a và b ta được:. a=3; b=5. 3. 2 x + 3 y = 7. - Giải hệ  ,tìm được (x;y) = (5;-1). 3 x + 2 y = 13. 4. - Thay x = 5, y = -1 vào phương trình y = (2m – 5)x – 5m để tìm giá trị của m - Tím được m = 4,8 Đề Số 2 Câu. Nội dung. Thang điểm. 66. <span class='text_page_counter'>(67)</span> 1. 2 x + y = −1 4 x + 2 y = −2  x = −1 ⇔ ⇔  −3 x − 2 y = 1  −3 x − 2 y = 1 y =1. a) . 3. 2 x + 3 y − 10 = 0 4 x + 6 y = 20  x = 2 ⇔ ⇔  b) 3x − 2 y − 2 = 0 9 x − 6 y = 6  y =1 2. - Để đường thẳng (d): ax – by = 4 đi qua điểm A(4;3), B(-6;-7) ta 4a − 3b = 4 có hệ phương trình  −6a + 7b = 4. 2,5. - Giải hệ phương trình tìm được x = 4, y = 4. 3. x + 3y = 1 x + 3y = 1 hệ phương trình vô nghiệm. ⇔ 2 x + 6 y = −2  x + 3 y = −1. a) . x = 2 x + 3y = 1  b)  ⇔ 1 x + 6 y = 0  y = − 3 x + 3y = 1. 1,5. 1,5. x + 3y = 1. c)  hệ phương trình vô nghiệm. ⇔ 2 x + 6 y = 2 x + 3y = 1. 1,5. CHUYÊN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN I: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH TIẾT 35: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN VỀ SỐ - CHỮ SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. * Nhắc lại các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8: + Bước 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập các phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng. + Bước 2: Giải phương trình + Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời *Giải hệ phương trình: + Bằng phương pháp thế: - Biểu thị một ẩn (giả sử x) theo ẩn kia từ một trong hai phương trình của hệ. 67. <span class='text_page_counter'>(68)</span> - Thay biểu thức của x vào phương trình kia rồi tìm giá trị của y. - Thay giá trị của y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm giá trị của x. + Bằng phương pháp cộng đại số: - Biến đổi để các hệ số của một ẩn (giả sử x) có giá trị tuyệt đối bằng nhau. - Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để khử ẩn x. - Giải phương trình tìm được có một ẩn y, và tìm y. - Thay giá trị y vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của x. - Kết luận nghiệm của hệ phương trình. * Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Tương tự như giải bài toán bằng cách lập trình bậc nhất một ẩn, chỉ khác là : - Phải chọn hai ẩn số - Lập một hệ hai phương trình. - Giải bằng hai cách phương pháp thế, hoặc phương pháp cộng đại số như nói trên. * Nhắc lại công thức liên hệ giữa số bị chia, số chia, thương và số dư Số bị chia = (số chia) x (thương) + (số dư); (Số dư < số chia) * Nhắc cách viết số có hai chữ số dưới dạng một tổng (cấu tạo số) nếu a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị thì ab = 10a + b Với a, b ∈ N và 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài tập 1: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và dư là 124. Giải: Gọi số lớn hơn là x và số nhỏ là y (ĐK: x, y ∈ N; y >124) Theo đề bài tổng hai số bằng 1006 nên ta có phương trình x + y= 1006 (1) Vì lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 dư là 124 nên ta có phương trình: x = 2y + 124 (2) 68. <span class='text_page_counter'>(69)</span>  x + y = 1006  x = 2 y + 124. Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  Giải hệ phương trình ta được:.  x = 712   y = 294. (TMĐK) Vậy số lớn là. 712; số nhỏ là 294.. Bài tập 2: Một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới lớn hơn số đã cho là 63. Biết tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Giải: Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y ĐK: x, y ∈ N; 1 ≤ x, y ≤ 9 Theo đề bài ta có số đã cho là : xy = 10x + y Đổi chỗ hai chữ số cho nhau, ta được số mới là yx = 10y + x Nếu đổi chỗ hai chữ số ban đầu thì ta được một số mới lớn hơn số ban đầu là 63 nên ta có: (10y + x) - (10x + y) = 63 (1) Biết tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 nên ta có: (10x + y) + (10y + x) = 99 (2) (10 y + x ) − (10 x + y ) = 63. Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  (10 x + y ) + (10 y + x ) = 99 x =1. (TMĐK) Giải hệ phương trình ta được:  y = 8 Vậy số đã cho là 18. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài tập 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng các chữ số bằng 8, nếu đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó tăng lên 18 đơn vị. Bài tập 2: Tìm hai số biết rằng tổng của chúng là 18. Nếu tăng mỗi số thêm hai đơn vị thì tích của chúng sẽ tăng gấp 1,5 lần. Bài tập 3: Khi nhân hai số tự nhiên hơn kém 10 đơn vị, một học sinh đã làm sai, nên trong kết quả số hàng chục thiếu đi 3. Biết rằng nếu đem kết quả sai đố chia cho số nhỏ hơn trong hai số ban đầu sẽ được thương là 25 và số dư là 4.Tìm hai số đó.. 69. <span class='text_page_counter'>(70)</span> TIẾT 36: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. * Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ PT: + Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ( ghi rõ đơn vị của ẩn). - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình. + Bước 2: Giải hệ phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả thích hợp và trả lời * Các kiến thức liên quan: Công thức: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài tập 1: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A Bảng phân tích tóm tắt S(km) Dự định Nếu xe chạy chậm Nếu xe chạy nhanh. V(km/ h). x. T(giờ) y. x. 35. y + 2. x. 50. y - 1. Giải: Gọi x km) là độ dài quãng đường AB ( x > 35) Thời gian dự định để đi đến B lúc 12h trưa là y (h), ( y >1 ) Nếu xe chạy với vận tốc 35 (km/h) thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định, ta có phương trình: x = 35(y+2) (1) Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B 70. <span class='text_page_counter'>(71)</span> sớm 1giờ so với dự định ta có phương trình: 50(y - 1) (2). x =.  x = 35( y + 2)  x = 50( y − 1). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:   y =8  x = 350. Giải hệ phương trình ta được: . (TMĐK). Vậy quãng đường AB là 350 km và thời điểm xuất phát của ô tô tại A là: 12 - 8 = 4 (h) Bài tập 2: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh, cách nhau 150 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và vận tốc của ô tô B giảm đi 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B. Lập bảng tóm tắt như bài toán 1, sau đó giải. Giải: Gọi vận tốc của ô tô A là x (km/h), (x > 5) vận tốc của ô tô B là y (km/h), ( y > 5) Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh, cách nhau 150 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ ta có phương trình: 2x + 2y = 150(1) Vận tốc của ô tô A sau khi tăng thêm 5km/h là: x + 5 (km/h) Vận tốc của ô tô B sau khi giảm 5km/h là : y - 5 (km/h) Vì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B nên ta có phương trình: x + 5 = 2(y- 5) ⇔ x - 2y = - 15 (2) 2 x + 2 y = 150. Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:   x − 2 y = −15  x = 45. Giải hệ phương trình ta được:  (TMĐK)  y = 30 Vậy vận tốc của ô tô A là 45 km/h vận tốc của ô tô B là 30 km/h III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài tập 1: Một xe khách và một xe Du lịch khởi hành cùng một lúc từ Hà Nội đi Hải Phòng Xe Du lịch có vận tốc lớn hơn vận tốc xe khách là 20 km/h do đó đến Hải phòng trước xe Khách là 25 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Biết khoảng cách giữa Hà Nội và Hải phòng là 100 km. 71. <span class='text_page_counter'>(72)</span> Bài tập 2: Một người đi xe đạp và một người đi xe máy cùng khởi hành từ A đến B dài 57 km. Người đi xe máy đến B nghỉ lại. 1 giờ rồi quay trở lại A và gặp người đi xe 3. đạp cách B là 24 km. Tính vận tốc mỗi người, biết vận tốc xe máy hơn vận tốc xe đạp là 36 km/h Bài tập 3: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đên sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu. Hướng dẫn: Gọi x (h) là thời gian dự định đi lúc đầu ( x > 0) y (km) là độ dài quãng đường AB ( y > 0) Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ, ta được: y = x + 2 ⇔ 35x - y = - 70 (1) 35. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn được:. 2 giờ,ta. y = x - 1 ⇔ 50x - y = 50 (2) 50 35 x − y = −70. Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:   50 x − y = 50  x =8. (TMĐK) Giải hệ phương trình ta được:   y = 350 Vây, quãng đường AB bằng 350 km và thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ. TIẾT 37: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG (TIẾP) I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. - Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ PT: + Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ( ghi rõ đơn vị của ẩn). - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình. + Bước 2: Giải hệ phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả thích hợp và trả lời - Các kiến thức liên quan: 72. <span class='text_page_counter'>(73)</span> Công thức: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian). Công thức : Vt xuôi = Vt + Vn Vt ngược = Vt - Vn II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài tập 1: Lúc 7 giờ một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8 giờ 30 phút, một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ? Giải: 1 2. Đổi 8giờ 30 phút = 8 (giờ) Gọi x (h) là thời gian hai người gặp nhau (ĐK: x >. 17 2. ) Gọi y (km) là quãng đường từ A nhau (ĐK: y > 0 ) Với giả thiết: Người thứ nhất đi với vận tốc 40 km/h và giờ, ta được: 40(x - 7) = y ⇔ 40x - y = 280 Người thứ hai đi với vận tốc 60 km/h và giờ 30 phút, ta được:. tới điểm gặp xuất phát lúc 7 (1) xuất phát lúc 8. 17 ) = y ⇔ 60x - y = 510 (2) 2 40 x − y = 280 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  60 x − y = 510 1  x = 11 Giải hệ phương trình, ta được  2 (TMĐK)  y = 180 1 Hai người gặp nhau lúc 11 h, hay 11giờ 30 phút. 2. 60(x -. Bài tập 2: Một chiếc ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định, nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ, nếu vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến B chậm hơn 3 giờ. Tính chiều dài khúc sông AB. Giải Gọi vận tốc dự định của ca nô đi từ A đến B là x (km/h), (x >3) Thời gian dự định đi từ A đến B là y (h); (y > 2) Chiều dài khúc sông AB là xy (km) Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến B sớm hơn 73. <span class='text_page_counter'>(74)</span> 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình: (x +3)(y 2) = xy (1) Nếu vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến B chậm hơn 3 giờ so với dự định nên ta có phương trình: (x -3)(y +3) = xy (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: ( x + 3)( y − 2) = xy  2 x − 3 y = −6 ⇔  ( x − 3)( y + 3) = xy 3 x − 3 y = 9. Giải hệ phương trình ta được x = 15; y = 12 (TMĐK) Vậy khúc sông AB dài 15.12 = 180(km) III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài tập 1: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km và một đoạn xuống dốc dài 5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B dến A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc, lúc xuống dốc. Bài tập 2: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc ngược chiều nhau và gặp nhau ở một điểm cách A là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.. TIẾT 38: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. * Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ PT: + Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ( ghi rõ đơn vị của ẩn). - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình. + Bước 2: Giải hệ phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả thích hợp và trả lời * Kiến thức liên quan: Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, cần phải “Phiên dịch ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”, 74. <span class='text_page_counter'>(75)</span> tức là cần biểu thị các đại lượng trong bài toán theo ẩn và các số đã biết rồi thiết lập hệ phương trình diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng trong bài toán. Để làm tốt công việc “phiên dịch” này, hãy chú ý đến các công thức có liên quan đến bài toán như: Sản lượng = Năng suất × Thời gian Dạng bài toán làm chung, làm riêng thường phải phân tích được: - Năng suất làm riêng được một phần của công việc . - Thiết lập phương trình khi làm riêng công việc - Thiết lập phương trình khi làm chung công việc. Dạng bài toán năng suất liên quan đến phần trăm: x% =. :. 100 x 100 + x + = 100 100 100. x và tăng vượt mức x% tức là 100. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài tập 1: Hai đội công trong 24 ngày thì xong. được nhiều gấp rưỡi đội đội làm xong đoạn đường. nhân cùng làm một đoạn đường Mỗi ngày, phần việc đội A làm B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đó trong bao lâu?. Bảng phân tích Đội. Thời gian Hoàn thành công việc (ngày). Đội A. x. Đội B. y. Hai đội. 24. Năng suất 1 ngày 1 x 1 y 1 24. Giải Gọi x (ngày) là số ngày để đội A làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc, y (ngày) là số ngày để đội B làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc (Điều kiện x, y > 24). Mỗi ngày: 1 (công việc) x 1 Đội B làm được (công việc) y. Đội A làm được. 75. <span class='text_page_counter'>(76)</span> Do mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình: 1 = x. 1,5.. 1 y. ⇔. 1 3 1 = . x 2 y. (1). Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày 2 đội cùng làm thì được phương trình:. 1 1 + x y. =. 1 24. 1 24. (công việc), ta có (2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (II).  1 3 1  x = 2 . y 1 1 1  + =  x y 24. Giải hệ phương trình ta được : x = 40 và y = 60 (TMĐK) Vậy đội A làm một mình trong 40 ngày thì hoàn thành toàn bộ công việc. Đội B làm một mình trong 60 ngày thì hoàn thành toàn bộ công việc Bài tập 2: Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Nhưng làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, do cải tiến cách làm năng suất của đội hai tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần vịêc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên. Lập bảng phân tích đại lượng: Đội. Thời gian HTCV. Đội I. x ( ngày). Đội II. y (ngày). Hai đội. 12 (ngày). Năng xuất 1 ngày 1 (CV) x 1 (CV) y 1 (CV) 12. Giải Gọi thời gian đội I làm một mình (với năng suất ban đầu) để hoàn thành công việc là x (ngày), ( x > 12) Thời gian đội II làm một mình (với năng suất ban đầu) để hoàn thành công việc là y (ngày), (y > 12) Mỗi ngày đội I làm được. 1 (công việc), đội II làm được x. 76. <span class='text_page_counter'>(77)</span> 1 (công việc). Hai đội làm chung trong 12 ngày thì hoàn y. thành công việc nên ta có phương trình: 1 1 + x y. =. 1 12. (1) Hai đội làm trong 8 ngày được. 8 2 = ( công việc), do cải 12 3. tiến cách làm năng suất của đội hai tăng. gấp đôi được. 2 , nên họ đã làm xong phần vịêc còn lại trong 3,5 ngày, y 2 2 7 7 1 ta có phương trình: + . = 1 ⇔ = ⇔ y = 21 (2) 3 y 2 y 3. Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1 1 1  + =  x y 12  y = 21 . ⇔. 1 1 1 + = x 21 12. ⇔ x = 28  x = 28. Giải hệ phương trình, ta được:  (TMĐK)  y = 21 Vậy: Với năng suất ban đầu, để hoàn thành công việc đội I làm trong 28 ngày, đội II làm trong 21 ngày. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài tập 1 Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người xây được. 3 bức 4. tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường? Hướng dẫn Gọi x( giờ) là thời gian người thứ nhất xây một mình xong bức tường, y( giờ) là thời gian người thứ hai xây một mình xong bức tường ( ĐK x > 0 ; y > 0) Thiết lập. 1 1 5  x + y = 36 được hệ phương trình:   5+6 =3  x y 4. Giải hệ phương trình được: x =12; y =18. Bài tập 2: Trong tháng 3 hai tổ trồng được 720 cây xanh. Trong tháng 4, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên trồng được 819 cây xanh. Tính xem trong tháng 3 mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây xanh. Hướng dẫn: Gọi x(cây) là số cây xanh tổ I trồng được trong tháng 3 (x ∈ N*) Gọi y(cây) là số cây xanh tổ II 77. <span class='text_page_counter'>(78)</span> trồng được trong tháng 3 (x ∈ N*) Tháng 3 hai tổ trồng được 720 cây xanh, ta được: x + y = 720 Tháng 4, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên trồng được 819 cây xanh, ta được: (x +. 15 .x ) + ( y + 100. 15 . y ) = 819 ⇔ 115x + 112y = 81 900 100 x + y = 720  Ta được hệ phương trình:  115 x + 112 y = 81900.  x = 420 (TMĐK).  y = 300. Giải hệ phương trình ta được: . TIẾT 39: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT (TIẾP) I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. * Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ PT: + Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn ( ghi rõ đơn vị của ẩn). - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình. + Bước 2: Giải hệ phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả thích hợp và trả lời * Kiến thức liên quan: Dạng bài toán năng suất liên quan đến phần trăm: x% =. :. 100 x 100 + x + = 100 100 100. x và tăng vượt mức x% tức là 100. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi năm ngoái mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc? Bảng phân tích đại lượng. 78. <span class='text_page_counter'>(79)</span> Năm ngoái. Năm nay. Đơn vị 1. x (tấn). 115x% (tấn). Đơn vị 2. y (tấn). 112 y% (tấn). Hai đơn vị. 720 (tấn). 819 (tấn). Giải Gọi x (tấn) là số tấn thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị 1, y (tấn) là số tấn thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị 2 (x; y > 0) Năm ngoái cả hai đội thu hoạch được 720 (tấn) ta có phương trình: x + y = 720 (1) Năm nay đội 1 thu hoạch được 115% (tấn) thóc, đội 2 thu hoạch được 112% (tấn) thóc, tổng 2 đội thu hoạch được 819(tấn) ta có phương trình: 115% x + 112% y = 819 (2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:  x + y = 720  x + y = 720  ⇔ 115 112 115 x + 112 y = 81900 100 x + 100 y = 819  x = 420 (TMĐK). Giải hệ phương trình, ta được:   y = 300. Vậy năm ngoái đội 1 thu hoạch được 420 (tấn) thóc. Đội 2 thu hoạch được 300 (tấn) thóc. Bài tập 2:. Hai máy cày có công suất khác nhau cùng nhau. làm việc, hai máy cày đã cày được. 1 cánh đồng trong 15 6. giờ. hai cánh xong. Nếu máy thứ nhất làm một mình trong 12 giờ, máy thứ làm một mình trong 20 giờ thì cả hai sẽ cày được 20% đồng. Hỏi nếu mỗi máy làm việc riêng thì có thể cày cánh đồng? Lập bảng phân tích tóm tắt như bài 1 sau đó giải Thời gian. Khối lượng công việc của máy 1. Khối lượng công việc của máy 1. Khối lượng công việc của máy 1, 2. Máy 1 và máy 2 cùng làm 15 giờ Máy 1 làm 12 giờ Máy 2 làm 20 giờ. 15 x. 15 y. 1 6. 12 x. 20 y. 1 5. 79. <span class='text_page_counter'>(80)</span> Giải Gọi thời gian máy thứ nhất cày một mình xong cánh đồng là x (h); thời gian máy thứ hai cày một mình xong cánh đồng là y (h); (ĐK: x, y > 20) Hai máy cày đã cùng cày cánh đồng trong 15 giờ, nên một giờ máy thứ nhất cày được là. 15 (cánh đồng), một giờ máy x. 15 (cánh đồng) y 15 15 1 nên ta có phương trình : (1) + = x y 6. thứ hai cày được. Theo đầu bài ta có 12 giờ máy thứ nhất cày được là (cánh đồng), 20 giờ máy thứ hai cày được là. 12 x. 20 (cánh y. đồng) nên. ta có phương trình:. 12 20 1 + = (2) x 5 y. Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình. 15 15 1 x + y =6   12 + 20 = 1  x y 5. Giải hệ phương trình, ta có x = 300 ; y = 200 (TMĐK) Vậy máy cày thứ nhất làm một mình mất 300 giờ ; máy cày thứ hai làm một mình mất 200 giờ. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài tập 1: Hai tổ sản xuất phải hoàn thành 90 sản phẩm. Tổ I vượt mức 15% kế hoạch của tổ. Tổ II vượt mức 12% kế hoạch của tổ. Do đó, cả hai tổ làm được 102 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm. Bài tập 2: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ . Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1 ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn. Hướng dẫn: Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn), của lúa giống cũ là y (tấn) ( x > 0, y > 0 ) Thiết lập phương trình: 60x + 40y =460 và 4y – 3x =1 Thiết lập hệ phương trình và giải. Bài tập 3: Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ có thêm 5 cần cẩu bé (công suất nhỏ hơn) cùng làm việc. Cả 7 cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết rằng nếu cả 7 cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4 giờ xong việc. Hướng dẫn: 80. <span class='text_page_counter'>(81)</span> Gọi thời gian một cần cẩu lớn làm một mình xong việc là x (giờ), (x > 0) Gọi thời gian một cần cẩu bé làm một mình xong việc là y (giờ), (y > 0) Theo đầu bài hai cần cẩu lớn làm trong 6 giờ, còn 5 cần cẩu bé làm trong 3 giờ thì xong việc. Do đó ta có phương trình:. 12 5 + =1. x y. Nếu 7 cần cẩu cùng làm từ đầu thì trong 4 giờ xong việc. Do đó ta có phương trình:. 2 5 1 + = x y 4. Thiết lập hệ phương trình và giải hệ.. PHẦN II. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Tiết 40: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN VỀ SỐ - CHỮ SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. * Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn + Bước 1: Lập phương trình. - Chọn ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị của ẩn) - Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn. - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập phương trình. + Bước 2: Giải phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả và trả lời. * Kiến thức liên quan: - Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ∆ = b2 - 4ac + Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =. −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a. + Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b 2a. + Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm - Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) b = 2b' ; ∆ ' = b'2 - ac + Nếu ∆ ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 81. <span class='text_page_counter'>(82)</span> x1 =. − b '+ a. ∆'. ; x2 =. − b'− ∆' a. + Nếu ∆ '= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b' a. + Nếu ∆ '< 0 thì phương trình vô nghiệm Trường hợp đặc biệt: + Nếu a + b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1 = 1;. x2 =. c a. + Nếu a x2 = -. b + c =. 0 phương trình có nghiệm:x1 = -1;. c a. - Nhắc lại công thức liên hệ giữa số bị chia, số chia, thương và số dư Số bị chia = (số chia) x (thương) + (số dư) (Số dư < số chia) - Nhắc cách viết số có hai chữ số dưới dạng một tổng (cấu tạo số) nếu a chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị thì ab = 10a + b Với a, b ∈ N và 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài tập 1: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó. Giải Gọi số tự nhiên nhỏ là x; x ∈ N*, thì số tự nhiên liền sau là x + 1. Tích của hai số là:. x(x+1), tổng của hai số là:. 2x+1. Theo bài ra ta có phương trình: x(x+1) - (2x+1) = 109 ⇔ x2 - x - 110 = 0 Giải phương trình ta được x1 = 11 (TMĐK) x2 = -10 (loại) Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12. Bài tập 2: Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 10, tích của hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho 82. <span class='text_page_counter'>(83)</span> là 12. Tìm số đã cho? Giải Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x (x ∈ N * , x ≤ 9) Chữ số hàng đơn vị là 10 - x . Giá trị của số đã cho là 10x +10 - x = 9x +10 Theo bài ra ta có phương trình: x(10 - x) = 9x + 10 -12 ⇔ x2. - x - 2 = 0 Giải phương trình ta được x1 = 2 (TMĐK) x2 = -1 (loại) Ta có chữ số hàng chục là 2, chữ số hàng đơn vị là 8. Vậy số phải tìm là 28. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài tập 1: Phân tích số 270 ra hai thừa số mà tổng của bằng 33. Bài tập 2: Một số có hai chữ số . Tổng các chữ số của chúng bằng 10, tích của hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 82. Tìm số đã cho? Bài tập 3: Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 8 và tổng các bình phương của chúng bằng 424. Bài tập 4: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 25 và hiệu các bình phương của chúng cũng bằng 25.. Tiết 41: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. * Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn * Bước 1: Lập phương trình. 83. <span class='text_page_counter'>(84)</span> - Chọn ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị của ẩn) - Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn. - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập phương trình. * Bước 2: Giải phương trình * Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả và trả lời. * Các kiến thức liên quan: - Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ∆ = b2 - 4ac + Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =. −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a. +Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b 2a. +Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm - Công thức nghiệm thu gon của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) b = 2b' ; ∆ ' = b'2 ac + Nếu ∆ ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =. − b '+ a. ∆'. ; x2 =. − b'− ∆' a. + Nếu ∆ '= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -. b' a. + Nếu ∆ '< 0 thì phương trình vô nghiệm *Trường hợp đặc biệt: + Nếu a + b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =. c a. + Nếu a -. b + c =. 0 phương trình có nghiệm: x1 = -. c 1; x2 = a. - Công thức chuyển động đều: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian). II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài tập 1: Một xe ô tô đi từ A đến B dài 120 km trong một thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 (km/h) nên xe đến B sớm 12 phút 84. <span class='text_page_counter'>(85)</span> so với dự định . Tính vận tốc ban đầu của xe. Giải Gọi vận tốc ban đầu. của xe là x(km/h); ( x>0). Thời gian dự định đi từ A đến B là. 120 (h) x. Thời gian thực tế đi từ A đến B là (. 60 60 ) (h) + x x + 10. 1 5. Xe đến B sớm 12 phút = h, so với dự định ta có phương trình 120 60 60 1 ) = - ( + x x x + 10 5. ⇔. 60 60 1 = x x + 10 5. 2 ⇒ x + 10x - 3000 = 0. Giải PT ta có: x1= 50 (TMĐK);. x2= - 60 ( loại). Vậy vận tốc ban đầu của xe là 50 (km/h) Bài tập 2: Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe cùng loại để vận chuyển 100 tấn hàng, lúc sắp khởi hành đoàn xe được giao thêm 44 tấn nữa. Do đó phải điều thêm hai xe cùng loại, và mỗi xe phải chở thêm 2 tấn nữa. Tính số xe phải điều theo dự định. Bài giải Gọi số xe phải điều thêm dự định là x; (2< x ∈ N*) Theo dự định mỗi xe phải chở số hàng là. 100 (tấn) x. Vì đoàn xe phải nhận thêm 44 tấn hàng nên số hàng lúc sau là: 100+44= 144 (tấn) Vì đoàn xe phải điều thêm 2 xe, nên số xe lúc sau là x + 2 và mỗi xe phải chở số hàng lúc sau là Vì mỗi xe phải chở thêm nửa tấn ta có PT:. 144 (tấn) x+2 100 144 + 2= x x+2. ⇒ x - 20x + 100 = 0 (1) 2. 85. <span class='text_page_counter'>(86)</span> Giải PT (1):. ∆ '= (-10)2 - 100 = 0. Phương trình có nghiệm kép: x1= x2 = 10; (TMĐK) Vậy số xe dự định phải điều là 10. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài tập 1: Để đi đoạn đường Từ A đến B, một xe máy đã đi hết 6h40 phút, còn một ô tô chỉ đi hết 5h. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 40 km/h. Bài tập 2: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km. Khi từ B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6 km. Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 (km/h) nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính vận tốc lúc đi. ======================================= Tiết 42: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. * Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn + Bước 1: Lập phương trình. - Chọn ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị của ẩn) - Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn. - Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập phương trình. + Bước 2: Giải phương trình + Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả và trả lời. * Các kiến thức liên quan: - Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ∆ = b2 - 4ac + Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =. −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a. +Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b 2a. +Nếu ∆ <. 0 thì phương trình vô nghiệm 86. <span class='text_page_counter'>(87)</span> - Công thức nghiệm thu gon của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) b = 2b' ; ∆ ' = b’2 - ac + Nếu ∆ ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. − b '+ a. x1 =. ∆'. ; x2 =. − b'− ∆' a. + Nếu ∆ '= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -. b' a. + Nếu ∆ '< 0 thì phương trình vô nghiệm * Trường hợp đặc biệt: + Nếu a + b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1 = 1; c a. x2 =. + Nếu a 1; x2. b + c =. 0 phương trình có nghiệm: x1 = -. c = a. - Công thức chuyển động đều: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian). Công thức : Vt xuôi = Vt + Vn Vt ngược = Vt - Vn II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài tập 1: Một ca nô xuôi dòng 45 km rồi ngược dòng 18km. Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời gian ngược là 1 giờ và vận tốc xuôi lớn hơn tốc ngược là 6km/h. Tính vận tốc ca nô lúc ngược dòng. Giải Gọi vận tốc ca nô lúc ngược dòng là x(km/h) ( ĐK: x>3). Khi đó: Vận tốc xuôi dòng là: x + 6 (km/h) 45 (giờ) x+6 18 Thời gian ngược dòng 18 km là: (giờ) x 45 18 Theo bài ra ta có phương trình: = 1 x+6 x 2 ⇒ x - 21x + 108 = 0. Thời gian xuôi dòng 45 km là:. Giải phương trình ta được: x1 = 12(TMĐK); x2 = 9(TMĐK) Vậy vận tốc ca nô lúc ngược dòng là 12km/h hoặc 9 km/h Bài tập 2: Một ô tô chuyển động đều với vận tốc đã dự 87. <span class='text_page_counter'>(88)</span> định để đi hết quãng đường 120km trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên quãng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đường. Giải Gọi vận tốc đã định của ô tô là x (km/h);(ĐK: x>2). Khi đó: Thời gian dự định đi là:. 120 (giờ) x. Đi được nửa quãng đường tức là đi được 60 km xe nghỉ 1 (giờ), như vậy thời gian xe đi trên nửa 20 60 quãng đường đầu là . Sau khi nghỉ, để đến nơi đúng giờ x. 3 phút hay. xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h tức là đi với vận tốc: (x+2) km/h, do đó trên nửa quãng đường sau xe phải đi trong. 60 (giờ) x+2. Theo bài ra ta có PT:. 60 + x. 2 ⇒ x + 2x - 2400 = 0. 60 1 120 + = x+2 20 x. Giải phương trình ta được: x1 = 48(TMĐK) ; x2 = -50 (loại ) Vậy thời gian xe lăn bánh trên đường là: ( =. 60 60 + ) giờ 48 50. 49 9 = 2 (giờ) 20 20. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài tập 1: Để đi đoạn đường từ hết 3h20 phút, cũng đoạn đường 2h30phút. Tính chiều dài quãng của ôtô lớn hơn vận tốc xe máy. A đến B, một xe máy đi đó ô tô chỉ đi hết đường AB biết rằng vận tốc 20km/h.. Bài tập 2: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5h20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km. Bài tập 3: Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô đi xuôi từ A có một chiếc bè trôi từ A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B ca nô trở về bến A ngay và gặp bè khi đã trôi được 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô. Biết vận tốc của ca nô không thay đổi. TIẾT 9: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 88. <span class='text_page_counter'>(89)</span> DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. *Quá trình giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm các bước sau: Bước 1: Lập phương trình - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết - Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng Bước 2: Giải phương trình thu được ở bước 1 Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình vừa giải để loại các nghiệm không thoả mãn điều kiện của ẩn. Kết luận bài toán * Các kiến thức liên quan: + Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 2 ∆ = b - 4ac + Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =. −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a. + Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b 2a. + Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm + Công thức nghiệm thu gon của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) b = 2b' ; ∆ ' = b’2 - ac + Nếu ∆ ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =. − b '+ a. ∆'. ; x2 =. − b'− ∆' a. + Nếu ∆ '= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -. b' a. + Nếu ∆ '< 0 thì phương trình vô nghiệm + Trường hợp đặc biệt: + Nếu a + b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1= 1; x2 =. c a. + Nếu a 1; x2 = -. b + c =. 0 phương trình có nghiệm: x1= -. c a. * Chú ý : 89. <span class='text_page_counter'>(90)</span> Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, cần phải "Phiên dịch ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”, tức là cần biểu thị các đại lượng trong bài toán theo ẩn và các số đã biết rồi thiết lập phương trình diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng trong bài toán. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài tập 1: Theo kế hoạch một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Đến ngày làm việc có 2 xe bị hỏng nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn mới hết số hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe? Giải: Gọi số xe lúc đầu của đội là x (xe), (ĐK: x > 2; x nguyên) Theo dự định mỗi xe phải chở: Thực tế mỗi xe đã chở:. 120 (tấn) x. 120 (tấn) x−2. Theo bài ra ta có phương trình:. 120 120 = 16 x−2 x. 2 ⇒ x - 2x - 15 = 0 ⇔ x1 = 5 (TMĐK); x2 = -3. (loại) Vậy số xe lúc đầu của đội là. 5 xe. Bài tập 2: Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu? Giải Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(giờ) (ĐK: x > 0). Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong x + 2 (giờ) 175 35 h = h giờ. 60 12 1 vòi thứ nhất chảy được: (bể) x 1 vòi thứ hai chảy được: (bể) x+2 12 cả hai vòi chảy được: (bể); 35 1 1 12 ta có PT: + = x x+2 35. 2 giờ 55 phút = Trong 1 giờ Trong 1 giờ Trong 1 giờ Theo bài ra 2 ⇒ 6x. -. 23x. -. 35 = 0 90. <span class='text_page_counter'>(91)</span> x1 = 5 (TMĐK); x. 2. =. −. 7 (loại) 6. Vậy, vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 5 giờ Vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 7 giờ. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài tập 1: Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày song việc. Nếu đội thứ nhất làm một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ 2 tiếp tục một mình làm nốt phần việc còn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc. Bài tập 2: Một xí nghiệp dự định đánh bắt 145 tấn cá trong một thời gian nhất định. Nhưng thực tế mỗi ngày họ đã đánh bắt được vượt kế hoạch 1 tấn nên đã hoàn thành sớm so với dự định 4 ngày và vượt mức kế hoạch 5 tấn. Hỏi thời gian dự định hoàn thành kế hoạch. Bài tập 3: Để chảy đầy một bể nước, người ta có thể cho vòi I chảy trong 1,5 giờ hoặc cho vòi II chảy trong 2 giờ. Người ta đã cho vòi I chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi II chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì bể đầy. Tính xem mỗi vòi đã chảy trong bao lâu. TIẾT 44: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT (TIẾP) II. KIẾN THỨC CƠ BẢN. * Quá trình giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm các bước sau: Bước 1: Lập phương trình - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết - Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng Bước 2: Giải phương trình thu được ở bước 1 Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình vừa giải để loại các nghiệm không thoả mãn điều kiện của ẩn; Kết luận bài toán * Các kiến thức liên quan: - Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ∆ = b2 - 4ac + Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 91. <span class='text_page_counter'>(92)</span> x1 =. −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a. + Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b 2a. + Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm - Công thức nghiệm thu gon của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) b = 2b' ; ∆ ' = b’2 - ac + Nếu ∆ ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =. − b '+ a. ∆'. − b'− ∆' a. ; x2 =. +Nếu ∆ '= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b' a. +Nếu ∆ '< 0 thì phương trình vô nghiệm - Trường hợp đặc biệt: + Nếu a + b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =. c a. + Nếu a x2. b + c =. 0 phương trình có nghiệm: x1= -1;. c = a. Chú ý : Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, cần phải ‘Phiên dịch ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”, tức là cần biểu thị các đại lượng trong bài toán theo ẩn và các số đã biết rồi thiết lập phương trình diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng trong bài toán. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài tập 1 Một công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm trong một thời gian quy định. Do tăng năng xuất 5 sản phẩm mỗi giờ nên người ấy đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 giờ 40 phút. Tính số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định. Giải Gọi số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định là x (sản phẩm); (ĐK: x nguyên, dương). Đổi: 1giờ40 phút = Thời gian dự định là:. 5 giờ. 3. 50 (giờ) x. Thời gian thực tế đã làm là:. 50 (giờ) x+5. 92. <span class='text_page_counter'>(93)</span> Theo bài ra ta có PT:. 50 50 5 = x x+5 3. Giải phương trình trên ta được: x1 = 10(TMĐK); x2 = 15(loại) Vậy số sản phẩm mỗi giờ phải làm theo dự định là 10 (sản phẩm) Bài tập 2: Muốn làm xong một công việc cần 480 công thợ. Người ta có thể thuê một trong hai nhóm thợ A hoặc B. Biết nhóm A ít hơn nhóm B là 4 người và nếu giao cho nhóm B thì công việc hoàn thành sớm hơn 10 ngày so với nhóm A. Hỏi số người của mỗi nhóm. Giải Gọi số người của nhóm A là x (người) (4<x nguyên). Suy ra số người của nhóm B là: x + 4 (người). Với giả thiết: Nếu thuê nhóm A thì thời gian hoàn thành công việc là:. 480 (ngày) x. Nếu thuê nhóm B thì thời gian hoàn thành công việc là:. 480 (ngày) x+4. Do nhóm B hoàn thành sớm hơn so với nhóm A là 10 ngày, nên ta có phương trình: 480 480 − 10 = x x+4. ⇒ 48(x+4) - x(x+4) = 48x ⇔ x 2 + 4 x − 192 = 0. Giải phương trình ta được: x = 12 (TMĐK); (loại). Vậy nhóm A có 12 người. Nhóm B có 16 người. x = -16. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài tập 1 Một tổ sản xuất phải làm một số dụng cụ trong một thời gian, tính ra mỗi ngày phải làm 30 dụng cụ, do tổ đã làm mỗi ngày 40 dụng cụ nên không những làm thêm được 20 dụng cụ mà tổ đó còn làm xong trước hạn 7 ngày. Tính số dụng cụ mà tổ sản xuất đó phải làm theo kế hoạch? Bài tập 2: Hai công nhân cùng làm chung một công việc trong 1 giờ thì hoàn thành. 3 công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi 10. người phải làm bao lâu mới hoàn thành công việc. Biết rằng năng suất của người thứ nhất gấp đôi năng suất của người thứ hai Bài tập 3: Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác được 50 tấn than. Khi thực hiện, 93. <span class='text_page_counter'>(94)</span> mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn. Do đó, đội dã hoàn thành sớm hơn dự định trước 1 ngày và còn vượt kế hoạch 13 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác bao nhiêu tấn than? Bài tập 4: Một nông trường phải trồng 75 ha rừng với năng suất đã định trước. Nhưng thực tế, khi bắt tay vào trồng rừng thì mỗi tuần nông trường trồng thêm được 5 ha. Do vậy, họ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định một tuần. Tính nằng suất dự định của nông trường. Tiết 45: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC- HOÁ HỌC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. * Nhắc lại các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 8: + Bước 1: - Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập các phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng. + Bước 2: Giải phương trình + Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời * Các kiến thức liên quan: - Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 2 ∆ = b - 4ac + Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =. −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a. + Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b 2a. + Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm - Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) b = 2b' ; ∆ ' = b’2 - ac + Nếu ∆ ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt − b '+ ∆ ' − b '− ∆ ' x1 = ; x2 = a a + Nếu ∆ '= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -. b' a. 94. <span class='text_page_counter'>(95)</span> + Nếu ∆ '< 0 thì phương trình vô nghiệm - Trường hợp đặc biệt: + Nếu a + b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =. c a. + Nếu a 1; x2 = -. b + c =. 0 phương trình có nghiệm: x1 = -. c a. * Công thức chu vi diện tích hình chữ nhật, hình tam giác. * Toán nồng độ %: Ta nói nồng độ dung dịch x% thì hiểu rằng trong 100 gam dung dịch có x gam chất tan. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài tập 1. Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng. 3 chiều 7. dài, nếu giảm chiều dài 1m, tăng chiều rộng 1m thì diện tích hình chữ nhật là 200m2 . Tính chu vi, diện tích hình chữ nhật ban đầu? Giải: Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m), thì chiều rộng là 3 x (m), (Điều kiện x> 0) 7. Vì hình chữ nhật có chiều rộng bằng. 3 chiều dài, và 7. giảm chiều dài 1m, tăng chiều rộng 1m thì diện tích hình chữ nhật là 200 m2 nên ta có phương trình: 3 7. (x-1)( x+1) = 200 Giải phương trình ta được x1 = 21(TMĐK) x2 = -. 67 (loại) 3. Vậy chiều dài hình chữ nhật là 21m, chiều rộng là 9m. Chu vi hình chữ nhật ban đầu là (21+ 9) 2= 60m Diện tích hình chữ nhật ban đầu là. 21. 9 = 189m2. Bài tập 2: Cho một lượng dung dịch 10% muối. Nếu pha thêm 200 gam nước thì được một dung dịch 6%. Hỏi có bao nhiêu 95. <span class='text_page_counter'>(96)</span> gam dung dịch đã cho. Giải Gọi số gam dung dịch đã cho là x (g), (Điều kiện x>0) Vậy số gam dung dịch sau khi đổ thêm 200 gam nước là x + 200 (g). Vì trước và sau khi đổ thêm nước lượng muối không đổi, do đó ta có phương trình 6% . (x + 200) = 10%x ⇔ 6x + 1200 = 10x ⇔. x = 300 (TMĐK). Vậy số dung dịch đã cho là 300gam. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bài tập 1: Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axít, loại I chứa 30% axít, loại II chứa 5% axít. Muốn có 50 lít dung dịch chứa 10% a xít thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch của mỗi loại? Bài tập 2: Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là. 5 . Cạnh còn lại dài 8m. Tính 3. cạnh huyền. Bài tập 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi quanh vườn (thuộc đất của vườn). Rộng 2m, diện tích còn lại để trồng trọt 4256m2. Tính kích thước của vườn? Bài tập 4: Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật. Biết hình chữ nhật đó có chu vi bằng 340m và diện tích bằng 7200m2. Tiết 46:. KIỂM TRA. Đề số 1 Câu 1: Để tránh lũ một đội biên phòng đến gặt giúp xã Vinh Quang một cánh đồng lúa. Họ làm việc được 4 giờ thì có đội thứ hai đến cùng gặt. Cả hai đội cùng gặt tiếp trong 8 giờ thì xong việc. Hỏi mỗi đội gặt một mình thì bao lâu sẽ gặt xong? Biết rằng nếu gặt một mình thì đội thứ nhất 96. <span class='text_page_counter'>(97)</span> mất nhiều thời gian hơn đội thứ hai là 8 giờ. Câu 2: Mét tÇu thñy xu«i dßng mét khóc s«ng AB dµi 48 km råi ng-îc khóc s«ng Êy mÊt 5 giê. TÝnh vËn tèc thùc cña tµu thñy (khi n-íc yªn lÆng) nÕu vËn tèc dßng n-íc lµ 4 giê. Đề số 2 Cõu 1: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đ-ờng AB và thời gian dự định ®i lóc ®Çu. Câu 2: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian qui định . Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hơn hai ngày. Hỏi theo qui định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau? HƯỚNG DẪN CHẤM Đề số 1 Câu 1: Gọi thời gian đội thứ nhất gặt một mình xong việc là x (giờ), (x > 0). Thời gian đội thứ hai gặt một mình xong việc là x - 8 (giờ); (x > 8). 1 (cánh đồng ) x 1 (cánh đồng ) Trong một giờ đội thứ hai gặt được: x −8 12 Theo đầu bài đội thứ nhất đã gặt được: (cánh đồng ) x 8 đội thứ hai đã gặt được: (cánh đồng ) x −8 12 8 Ta có phương trình: + = 1 x x −8. Trong một giờ đội thứ nhất. gặt được. Giải phương trình ta có: x1 = 4 (loại) x2 = 24 Vậy: Đội thứ nhất gặt riêng trong 24 giờ thì xong. Đội thứ hai gặt riêng trong 16 giờ thì xong. Câu 2: Gäi vËn tèc tÇu thñy khi n-íc yªn lÆng lµ x (km/h) (§K x > 4) Lập luận để dẫn tới ph-ơng trình:. 48 48 + =5 x+4 x−4. §-a ®-îc vÒ ph-¬ng tr×nh bËc hai: 5x2 - 96x - 80 = 0 => x1= 20 ; x2 = -. 4 5. 97. <span class='text_page_counter'>(98)</span> Lo¹i x2= -. 4 . VËn tèc tÇu thñy khi n-íc yªn lÆng lµ 20 5. km/h. Đề số 2: Câu 1:. Gọi x (h) là thời gian dự định đi lúc đầu Gọi y (km) là độ dài quãng đ-ờng AB (ĐK x >. 0; y > 0) Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giê, ta ®-îc y = x + 2 ⇔ 35 x − y = −70 (1) 35. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giê, ta ®-îc y = x − 1 ⇔ 50 x − y = 50 (2) 30. Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph-¬ng tr×nh 35 x − y = −70   50 x − y = 50.  x=8. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh ta ®-îc:  (TM§K)  y = 350 Vậy, quãng đ-ờng AB bằng 350 km và thời gian dự định đi lóc ®Çu lµ 8 giê. Câu 2: Gọi số thợ cần thiết là x (người), (x ∈ N*), thời gian cần thiết là y (ngày), (y > 0) Coi toàn bộ công việc như một đơn vị công việc, thì một người thợ trong ngày làm được. 1 (công việc) xy. Nếu giảm đi ba người thì thời gian kéo dài thêm 6 ngày. Như vậy x – 3 (người) làm trong y + 6 (ngày) thì được. ( x -3 )( y + 6 ). 1 =1 xy. (toàn bộ công việc). Tương tự nếu tăng thêm hai người thì chỉ cần người làm y – 2 (ngày). Như vậy x+2 (người) làm trong y – 2 (ngày) được ( x + 2 )( y − 2 ). 1 =1 xy  ( x-3)( y + 6 ) = xy  ( x+2 )( y − 2 ) = xy. Giải hệ này ta được (x; y) = (8; 10) Vậy cần 8 người và 10 ngày.. 98. <span class='text_page_counter'>(99)</span> HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ I: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC TIẾT 1: TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam gi¸c ABC lµ h×nh gåm ba ®o¹n th¼ng AB, BC, CA khi ba ®iÓm A, B ,C kh«ng th¼ng hµng. - Kí hiệu: rABC , trong đó A, B, C là ba đỉnh; AB, BC, CA lµ ba c¹nh, BAC, CAB, ACB lµ ba gãc. 2. Tam gi¸c c©n lµ tam gi¸c cã hai c¹nh bªn b»ng nhau . Hai góc kề đáy bằng nhau 3. Tæng ba gãc cña tam gi¸c b»ng 180 0 ! +B ! +C ! = 1800 VÝ dô : rABC cã: A 4. Mçi gãc ngoµi cña tam gi¸c b»ng tæng hai gãc trong kh«ng kÒ víi nã 5. C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c : S =. 1 ah 2. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi 1 : Xem h×nh vÏ råi ®iÒn vµo b¶ng sau :. A. B Tªn tam gi¸c rABI rAIC. Tªn ba đỉnh A, B, I. I. C Tªn ba gãc. Tªn ba c¹nh. ! , IAC ! ! ACI , CIA. rABC. AB , BC,CA. Gi¶i: Tªn tam gi¸c rABI. Tªn ba đỉnh A, B, I. rAIC rABC. Tªn ba gãc. Tªn ba c¹nh. A, B, I. ! ABI , ! , IAC. ! , BAI ! BIA ! ! ACI , CIA. AI, IC, CA. A ,B ,C. ! ! ABC , ! ACB , BAC. AB , BC,CA. AB ,BI,IA. 99. <span class='text_page_counter'>(100)</span> ! = 70o , B ! = 80o . TÝnh gãc Bµi 2 : Cho rABC cã A ! ) =1800 - (70 0+800 ) =30 0 Gi¶i: Ĉ = 1800 - ( !A + B Bài 3 : Tính các góc ở đáy của một tam giác cân , đỉnh bằng 50 o Gi¶i: Góc ở đỉnh của tam giác cân bằng 50 0 => các góc ở. biÕt gãc ë. đáy của tam. 180 − 50 = 650 2 0. giác đó bằng nhau và bằng. !? C. 0. Bài 4 : Tính diện tích rABC biết độ dài cạnh BC = 6cm , đ-ờng cao AH øng víi c¹nh BC b»ng 4cm Gi¶i: SrABC =. 1 1 BC.AH = 6.4 = 12 (cm 2) 2 2. III. Bài tập đề nghị : Bài 1 : Cho rABC biết diện tích bằng 24cm 2 , độ dài đ-ờng cao ứng với cạnh BC bằng 4cm . Tính độ dài cạnh đáy BC ! = 55o . ! = 75o , B Bµi 2 : Cho rABC biÕt A a) TÝnh gãc C ? b) Hãy vẽ góc ngoài đỉnh C của tam giác. Tính góc ngoài đỉnh C Bµi 3 : VÏ ®o¹n th¼ng IR = 3cm , vÏ ®iÓm T sao cho IT = 2,5cm, TR = 2cm . VÏ rTIR ___________________________________________________. TIẾT 2: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. - Kí hiệu : rABC = rA'B'C' 2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: + Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau . + Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. + Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau . 3. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông: + Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. + Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. 4. Định lý Pytago: Trong một tam giác vuông , bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông . II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 : Cho hình vẽ . Hãy chỉ ra các tam giác bằng nhau ? vì sao ? C. D. A. 100. <span class='text_page_counter'>(101)</span> H.1. H.2 Gi¶i: H×nh 1: rACB = rBDA (g.c.g) H×nh 2: rAMB =rACM (c.c.c) Bài 2 : Cho rABC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lÊy ®iÓm E sao cho : ME = MA . Chøng minh r»ng A B // CE . Gi¶i: XÐt hai tam gi¸c ABM vµ ECM A ! ! cã BM = MC (gt), AMB = EMC , AM= ME(gt) =>rABM = rECM => ! ! = MBA (gãc t-¬ng øng) MCE => AB // CE M C B. E. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bµi 1 : Cho rABC vu«ng t¹i A , c¹nh AC = 4cm , BC = 5cm . TÝnh c¹nh gãc vu«ng AB Bµi 2 : Cho rABC c©n t¹i A . KÎ AH vu«ng gãc víi BC . Chøng minh r»ng : rAHB = rAHC Bµi 3 : Cho gãc xOy kh¸c gãc bÑt , Ot lµ ph©n gi¸c cña gãc xOy . Qua ®iÓm H thuéc tia Ot kÎ ®-êng vu«ng gãc víi Ot c¾t Ox vµ Oy theo thø tù t¹i A vµ B . Chøng minh OA = OB.. TIẾT 3: TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy . 2. Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó . 3. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm . Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó . 4. Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 : Cho hình vẽ. 101. <span class='text_page_counter'>(102)</span> a) Chứng minh rABD = rACD b) So sánh góc DBC và góc DCB. A. D. C. B. Gi¶i: ! ! (gt) a) rABD vµ rACD cã AB = AC (gt) , ABD = CAD AD lµ c¹nh chung => rABD = rACD b) Tõ rABD = rACD (theo c/m a) => BD = CD => rBDC c©n t¹i D ! = DCB ! => DBC Bµi 2 : Cho rDEF c©n t¹i D víi DI lµ trung tuyÕn 1. Chøng minh rDEI = rDFI 2. C¸c gãc DIE vµ DIF lµ nh÷ng gãc g× ? 3. Biết DE = DF = 13cm , EF= 10cm . Tình độ dài đ-ờng trung tuyÕn DI Gi¶i: 1.rDEI = rDFI (c-c-c) ! ! ! +D ! IF D = 1800 = DIF mµ DIE 2. Theo chøng minh (1) ta cã : DIE ! =D ! IF = 900 => DIE Vậy các gãc DIE , DIF lµ góc vu«ng . 3.C¸c rDEI vµ rDFI vu«ng t¹i I theo Pytago DE 2 − IE 2 1 10 MÆt kh¸c IE = EF => IE = = 5 2 2. ta cã : DI =. I. F E III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bµi 1 : Cho rABC c©n t¹i A , cã AB = AC =34cm , BC = 32cm, kÎ ®-êng trung tuyÕn AM a) Chøng minh r»ng AM vu«ng gãc víi BC b) Tính độ dài AM ? Bµi 2 : Cho h×nh vÏ. A. E. B C a) Chøng minh CI vu«ng gãc víi AB ! = 400 . TÝnh gãc BID ! ! b) Cho ACB vµ gãc DIE. D. Bài 3 : Cho rABC có AB < AC . Trên tia đối của tia BC lấy 102. <span class='text_page_counter'>(103)</span> điểm M sao cho BM = BA . Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA a) H·y so s¸nh c¸c gãc AMB vµ gãc ANC b) Hãy so sánh các độ dài AM và AN. TIẾT 4: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. §Þnh lÝ Talet trong tam gi¸c * §Þnh lÝ Ta lÐt thuËn: NÕu mét ®-êng th¼ng song song víi c¹nh cña mét tam gi¸c vµ cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những ®o¹n th¼ng t-¬ng øng tØ lÖ . GT. ∆ABC, B' C ' // BC (B' ∈ AB, C ' ∈ AC ). KL. AB' AC ' AB AC ; ; = ' = ' AB AC BB C C ' ' BB C C = AC AB. '. '. *VD: Tính độ dài x trong hình sau: Giải: Vì MN// EF nên : Theo định lí Talet. D. DM DN DM DN hay = = ME NF x NF DM .NF 6,5.2 suy ra x= = . VËy x=3,25 DN 4. ta cã:. 6,5. 4. Mj. N. x. 2. E. F. *Định lí Talet đảo Nếu một đ-ờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trªn hai c¹nh nµy nh÷ng ®o¹n th¼ng t-¬ng øng tØ lÖ th× ®-êng thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác . Ví dụ: a) Trong h×nh vÏ cã : A 3. +) DE // BC v× theo ®/lÝ Ta let đảo ta có AD AE  1  = =  DB EC  2 . +) EF // AB v× theo ®/lÝ Ta let đảo ta có CE CF (= 2) = EA FB. 5 E. Dj. 10. 6 B. 7. 14. C. F. b)Tø gi¸c BDEF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã DE // BC ; EF // AB c)Ta cã:. AD AE DE  1  = = =  AB AC BC  3 . 103. <span class='text_page_counter'>(104)</span> NhËn xÐt: C¸c cÆp c¹nh t-¬ng øng cña tam gi¸c ADE vµ tam gi¸c ABC tØ lÖ víi nhau 2.TÝnh chÊt ®-êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c *TÝnh chÊt: Trong tam gi¸c , ®-êng ph©n gi¸c cña mét gãc chia đôi cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai ®o¹n Êy. VÝ dô: Cho h×nh vÏ: TÝnh. A. x y. 3,5. A 7,5. B. x. y Bµi gi¶i: V× AD lµ tia ph©n gi¸c cña AB DB x 3,5 = hay . = AC DC y 7,5. D C. gãc BAC nªn ta cã : x 7 = y 15. VËy. *.Chó ý Định lí vẫn đúng với tia phân giác góc ngoài của tam giác II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi 1:: TÝnh x trong c¸c tr-êng hîp sau: A D x. 9 M4. 24 5. 8,5. P. Q N. x. N. 10,5 B ( b). (a ). C. E. F. Bµi gi¶i: a) V× MN // BC nªn theo ®/lÝ Ta let ta cã: AM AN AM AN hay = = MB NC MB AC − AN. ⇒. 4 5 4.3,5 = ⇒ x= = 2,8 x 8,5 − 5 5. b) V× PQ // EF nªn theo ®/lÝ Ta let ta cã: DP DQ x 9 = hay = PE QF 10,5 DF − DQ. ⇒. x 9 9.10,5 = ⇒ x= = 6,3 10,5 24 − 9 15. Bài 2: Tính x trong hình sau và làm tròn kết quả đến chữ sè thËp ph©n thø nhÊt A 104. <span class='text_page_counter'>(105)</span> 4,5 7,2. B x. 3,5. D. C. Bµi gi¶i: V× AD lµ phân gi¸c cña gãc BAD nªn: DB AB = DC AC. hay. 3,5 4,5 = x 7,2. ⇒x =. 3,5.7,2 4,5. ≈ 5,6. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bµi 1: Tam gi¸c ABC cã BC = 15 cm. Trªn ®-êng cao AH lÊy c¸c ®iÓm I, K sao cho AK = KI = IH .Qua I vµ K vÏ c¸c ®-êng E F // BC, MN// BC. a, Tính độ dài các đoạn thẳng MN và E F b, TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MNFE, biÕt r»ng diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC lµ 270 cm 2. Bµi 2: Tam gi¸c ABC cã AB= 5cm, AC= 6cm vµ BC= 7 cm. Tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t c¹nh BC t¹i E. TÝnh c¸c ®o¹n EB, EC.. TIẾT 5: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa hai tam giác đồng dạng: Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:. !' =A !' =B !' =C ! ;B ! ;C ! A A ' B' B' C ' C ' A ' = = AB BC CA * Kí hiệu Δ A B C ! Δ ABC (viết theo các cặp đỉnh t-ơng ứng) 2. Các tr-ờng hợp đồng dạng của hai tam giác: a) Tr-ờng hợp đồng dạng thứ nhất: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. VÝ dô. Hai tam gi¸c ABC vµ A'B'C' (kÝch th-íc trong h×nh vÏ có cùng đơn vị đo) đồng dạng với nhau v× cã: '. '. '. A ' B' B ' C ' C ' A ' = = AB BC CA 2 4 3  1 = = =  Hay 4 8 6  2 105. <span class='text_page_counter'>(106)</span> b) Tr-ờng hợp đồng dạng thứ hai: Nếu hai cạnh của tam giác nµy tØ lÖ víi hai c¹nh cña tam gi¸c kia vµ hai gãc t¹o bëi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. VÝ dô: Hai tam gi¸c ABC vµ D DEF (kÝch th-íc nh- h×nh vÏ 600 có cùng đơn vị đo) đồng dạng víi nhau v× cã: A 8. ( = 600 ). AB AC  1  ! ! =  =  vµ A=D DE DF  2 . 4. 600. 6. 3 C. B. E. F. c) Tr-ờng hợp đồng dạng thứ ba: Nếu hai góc của tam giác này lần l-ợt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. VÝ dô : H×nh vÏ, A. ∆ABC ! ΔA ' B'C' v× cã. A'. ! !' ! !' ; B=B A=A B. B'. C. C'. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Tìm trong hình vẽ các cặp tam giác đồng dạng H A. 6. 4. D. 6. B. 3 C. 8. 2. E. 4. K. 5 F. b). a). 4. I c). *Trả lời: Cặp tam giác đồng dạng là ∆ ABC ! ∆ DFE (tr-ờng hợp đồng dạng thứ nhất) Bài tập2: Tìm trong hình vẽ các cặp tam giác đồng dạng(hình2) E A 2. Q. 4. 700. B. 3 C. a). D. 3 750. 700. F. 6 b). P. 5 c). R. (Hinh 2). *Trả lời: Cặp tam giác đồng dạng là ∆ ABC ! ∆ DEF (tr-ờng hợp đồng dạng thứ hai). 106. <span class='text_page_counter'>(107)</span> Bµi tËp 3: T×m x trong h×nh vÏ. BiÕt AB // CD Gi¶i: Ta cã: ∆ DAB đồng dạng với ∆ CBD (v×. A. 12,5. B. X D. C. 28,5. ! ! ;! ! DAB = CBD ABD = BDC ) AB DB = ⇒ ⇔ x.x = 12,5 . BD CD 28,5 356, 25 ⇔ x = III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tập1. Cho tam giác ABC. Trong đó AB = 15 cm, AC = 20cm. Trªn hai c¹nh AB vµ AC lÇn l-ît lÊy hai ®iÓm D vµ E sao cho AD = 8cm, AE = 6cm. Hai tam giác ABC và ADE có đồng dạng với nhau kh«ng? v× sao?. ! ! B=E ! ! , AB = 8cm, BC Bµi tËp 2. Hai tam gi¸c ABC vµ DEF cã A=D, = 10cm, DE = 6cm. Tính độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết rằng c¹nh AC dµi h¬n c¹nh DF 3cm.. TIẾT 6: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Từ các tr-ờng hợp đồng dạng của tam giác suy ra tam giác vu«ng Hai tam giác vuông đồng dạng nếu: a, Tam gi¸c vu«ng nµy cã mét gãc nhän b»ng gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia. b, Tam gi¸c vu«ng nµy cã hai c¹nh gãc vu«ng tØ lÖ víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia. 2. Dấu hiệu nhận biết về hai tam giác vuông đồng dạng *§Þnh lÝ 1: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh huyÒn vµ c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. VÝ dô: Hai tam gi¸c vu«ng DEF vµ D'E'F' (hình vẽ) đồng dạng với nhau v× cã: DE DF = D' E ' D' F'.  1  =  (định lí1)  2. D' D 2,5 E. 5. 10. 5 F. E'. F'. 3. Tỉ số đ-ờng cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng d¹ng 107. <span class='text_page_counter'>(108)</span> *§Þnh lÝ 2: TØ sè hai ®-êng cao t-¬ng øng cña hai tam gi¸c đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. *Định lí 3: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình ph-ơng tỉ số đồng dạng. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi tËp 1: Cho h×nh vÏ bªn h·y chØ E ra các tam giác đồng dạng. Viết các D tam giác này theo thứ tự các đỉnh t-¬ng øng vµ gi¶i thÝch v× sao chóng F đồng dạng Gi¶i: C A B C¸c cÆp tam gi¸c vu«ng ! ! ) - ∆ DEF ! ∆ BCF (v× DFE=BFE - ∆ DEF !. ∆ BEA (cã gãc E chung). - ∆ DCA !. ∆ BCF (cã gãc C chung). Bµi tËp 2: Hai tam gi¸c vu«ng ABC vµ MNP có đồng dạng với nhau không? vì sao? Gi¶i: Tam giác vuông ABC đồng dạng với tam gi¸c vu«ng MNP V× Cˆ = Pˆ. B N. A. C. P. M. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tập 1: Bóng của một cột điện trên mặt đất có độ dài 4,5m cùng thời điểm đó một thanh sắt cao 2,1m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 0,6m. Tính chiều cao của cột điện. Bµi tËp 2: Trong h×nh vÏ, tam gi¸c M MNQ vu«ng t¹i M vµ cã ®-êng cao MH. a) Trong h×nh vÏ cã bao nhiªu 20,50 12,45 cặp tam giác đồng dạngvới nhau? (Hãy chỉ rõ từng cặp tam giác đồng dạng Q N và viết theo các đỉnh t-ơng ứng. H b) Cho biÕt MQ = 12,45cm, MN = 20,50cm. Tính độ dài các đoạn th¼ng NQ, MH, QH, NH. Bài tập 3: Tam giác ABC có độ dài các cạnh là 3cm, 4cm, 5cm. Tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là 54cm2. Tính độ dài các cạnh của tam giác PQR.. TIẾT 7: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. HÖ thøc gi÷a c¹nh gãc vu«ng vµ h×nh chiÕu cña nã trªn c¹nh huyÒn. Ta cã: b 2 = a.b '. (1) 108. <span class='text_page_counter'>(109)</span> c 2 = a.c '. (2). 2. Mét sè hÖ thøc liªn quan tíi ®-êng cao (3) Ta cã: + h 2 = b '.c ' + b.c = a.h (4) 1 1 1 + 2= 2+ 2 h b c. h. (5). II. BÀI TẬP ÁP DỤNG TÝnh x, y, h trong mçi h×nh sau: Bµi 1: 6. 8. x. y. Gi¶i: Theo định lý Pitago ta có: x+y = ¸p dông hÖ thøc (1) ta cã: 6 T-¬ng tù ta cã: y =. 2. 6 2 + 82 = 100 = 10. = (x+y)x ⇒ x =. 62 = 3, 6 ; 10. 82 64 = = 6, 4 ( HoÆc y = 10 - 3,6 = 6,4 ) 10 10. Bµi 2:. Gi¶i: + Áp dông hÖ thøc (1) ta cã: x 2 = AB 2 = ( BH + HC ) .HB = (1 + 4 ) .1 = 5 ⇒ x = 5. + T-¬ng tù ta cã: y 2 = BC.HC = 5.4 = 20 ⇒ y = 20 + Áp dông hÖ thøc (4) ta cã: h =. x. y 5. 20 = =2 a 5. C¸ch 2: ¸p dông hÖ thøc (5) ta cã: 1 1 1 = 2+ 2 = 2 h y x. 1. +. ( 5) ( 2. 1 20. ). 2. =. 1 1 5 1 + = = ⇒ h2 = 4 ⇒ h = 2 5 20 20 4. Bµi 3: x 109. <span class='text_page_counter'>(110)</span> Gi¶i: + Áp dụng định lý Pitago ta có: y = BC = AC 2 + AB 2 = 52 + 7 2 = 74. + Áp dông hÖ thøc (4) ta cã: x.y = 5.7 => x =. 35 74. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bµi 1: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4. Kẻ đường cao tương ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao tương ứng với cạnh huyền và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền. Bài 2: Cho hình bên Tính độ dài các đoạn AH, BH, HC.. Bài 3: Tính x, y trong hình bên. TIẾT 8: TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Sinα = Cosα = tgα =. cạnh đối c¹nh huyÒn c¹nh kÒ c¹nh huyÒn cạnh đối. C¹nh kÒ. Cạnh đối. α. c¹ nh kÒ c¹nh kÒ cotgα = cạnh đối. C¹nh huyÒn. - Các tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn luôn dương - Sin α < 1 ; Cos α < 1 2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: Khi α + β = 900 Sinα = cos β Cosα = Sin β tgα = cot g β cot g α = tg β. α. β. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 110. <span class='text_page_counter'>(111)</span> Bài1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính giá trị lượng giác của góc nhọn B. Gi¶i: A Ta cã: sin B̂ =. AC a 2 = = BC a 2 2. a. a. 2 AB a = = 2 BC a 2 AC a = =1 tg B̂ = AB a AB a cotg B̂ = = =1 AC a. B. cos B̂ =. 45°. C a 2. Bài 2: Cho hình bên. Tính tỉ số lượng giác của góc B. Gi¶i: Ta cã: Sin 600 = sin B̂ =. C. AC a 3 3 = = BC 2a 2. 2a. AB a 1 = = BC 2a 2 AC a 3 tg 600 = tg B̂ = = = 3 AB a Cotg 600 = Cotg B̂ = AB a 3 = = AC a 3 3. a 3. Cos 600 = cos B̂ =. B 60° a. A. Bài 3: Hãy viết tỷ số lượng giác của góc 300 thành tỉ số lượng giác của góc lớn hơn 300. Ta có: góc 30 0 và góc 60 0 là hai góc phụ nhau nên ta có: sin 300 = cos 600 = tg 300 = cot g 600 =. 1 ; 2. cos 300 = sin 600 =. 3 2. 3 ; 2. cot g 300 = tg 600 = 3. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC= 1,2m. Tính các tỉ số l-ợng giác của góc B, từ đó suy ra các tû sè l-îng gi¸c cña gãc A. Bµi 2: H·y viÕt tØ sè l-îng gi¸c sau thµnh tØ sè l-îng gi¸c cña c¸c gãc nhän nhá h¬n 45 0: sin 600, cos620, tg560, cotg78 0, sin800, tg640, cotg700. 111. <span class='text_page_counter'>(112)</span> TIẾT 9: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. C¸c hÖ thøc: *HÖ thøc: b = a.sin B = a.cos C c = a.cos B = a.sin C b = c.tgB = c.cot gC c = b.tgC = b.cot gB. 2. Áp dông gi¶i c¸c tam gi¸c vu«ng. * Bµi to¸n gi¶i tam gi¸c vu«ng: Trong mét tam gi¸c vu«ng, nÕu biÕt tr-íc hai c¹nh hoÆc mét c¹nh vµ mét gãc nhän ta t×m c¸c c¹nh cßn l¹i vµ c¸c gãc cßn l¹i cña nã. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi 1: Cho tam gi¸c vu«ng ABC víi c¸c c¹nh gãc vu«ng AB = 5cm, AC = 8cm. H·y gi¶i tam gi¸c vu«ng ABC. Gi¶i: + Tính cạnh BC: Theo định lý Pitago ta có: BC = AB 2 + AC 2 = 52 + 82 = 89 ≈ 9, 434 (cm). + TÝnh gãc C, B: AB 5 ! ≈ 320 = = 0, 625 ⇒ C AC 8 ! = 900 − 320 ≈ 580 B. Ta cã: tgC = Do đó. Bµi 2: Cho tam gi¸c OPQ vu«ng t¹i O cã Pˆ = 360 , PQ = 7 cm. H·y gi¶i tam gi¸c vu«ng OPQ. Gi¶i: P + TÝnh gãc Q: Ta cã Qˆ = 900 − Pˆ = 90 0 − 360 = 54 0 36° + TÝnh c¹nh OP, OQ: theo c¸c hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc 7 trong tam gi¸c vu«ng ta cã: OP = PQ.cos P = 7.cos 360 ≈ 5, 663 (cm) OQ = PQ.cos Q = 7.cos 540 ≈ 4,114 (cm) O. Q. Bµi 3: Gi¶i tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A , biÕt r»ng b = AC = 10cm, Cˆ = 300 . 112. <span class='text_page_counter'>(113)</span> Gi¶i: + TÝnh gãc B: V× ∆ABC vu«ng t¹i ! +C ! = 900 A nªn B ! = 900 − C ! ⇒B. = 90 − 30 = 60 0. 0. 10. 3 ≈ 5, 77 ( cm ) 3. Theo định lý Pitago ta có BC = 102 + (5, 77) 2 = 11,5(cm). 30°. 0. + TÝnh c¹nh AB, BC: AB = c = b.tgC = 10.tg 300 = 10.. C. A. B. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các tam giác ABC vuông tại A, các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C lần l-ợt là a, b ,c biết rằng 1) b = 8cm, a = 10 cm 2) b = 5cm, Cˆ = 300 3) c = 10cm, Bˆ = 350. TIẾT 10: KIỂM TRA Đề số 1: C©u 1: VÏ tam gi¸c ABC c©n t¹i B cã Bˆ = 400 , AB = 3cm. TÝnh gãc ë đáy của tam giác cân đó. C©u 2: Cho hai tam gi¸c ABC vµ A'B'C' cã Aˆ = Aˆ '; Bˆ = Bˆ '. Chøng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C' C©u 3: §-êng cao cña mét tam gi¸c vu«ng chia c¹nh huyÒn thµnh hai đoạn thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy.. §Ò số 2: C©u 1: Cho tam giác ABC có Aˆ = 400 , Bˆ = 600 . Vẽ góc ngoài đỉnh C của tam giác. Tính góc ngoài đỉnh C. C©u 2: VÏ tam gi¸c vu«ng cã gãc nhän b»ng 40 0. ViÕt c¸c tØ sè l-ợng giác của góc nhọn đó. ! C©u 3: Cho xoy khác góc bẹt. Ot là tia phân giác của góc đó. LÊy ®iÓm H thuéc Ot. KÎ c¸c ®-êng vu«ng gãc víi Ot, nã c¾t Ox vµ Oy theo thø tù ë A vµ B. Chøng minh OA = OB. 113. <span class='text_page_counter'>(114)</span> Hướng dẫn chấm §Ò I: B. C©u 1 (2®iÓm): V× ∆ABC c©n ∧. ∧. 3cm. t¹i B => A = C ∧. ∧. A=C=. 180 0 − 40 0 = 70 0 2. A. C. C©u 2 (4®iÓm): Chøng minh: Trªn AB lÊy AM = A’B’ KÎ MN // BC (N∈AC). A. V× MN // BC nªn ta cã: ∆AMN đồng dạng ∆ABC ∧. XÐt ∆AMN vµ ∆A’B’C’ cã: A =. M. A’. N. ∧. A'. (gt); AM = A’B’ (c¸ch. vÏ) C. B Góc AMN = góc ABC (đồng vị) ∧. B ’. C ’. ∧. nh-ng B = B ’ (gt) ∧. => Gãc AMN = B ’ => ∆ AMN = ∆ A’B’C’ (g.c.g) => ∆ A’B’C’ đồng dạng ∆ ABC. C©u 3 (4 ®iÓm): AB. 2. A. = BH .BC = 3.(3 + 4) = 21. =>. AB = 21. =>. AC = CH.BC. =. 4.7 = 28. B 3. H. 4. C. 114. <span class='text_page_counter'>(115)</span> §Ò 2: C©u 1 (4®iÓm): ∧. ∧. B. ∧. C = 180 0 − (A + B) = 180 0 − ( 40 0 = 60 0 ) ∧. C = 80 0 ∧. ∧. ! = A + B XCB. = 40. A 0. + 60. x. C. 0. ! = 1000 ⇒ XCB. C©u 2 (2 ®iÓm): B. AC Sin40 = BC AB Cos 400 = BC AC tg 400 = AB AB Cotg 400 = AC 0. A. C x. C©u 3 (2 ®iÓm):. A. XÐt 2 ∆ vu«ng: OHA vµ OHB H. O. vu«ng t¹i H. t. Cã: OH c¹nh chung ! ! Cã: AOH = BOH (gt). B y. => ∆ vu«ng OHA = ∆ vu«ng OHB (g.c.g) => OA = OB. CHUYÊN ĐỀ 2: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC TIẾT 11: TỨ GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. §Þnh nghÜa * Tø gi¸c ABCD lµ h×nh gåm bèn ®o¹n thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai ®o¹n th¼ng nµo còng kh«ng cïng n»m trªn mét ®-êng th¼ng. 115. <span class='text_page_counter'>(116)</span> * Tø gi¸c låi lµ tø gi¸c lu«n n»m trong mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®-êng th¼ng chøa bÊt k× c¹nh nµo cña tø gi¸c 2. TÝnh chÊt * Tæng c¸c gãc cña mét tø gi¸c b»ng 360 0. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi tËp 1: T×m x, y trªn c¸c h×nh vÏ sau:. H×nh 1 H×nh 2 Gi¶i: H×nh 1: x = 360 0 - (1140 + 860 + 870) = 730 H×nh 2: Ta cã: Ê 1 = 1800 - 710 = 1090 VËy y = 360 0 - (900 + 1090 + 900) = 710 Bµi tËp 2: ! = 750 , B ! = 900 , C ! = 1200 . TÝnh sè ®o gãc ngoµi Tø gi¸c ABCD cã A tại đỉnh D (Gãc kÒ bï víi mét gãc cña tø gi¸c gäi lµ gãc ngoµi cña tø gi¸c). Gi¶i: Tø gi¸c ABCD cã 0 ! +B ! +C ! +D ! = 360 (Theo định lí tổng các A gãc cña tø gi¸c) ! = 360 0 750 + 900 + 1200 + D ! = 3600- 2850 D ! = 750 D ! 1 = 1800 ! + D Cã D ! 1 = 1800 - D ! = 1800 - 750 = D 0 105 III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bµi tËp 1: ! = 650 , N ! = 117 0 , P$ = 710 . TÝnh sè ®o gãc ngoµi Tø gi¸c MNPQ cã M tại đỉnh Q (Gãc ngoµi lµ gãc kÒ bï víi mét gãc cña tø gi¸c). Bµi tËp 2: ! = 1100 , B ! = 1000 . C¸c tia ph©n gi¸c cña gãc C Tø gi¸c ABCD cã A vµ D c¾t nhau ë E. C¸c ®-êng ph©n gi¸c cña c¸c gãc ngoµi t¹i ! ! các đỉnh C và D cắt nhau ở F. Tính CED, CFD. 116. <span class='text_page_counter'>(117)</span> TIẾT 12, 13: HÌNH THANG - HÌNH THANG CÂN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.. * Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.. * Hình thang cân là hình thang có hai góc k ề một đáy bằng nhau.. * Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.. 2. Tính chất * Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. * Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. * Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy 3. Dấu hiệu nhận biết hình thang. * Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. * Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 117. <span class='text_page_counter'>(118)</span> Bài tập 1: Tính độ dài các cạnh của hình thang cân ABCD trên gấy kẻ ô vuông( Độ dài của cạnh ô vuông là 1cm ) Bài giải Bài giải: AD = 3 2 + 12 = 10 (cm) AB = 2 (cm) BC = 10 (cm) DC = 4 (cm). Bài tập 2: Hai điểm A và B thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Khoảng cách từ điểm A đến xy bằng 12 cm, khoảng cách từ điểm B đến xy bằng 20cm. Tính khoảng cách từ trung điểm C của AB đến xy. GT AH = 12 BK = 20 KL. CM=?. Bài giải: Kẻ AH, CM, BK vuông góc với xy Hình thang ABKH có AC=CB, CM//AH//BK Nên MH=MK và CM là đường trung bình Do đó: CM=. AH + BK 12 + 20 = = 16(cm) 2 2. Bài tập 3: Tính x, y trên hình vẽ. Trong đó AB//CD//EF//GH.. Gi¶i Ta có CD là đường TB của hình thang ABFE => CD =. 1 ( AB + EF) = 12 cm 2. => x = 12cm * Vì EF là đường TB của hình thang, CDHG nên ta có: 118. <span class='text_page_counter'>(119)</span> EF =. 1 ( CD + GH ) => 16 = (12 + GH): 2 2. => 2GH = (16 + 24) => GH = 20 cm => y = 20 cm III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tập 1: Tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng ABCD là hình thang. Bài tập 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED Bài tập 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD), E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thẳng E F cắt BD ở I, cắt AD ở K. a, Chứng minh rằng AK = KC, BI = ID . b, Cho AB= 6 cm, CD = 10 cm. Tính độ dài EI, KF, IK.. TIẾT 14, 15: HÌNH BÌNH HÀNH - HÌNH CHỮ NHẬT I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa * Hình bình hành: là tứ giác có các cạnh đối song song.. * Hình chữ nhật: là tứ giác có bốn góc vuông.. 2. Tính chất a.Tính chất của hình bình hành *Trong hình bình hành: - Các cạnh đối bằng nhau - Các góc đối bằng nhau. - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. b. Tính chất của hình chữ nhật Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 119. <span class='text_page_counter'>(120)</span> 3. Dấu hiệu nhận biết a. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành - Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành - Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành - Tứ giác có hai cạnh đối song songvà bằng nhau là hình bình hành - Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành - Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. b. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật - Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật - Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật - Hình bình hành có m ột góc vuông làhình chữ nhật. - Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi tËp 1: Chu vi hình bình hành ABCD bằng 10 cm, chu vi tam giác ABD bằng 9cm. Tính độ dài BD.. Bµi gi¶i Ta cã AB + AD =. 10 = 5 cm, 2. AB + AD + BD =9 cm =>BD = 9 - 5 = 4 cm. Bµi tËp 2 T×m x trªn h×nh vÏ bªn:. Bµi gi¶i KÎ BH ⊥ CD.Tø gi¸c ABHD cã ba gãc vu«ng nªn lµ h×nh ch÷ nhËt . Do đó: DH =AB =10 (cm ).=>HC =DC - DH =15 - 10 = 5 (cm) Xét tam giác vuông BHC .THeo định lí Py-ta-go: BH = BC 2 − HC 2 = 132 − 5 2 = Bài tËp 3; Tø gi¸c ABCD cã hai F, G, H theo thø tù lµ DA. Tø gi¸c EFGH lµ h×nh Tø gi¸c ABCD GT. 144 = 12(cm). vËy x = 12. ( cm ). ®-êng chÐo vu«ng gãc víi nhau. Gäi E, trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC, CD, g×? v× sao?. 120. <span class='text_page_counter'>(121)</span> AC ⊥ BD, AE = EB BF = FC , GC = GD, AH = HD. KL. EFGH là hình gì? Vì sao?. Chøng minh EF là đường trung bình của tam giác ABC => EF // AC HG là đường trung bình của tam giác ADC => HG//AC, đo đó EF//HG Tương tự có FH//FG => tứ giác EFGH là hbh EF//AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF EH//BD và EF ⊥ BD nên EF ⊥ EH hbh: EFGH có Eˆ = 900 nên là hình chữ nhật III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bµi tËp 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Gäi E lµ trung ®iÓm cña AD, F lµ trung ®iÓm cña BC .Chøng minh r»ng BE = DF. Bµi tËp 2 H×nh ch÷ nhËt ABCD cã c¹nh AD b¨ng nöa ®-êng chÐo .TÝnh gãc nhän t¹o bëi hai ®-êng chÐo. Bµi tËp 3 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD.gäi I,K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña CD, AB.§-êng chÐo BD c¾t AI,CK theo thø tù ë Mvµ N.Chøng minh r»ng : a) AI// CK. b) DM = MN = NB. Bµi tËp 4 Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Gäi H lµ ch©n ®-êng vu«ng gãc kÎ từ A đến BD. Biết HD = 2 cm, HB = 6 cm.tính các độ dài AD, AB (làm tròn đến hàng đơn vị ).. TIẾT 16, 17: HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. §Þnh nghÜa a. §Þnh nghÜa h×nh thoi: lµ tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau. b. §Þnh nghÜa h×nh vu«ng: Lµ tø gi¸c cã bèn gãc vu«ng vµ bèn c¹nh b»ng nhau. 2. TÝnh chÊt. * Trong h×nh thoi: (H×nh thoi cã tÊt c¶ c¸c tÝnh chÊt cña h×nh b×nh hµnh.) - Hai ®-êng chÐo vu«ng gãc víi nhau. 121. <span class='text_page_counter'>(122)</span> - Hai ®-êng chÐo lµ c¸c ®-êng ph©n gi¸c cña c¸c gãc cña h×nh thoi. * Trong h×nh vu«ng: (H×nh vu«ng cã tÊt c¶ c¸c tÝnh chÊt cña h×nh ch÷ nhËt vµ h×nh thoi.) - Hai ®-êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®-êng. - Hai ®-êng chÐo vu«ng gãc víi nhau. - Hai ®-êng chÐo lµ c¸c ®-êng ph©n gi¸c cña c¸c gãc cña h×nh vu«ng. 3. DÊu hiÖu nhËn biÕt a. DÊu hiÖu nhËn h×nh thoi - Tø gi¸c cã bèn c¹nh b»ng nhau lµ h×nh thoi. - H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau lµ h×nh thoi. - H×nh b×nh hµnh cã hai ®-êng chÐo vu«ng gãc víi nhau lµ h×nh thoi.. - H×nh b×nh hµnh cã mét ®-êng chÐo lµ ®-êng ph©n gi¸c cña mét gãc lµ h×nh thoi. b. DÊu hiÖu nhËn h×nh vu«ng - H×nh ch÷ nhËt cã hai c¹nh kÒ b»ng nhau lµ h×nh vu«ng. - H×nh ch÷ nhËt cã hai ®-êng chÐo vu«ng gãc víi nhau lµ h×nh vu«ng. - H×nh ch÷ nhËt cã mét ®-êng chÐo lµ ®-êng ph©n gi¸c cña mét gãc lµ h×nh vu«ng. - H×nh thoi cã mét gãc vu«ng lµ h×nh vu«ng. - H×nh thoi hai ®-êng chÐo b»ng nhau lµ h×nh vu«ng.. 4. Hình có trục đối xứng, tâm đối xứng - Các hình có trục đối xứng là: Hình thang cân có 1 trục đối xứng, hình chữ nhật có 2 trục đối xứng, hình thoi có 2 trục đối xứng hình vuông có 4 trục đối xứng.. - Các hình có tâm đối xứng: Hình bình hành, bình chữ nhật, h×nh thoi, h×nh vu«ng. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi tËp 1: Chøng minh r»ng c¸c trung ®iÓm cña bèn c¹nh cña mét h×nh chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi. Gi¶i. 122. <span class='text_page_counter'>(123)</span> XÐt ∆ AEH vµ ∆ BEF cã AH = BF =. AD BC = 2 2. Aˆ = Bˆ = 900 AE = BE =. AB 2. ⇒ ∆AEH = ∆BEF. (c.g.c) => EH=EF (1) C. minh t-¬ng tù : ∆HDG = ∆FCG (c.g.c) => HG = FG (2) Tõ (1) vµ (2) => EF = GF= GH = EH Do đó EFGH là hình thoi ( theo §N). Bµi tËp 2: Cho h×nh vÏ. Tø gi¸c AEDF lµ h×nh g×? V× sao?. Gi¶i (a) Tø gi¸c ADEF cã  = 45 0 +45 0 = 90 0 Vµ Eˆ + F& = 90 0 (gt) => AEDF lµ h×nh ch÷ nhËt vµ cã AD lµ ph©n gi¸c cña gãc A nªn nã lµ h×nh h×nh vu«ng ( Theo dÊu hiÖu 3). Bµi tËp 3: VÏ h×nh thang c©n ABCD (AB//CD), ®-êng trung b×nh MN cña h×nh thang c©n. Gäi E vµ F lÇn l-ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD. Xác định điểm đối xứng của các điểm A, N, C qua E F Gi¶i. 123. <span class='text_page_counter'>(124)</span> - Điểm đối xứng của A qua EF lµ B - Điểm đối xứng của N qua EF lµ M - Điểm đối xứng của C qua EF lµ D. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Bµi tËp 1: Cho h×nh thoi ABCD, O lµ giao ®iÓm cña hai ®-êng chÐo. Gäi E, F, G, H theo thø tù lµ ch©n c¸c ®-êng vu«ng gãc kÎ tõ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? Bµi tËp 2: ! = 600. Trªn c¹nh AD lÊy ®iÓm M, trªn H×nh thoi ABCD cã A c¹nh DC lÊy ®iÓm N sao cho AM = DN. Tam gi¸c BMN lµ tam gi¸c g×? V× sao? Bµi tËp 3: Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA lÊy theo thø tù c¸c ®iÓm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tø gi¸c EKPQ lµ h×nh g×? V× sao? TIẾT 18: DIỆN TÍCH TỨ GIÁC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tø gi¸c H×nh vu«ng H×nh thang H×nh ch÷ nhËt. S = a . b S = a2 = H×nh b×nh hµnh. S =. d2 2. S =. (a + b)h 2. H×nh thoi. 1 ah 2. S = a.h =. 1 d1.d2 2. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi tËp 1:. 124. <span class='text_page_counter'>(125)</span> ABCD là một hình vuông cạnh 12 cm, AE = x cm.Tính x sao cho diện tích tam giác ABE bằng. 1 diện tích hình vuông ABCD. 3. Bài giải Ta cã:. S ABCD = 122 = 144(cm2 ) 1 S AEB = .12 x = 6 x(cm2 ) 2 1 S AEB = S ABCD = 1 . 144 = 48 => 6x = 48 => x = 8 (cm) 3 3 Bµi tËp 2 a. Hãy vẽ một tứ giác có độ dài hai đường chéo là: 3,6 cm, 6 cm và hai đường chéo đó vuông góc với nhau. Có thể vẽ được bao nhiêu tứ giác như vậy? Hãy tính diện tích mỗi tứ giác vừa vẽ. b. Hãy tính diện tích hình vuông có độ dài đường chéo là d Bài giải a. Vẽ được vô số tứ giác theo yêu cầu của đề bài 1 AC.BD 2 1 = .6.3, 6 = 10,8(cm2 ) 2. S ABCD =. b. H×nh vu«ng cã 2 ®-êng chÐo vu«ng gãc víi nhau vµ mçi đ-ờng có độ dài là d => diện tÝch b»ng. 1 2 d 2. III. Bài tập đề nghị. Bài tập 1 Một đám đất hình chữ nhật dài 700 m, rộng 400 m. Hãy tính diện tích đám đất đó theo đơn vị m2, km2, a, ha. Bài tập 2 Tính diện tích hình thoi có cạnh dài 6 cm và một trong các góc của nó có số đo là 600. Bài tập 3 Tính các cạnh của một hình chữ nhật biết rằng bình phương của độ dài một cạnh là 16 cm và diện tích của hình chữ nhật là 28 cm2.. 125. <span class='text_page_counter'>(126)</span> TIẾT 19: ÔN TẬP. 126. <span class='text_page_counter'>(127)</span> I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi tËp 1: Cho h×nh thang c©n ABCD (AB // CD; AB < CD), BC = 15 cm, ®-êng cao BH = 12 cm vµ HD = 16 cm a. tính độ dài HC b. Chøng minh BD ⊥ BC Gi¶i:. 127. <span class='text_page_counter'>(128)</span> a, Tam gi¸c vu«ng CHB cã HC 2 = BC 2 − BH 2 = 225 − 144 = 81 ⇒ HC = 9 b, BD ⊥ BC. Tam gi¸c vu«ng BHD cã DB 2 = DH 2 + BH 2 = 144 + 256 = 400 BC 2 = 225 DC 2 = 625. Mµ 625 = 225 + 400 => DC 2 = BD 2 + BC 2 => BD ⊥ BC Bµi tËp 2: Cho tø gi¸c ABCD.Gäi E, F, G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD, DA. C¸c ®-êng chÐo AC,BD cña tø gi¸c ABCD cã ®iÒu kiÖn g× Th× E FGH lµ: a) H×nh ch÷ nhËt? b) H×nh thoi? c) H×nh vu«ng? Bµi gi¶i GT. Tø gi¸c ABCD EA=EB, FB=FC GC=GD, HD=HA. KL T×m ®iÒu kiÖn cña AC vµ BD để tứ gi¸c EFGH lµ: a. H×nh ch÷ nhËt b. H×nh thoi c. H×nh vu«ng. Chøng Minh Ta cã FE lµ ®-êng trung b×nh cña ∆ ABC => EF//AC, EF =. 1 AC 2. (1). HG lµ ®-êng trung b×nh cña ∆ ADC=> HG//AC, HG =. 1 AC 2. (2) Tõ (1) vµ (2) => HG = EF, HG // EF => tø gi¸c EFGH lµ h×nh b×nh hµnh a. H×nh b×nh hµnh EFGH lµ h×nh ch÷ nhËt ó EH ⊥ EF ó AC ⊥ BD ( v× EH//BD, EF//AC) => §iÒu kiÖn ph¶i t×m: c¸c ®-êng chÐo AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau b. H×nh b×nh hµnh EFGH lµ h×nh thoi óEF=GH 128. <span class='text_page_counter'>(129)</span> ó AC=BD (v× EF =. 1 1 AC , EH = BD ) 2 2. => §iÒu kiÖn ph¶i t×m: AC=BD c. H×nh b×nh hµnh EFGH lµ h×nh vu«ng EFGH lµ h×nh ch÷ nhËt AC ⊥ BD ⇔. EFGH lµ h×nh thoi ⇔ AC = BD §iÒu kiÖn ph¶i t×m: AC=BD, AC ⊥ BD Bµi tËp 3: Tø gi¸c ABCD cã E, F, G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA. Tõ gi¸c EFGH lµ h×nh g×? v× sao? GT. Tø gi¸c ABCD E, F, G, H lµ trung. ®iÓm c¸c c¹nh KL. EFGH lµ h×nh g×?. Chøng minh: - Nèi ®-êng chÐo AC, BD - Ta cã: EH lµ ®-êng trung b×nh cña tam gi¸c ABC; FG lµ ®-êng trung b×nh cña tam gi¸c ADC. => EH // AC vµ EH = FG //AC vµ EG =. AC 2. AC 2.  EH / / FG   AC  EH = FG = 2. => Tø gi¸c EFGH lµ h×nh b×nh hµnh.. TIẾT 20: KIỂM TRA Bµi tËp 1: (3 ®iÓm) Chu vi h×nh b×nh hµnh ABCD b»ng 10 cm, chu vi tam gi¸c ABD b»ng 9cm. Tính độ dài BD. Bài tập 2: (3 ®iÓm) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng EA = EB, EC = ED Bµi tËp 3: (4 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB = 2AD. Gäi E, F theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, CD. Goi M lµ giao ®iÓm cña AF vµ DE, N lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE. a, Tø gi¸c ADEF lµ h×nh g×? V× sao? 129. <span class='text_page_counter'>(130)</span> b, Tø gi¸c EMFN lµ h×nh g×? V× sao? HƯỚNG DẪN CHẤM Bµi tËp 1: Chu vi h×nh b×nh hµnh ABCD b»ng 10 cm, chu vi tam gi¸c ABD bằng 9cm. Tính độ dài BD. Bµi gi¶i Ta cã AB + AD =. 10 = 5 cm, 2. AB + AD + BD =9 cm =>BD = 9 - 5 = 4 cm. Bài tËp 3; Tø gi¸c ABCD cã hai ®-êng chÐo vu«ng gãc víi nhau. Gäi E, F, G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA. Tø gi¸c EFGH lµ h×nh g×? v× sao? Tø gi¸c ABCD GT AC ⊥ BD, AE = EB BF = FC , GC = GD, AH = HD. KL. EFGH là hình gì? Vì sao?. Chøng minh: EF là đường trung bình của tam giác ABC => EF // AC HG là đường trung bình của tam giác ADC => HG//AC, đo đó EF//HG Tương tự có FH//FG => tứ giác EFGH là hbh EF//AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF EH//BD và EF ⊥ BD nên EF ⊥ EH hbh: EFGH có Eˆ = 900 nên là hình chữ nhật. CHUYÊN ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRÒN Tiết 21:. XÁC ĐỊNH MỘT ĐƯỜNG TRÒN.. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN * Định nghĩa đường tròn, hình tròn:. R O. 130. <span class='text_page_counter'>(131)</span> - Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, ký hiệu (O ; R), hoặc (O). Hình.1. * Định nghĩa hình tròn: - Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm bên trong đường tròn đó.. R. O. + Tính chất của đường tròn: - Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. - Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. Ví dụ: Cho hình vẽ: Xác định tâm đối xứng, trục đối xứng của đường tròn. Giải: - O là tâm đối xứng. - AB, CD là trục đối xứng của đường tròn.. Hình. C B A A D. Hình.3 * Cung và dây cung: - Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O. Hai điểm này chia đường tròn thành hai phần mỗi phần gọi là một cung tròn (Gọi tắt là cung). - Đoạn thẳng nối hai mút của cung là dây cung.. C. D. A O. - Trong một đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất. Hình * Sự xác định đường tròn, đường tròn ngoại tiếp tam giác: - Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó.. A. Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B Vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó. Giải: Xác định trung điểm O của đoạn thẳng AB. Hình C. => (O; AB ). O. 2 A. Ví dụ 2: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Vẽ một đường tròn đi qua ba điểm đó. Giải: Vẽ các đường trung trực ba cạnh của ∆ABC. B. O. B. Hình .6 131. <span class='text_page_counter'>(132)</span> O là giao của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác => O là tâm của đường tròn đi qua đi qua ba điểm A, B, C. - Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một đường tròn. Nói cách khác qua ba đỉnh của một tam giác ABC bao giờ cũng dựng được một đường tròn xác định. Ta nói đường tròn đó ngoại tiếp tam giác, hay tam giác đó nội tiếp đường tròn. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm của hai đường chéo. OA = 2 cm. Vẽ (A; 2cm). Trong 5 điểm: A, B, C, D, O điểm nào nằm trên đường tròn ? Điểm nào nằm trong đường tròn ?. Điểm nào nằm ngoài đường tròn ?. Giải:. B. C. 2. OA = 2 < 2 => O và A nằm trong đường tròn tâm A. AB = AD = 2 => B và D nằm trên đường tròn tâm A.. O D. 2. A. AC = 2 2 > 2 => C nằm ngoài đường tròn tâm A. Hình .7 Bài 2: Cho (O), dây AB. Biết M là trung điểm của AB, cho OA = 5cm, OM = 3cm . Tính AB ? Giải: Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông OAM OA 2 = AM 2 + OM 2 Hình 2 2 2 .8 ⇒ AM = OA − OM. M. A. B. 3. 5. O. 2 2 2 2 ta có: ⇒ AM = OA − OM = 5 − 3 = 4. A. Vậy AB = 2AM = 8 cm. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. Chứng minh: Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC => OB = OC Nối O với A => OA là đường trung tuyến Do đó OA =. C. B. O. Hình .9. 1 BC => OA = OB = OC 2. => O là tâm đường tròn đi qua A, B, C Vậy tâm của (O) ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC. Tiết 22: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN a) Tâm đối xứng:. R O. 132. <span class='text_page_counter'>(133)</span> A’ đối xứng với A qua O. Vậy tâm O là tâm đối xứng của đường tròn. A. A'. O. Hình. 10. b) Trục đối xứng: C’ đối xứng với C qua đường kính thẳng AB. Do đó đường kính AB là một trục đối xứng của (O). A. O C. I. C'. Hình. 11. B. Vậy, bất kỳ đường kính nào cũng là một trục đối xứng của đường tròn; đường tròn có vô số trục đối xứng. c) Đường kính và dây của đường tròn. Định lí 1: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. AB ≥ CD; AB ≥ EF. E. F A. B. O C. D. Hình. 12. d) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây. Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.. A. AB là đường kính, CD là một dây của (O); Nếu AB ⊥ CD tại I thì IC = ID. O. C. I B. D. Hình. 13. 133. <span class='text_page_counter'>(134)</span> Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. AB là đường kính, CD là một dây khác đường kính của (O); Nếu AB ∩ CD = I Và IC = ID thì AB ⊥ CD. A. O. C. I. Hình. 14. D. B. Ví dụ: Đường kính AB đi qua trung điểm của dây CD nhưng không vuông góc với CD. (Vì dây CD đi qua tâm O). A D O. Hình. 15. C B. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình vẽ, tìm điểm M’ đối xứng với M qua O?. M. O. Hình. 16 Học sinh dựng đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M’, khi đó M’ là điểm đối xứng với M qua O (Vì OM’ = OM). M. O. M'. Hình. 17. Bài 2: A. Cho hình vẽ, tìm điểm C’ đối xứng với C qua đường thẳng AB?. O. C B. Hình. 18. 134. <span class='text_page_counter'>(135)</span> Giải: Qua C dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại I, cắt (O) tại C’, khi đó C’ là điểm đối xứng với C qua AB (Vì AB ⊥ CC’ và IC = IC’). A. O. C. I. Hình. 19. C' B. Bài 3: Cho hình vẽ, biết OA = 5 cm; OM = 3 cm. Tính AB =? Hướng dẫn: Đường kính OM ⊥ AB nên M là trung điểm của AB ⇒ AB = 2AM. Xét tam giác vuông AMO để tính AM từ đó tính AB.. O. A. M. Hình. 20. B. 3. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 4: Cho tam giác ABC, đường cao AH và BC. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A,B, H, K cùng thuộc một đường tròn. b) AB > HK Hướng dẫn: a) + Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABH (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH là trung điểm I của AB) + Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABK (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK là trung điểm I của AB) + (I) đường kính AB có đi qua bốn điểm A, B, H, K không? ( Đường tròn (I) đi qua bốn điểm A, B, H, K ) b) AB là gì của (I)? ( AB là đường kính của (I) ) HK là gì của (I)? ( HK là dây của (I) ) So sánh đường kính AB và dây HK trong ( O ) Bài 5: Cho hình vẽ, biết OA = 10 cm; OM = 6 cm. Tính AB =? Hướng dẫn: Dây AB không đi qua tâm, đường kính OM đi qua trung điểm M của AB nên OM ⊥ AB ⇒ AB = 2AM. Xét tam giác vuông AMO để tính AM ⇒ AB = 2AM. O. A. M. B. Hình. 21. TIẾT 23: DÂY CUNG VÀ KHOẢNG CÁCH ĐẾN TÂM VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Dây cung và khoảng cách đến tâm + Định lý : Trong một đường tròn. 135. <span class='text_page_counter'>(136)</span> D. Định lí 1: - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm - Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.. K C O. Định lí 1: - Dây lớn hơn thì gần tâm hơn - Dây gần tâm hơn thì lớn hơn. B. A. H. Hình. 22 +Ví dụ : Cho AB và CD là 2 dây khác đường kính của đường tròn ( O ; R ) gọi OH,OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB ,CD - dây AB = CD ⇔ OH = OK - dây AB > CD ⇔ OH < OK 2. Vị trí tương đối của dường thẳng và đường tròn : Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. OH là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng a; (OH = d). + Đường thẳng và đường tròn cắt nhau. Ta có: d < O R A + Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau. Ta có: d = R. HB. Hình. 23. O R a. Hình. 24. H + Đường thẳng và đường tròn không giao nhau. Ta có:. O. d > R R. Hình. a 25 VD1: d = 3cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn cắt nhauH) VD2: d = 7cm , R = 7cm ( Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau ) VD3: d = 6cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn không giao nhau ) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Cho hình vẽ, trong đó hai dây MN ; PQ bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. IM = 2cm ; IN = 14cm . Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây.. 136. <span class='text_page_counter'>(137)</span> Giải Kẻ OH ⊥ MN OK ⊥ PQ MN = MI + IN = 2 + 14 = 16 (cm). P. K. 1 MN = 8(cm) 2. MH =. M. I. O. N. H. Q. IH = MH – MI = 8 – 2 = 6(cm) Do MN = PQ nên OH = OK Tứ giác OHIK là hình chữ nhật lại có OH = OK nên OHIK là hình vuông . Do đó OH = OK = IH = 6(cm). Hình. 26. Bài 2 : Điền vào các chỗ trống (….) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng) : R. d. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. 5cm. 3cm. ……………….. 7cm. ……... Tiếp xúc nhau. 6cm. 8cm. …………... R. d. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. 5 cm. 3 cm. Đường thẳng cắt đường tròn. 7 cm. 7 cm. Tiếp xúc nhau. 6 cm. 8 cm. Đường thảng và đường tròn không giao nhau. Giải. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Cho (O; 12cm) đường kính CD vẽ dây MN qua trung điểm I của OC sao cho ! = 30o. Tính độ dài dây MN. NID Hướng dẫn N - Kẻ OH ⊥ MN o ! - Xét tam giác vuông HOI Có : HIO = 30 do đó OH =. 0I = 3 (cm) 2. - Xét tam giác vuông HON có : HN2 = NO2 – OH2 ⇒ HN = 3 15 (cm) Vì MN = 2 HN vậy MN = 6 15 (cm). H C. I. O. D. M. Hình. 25. Bài 2. Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 6 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 10cm. a. Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn tâm O ? Vì sao ? b. Gọi B và C là giao điểm của đường thẳng a và đường tròn O. Tính độ dài BC. Hướng dẫn a) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) vì OH = 6 cm, OB = 10 cm; OH < OB 137. <span class='text_page_counter'>(138)</span> hay d < R b) HC =. OB 2 − OH 2 =. 10 2 − 6 2 = 8. (cm) BC = 16 cm O 6. 1. 0 H. B. C. Tiết 24: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Ba vị trí tương đối của đường tròn. * Hai đường tròn cắt nhau: + Hai đường tròn có 2 điểm chung A và B + Hai điểm chung A và B được gọi là 2 giao điểm. + Đoạn thẳng nối 2 giao điểm AB gọi là dây chung. + OO’ gọi là đoạn nối tâm. + R - R’ < OO' < R + R’. A R. a). b) Hai đường tròn tiếp xúc trong: OO' = R – R’. b). Hình. 26 O. R. R' O' A. O. O'. A. Hình. 27 a). O. a) Nếu (O) và (O’) ở ngoài nhau thì: OO’ > R + R’. b) Nếu (O) đựng (O’) thì: OO’ < R + R’. O'. B. * Hai đường tròn tiếp xúc nhau: + Hai đường tròn có 1 điểm chung A + Điểm chung A được gọi là giao điểm. a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài: OO' = R + R’. * Hai đường tròn không giao nhau: + Hai đường tròn không có điểm chung.. R'. O. b). R. R' O'. O R O' R'. c) (O) và (O’) đồng tâm thì: OO’ = 0 c) O O'. 138. <span class='text_page_counter'>(139)</span> Hình. 28 * Tiếp tuyến chung của hai đường tròn. + d1, d2 là hai tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn (O) và (O’). d1. a). O. d2. + m1 và m2 là 2 tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn (O) và (O’). R. R' O'. m1. m2. b) O. O'. Hình. C. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình vẽ, hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại điểm A. Chứng minh rằng OC // OD Chứng minh: Xét ∆ OAC có OA = OC (cùng là bán kính của (O)) !. O. R. R' O' A D. Hình. 30. !. Suy ra ∆ OAC cân tại O do đó C = A1 (1) Chứng minh tương tự ta có: ∆ O’AD cân tại O’. !. ! Do đó A2 = D (2) Mặt khác: Â1 = Â2 (đối đỉnh) (3) !. ! Từ (1); (2); (3) suy ra: C = D Vậy OC // O’D vì có hai góc so le trong bằng nhau. 3. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. a) Hãy xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn. b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng AD = CD. Chứng mính:. C. D C A O. O'. Hình. 31. 139. <span class='text_page_counter'>(140)</span> a) Gọi (O’) là đường tròn đường kính OA. Vì OO’ = OA – O’A nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong. ! ' ! , suy ra O’C // b) Các tam giác cân AO’C và AOD có chung góc ở đỉnh A nên ACO = D OD. Tam giác AOD có AO’ = O’O và O’C // OD nên AC = CD.. Tiết 25: GÓC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Góc ở tâm , số đo cung 1.Góc ở tâm : + Định nghĩa : Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm. VD: ! AOB ( hình 32) là góc ở tâm. A. m. - Cung AB được ký hiệu là: !AB , B. ! AmB là cung nhỏ, ! AnB là cung lớn.. O. - Cung nằm trong góc gọi là cung bị chắn VD: ! AmB là cung bị chắn bởi ! AOB. n. 2. Số đo cung: + Định nghĩa : Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ Số đo của nửa đường tròn bằng 180 0 AB + Kí hiệu : Số đo của cung AB được kí hiệu Sđ ! 0 VD: Hình 39 cung nhỏ ! AmB có Sđ là 100 cung lớn Sđ ! AnB = 360 - 100 0. Hình. 32. A. 100. 0 Sđ ! AnB = 260. 100. B. O. n o. m. 0. Hình. 33. 3. So sánh hai cung + Khái niệm : Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. Trong hai cung, cung nào có s ố đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. ! + VD: - Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là ! AB = CD ! < GH ! hay GH ! > EF ! - Cung EF nhỏ hơn cung GH được kí hiệu là EF 2. Liên hệ giữa cung và dây 2. 1. Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: 140. <span class='text_page_counter'>(141)</span> a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau GT (0); A,B,C,D ∈ (0) ! KL a; AB = CD => !AB = CD. D C. ! => AB = CD b; ! AB = CD O A. Hình. 34. B. 2.2. Định lí 2 : Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn gt (0); A,B,C,D ∈(0) D. ! => AB>CD AB > CD a; !. kl. ! AB > CD b; AB >CD => !. O. A. C. B. Hình. 35. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ? b) Từ 1 giờ đến 1 giờ 30 phút thì kim phút quay một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ? Bài giải. Với mặt đồng hồ như đường tròn, thì mỗi giờ các kim quay được một góc 300. Do đó kết quả ý a, là: 600 ; ý b, là: 180 0. Bài 2: Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho: AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK xuống BC và BD ( H ∈ BC, K ∈ BD). a)Chứng minh rằng OH < OK b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC. Bài giải A a, Trong tam giác ABC theo bất đẳng thức tam giác ta có: D BC > AB – AC K Do AC = AD nên BC > AB – AD hay BC > BD H C Theo định lý về dây cung và khoảng cách đến tâm, từ BC > B BD suy ra OH < OK O b, Theo ý a, BC > BD suy ra BC > BD Hình. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Hai tiếp tiếp tuyến tại A, B của đường tròn tâm (O;R) Cắt nhau tại36 M. Biết OM = 2R. Tính số đo của góc ở tâm AOB ? 141. <span class='text_page_counter'>(142)</span> Bài giải. A. Vì OM = 2R nên ON = NM, MA ⊥ OM suy ra AN = ON = 0 OA ⇒ ∆ AON đều, nên ! AOB = 60 .. N M. 0 Vậy ! AOB = 2 ! AOM = 120 .. Hình. 37. O. B. TIẾT 26: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn. + Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung + Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn + Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.. Ví dụ 1: Hình 38. Đường thẳng xy đi qua điểm C của đường tròn (0) và vuông góc với bán kính OC ⇒ đường thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn (0). O y. x C. Hình. 38 - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (hình 39) + A cách đều hai tiếp điểm B và C + Tia AO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến AB, AC. +Tia OA là tia phân giác tạo bởi hai bán kính OB, OC. Hình 39 Ví dụ 2: Trên hình 43 ta có: BA và CA là hai tiếp tuyến của đường tròn (0). Theo tính chất tiếp tuyến ta có : AB ⊥ OB, AC ⊥ OC . Hai tam giác vuông OAB và OAC có OB = OC , OA là cạnh chung. Do đó ∆ OAB = ∆ OAC (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra AB = AC. · = OAC · OAB nên AO là tia phân giác của. ! . BAC. 142. <span class='text_page_counter'>(143)</span> · ! AOB = · AOC nên OA là tia phân giác của BOC .. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB=3cm, AC=4cm, BC=5cm . Vẽ đường tròn (B, BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn . Chứng minh : Theo giả thiết ta có : ∆ ABC có AB =3, AC = 4, BC =5 nên BC2 = 52 = 25 AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 vậy BC2 = AB2 + AC2 ⇒ ∆ ABC vuông tại A. Cũng theo giả thiết thì A ∈ (B;BA) nên AC là tiếp tuyến (B,BA). Hình. 40. Bài 2 : Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).Qua M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến AB, AC theo thứ tự ở D, E . Chứng minh rằng chu vi ∆ ADE bằng 2AB. Chứng minh: Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AB = AC, DM = DB, EM = EC. Vậy chu vi tam giác ADE bằng : Hình. AD + DE + AE = AD + (DM + ME) + AE 41 = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B, BA) và đường tròn (C, CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A) . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B). Bài 2 : Cho nửa đường tròn tâmO đường kính AB. Gọi Ax , By là các tia vuông góc với AB (Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt By ở N. ! ? a, Tính số đo MON b, Chứng minh rằng MN = AM + BN. c, Chứng minh rằng AM. BN = R2 (R là bán kính của đường tròn).. Tiết 27 : GÓC NỘI TIẾP VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA GÓC NỘI TIẾP VÀ CUNG BỊ CHẮN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN + Định nghĩa góc nội tiếp : Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. - Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. Ví dụ :. -. 143. <span class='text_page_counter'>(144)</span> A. A C B. O. B. C. O. Hình.42.a Hình.42.b A. ! Hình 42 (a;b) : BAC là góc nội tiếp. + Tính chất của góc nội tiếp : Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.. C. 1 ! ! sđ BAC = sđ BC. Ví dụ :. O. B. 2. + Hệ quả : Trong một đường tròn : Hình.43 - Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. - Góc nội tiếp ( nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Ví dụ : A. D A. D. H. J. 0. B. 0. B. I. F. F. C. C. E. Hình 44.. E. Hình 45.. ! = sd EF ! ! = EDF ! Hình 44 : BAC => sd BC ! ! = BIC ! và EDF ! ! ! = EDF ! Hình 45 : BAC = BJC = EHF mà BAC nên ! ! = BIC ! = EDF ! = EHF ! BAC = BJC A. D. 0. B. 0. F C. Hình 46. Hình 47. E. !OF !AF = 1 B Hình 46 : B 2. ! Hình 47 : DCF =900 ( do DE là đường kính ) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 144. <span class='text_page_counter'>(145)</span> Bài 1 : Trong các hình vẽ sau, hình vẽ nào có góc nội tiếp: A T V. 0. 0. C U. A.. B.. 0. 0. D.. C.. Đáp án: Hình D: Bài 2. Quan sát hình vẽ sau, hãy cho biết số cặp góc nội tiếp cùng chắn một cung là : W. A. 2 cặp C. 4 cặp. X. Đ.Án C: Có 4 cặp góc nội tiếp cùng chắn 1 cung đó là :. B. 3 cặp D. vô số cặp. !WY và ZXY ! Z cùng chắn. 0. Z. Y. ! ! và WYX cùng chắn cung WX cung ZY ; WZX ! ! ! ! WXZ và ZYW cùng chắn cung ZW; XZY và YWX cùng chắn cung XY. Hình.48 Bài 3. Trên hình vẽ sau, cho biết ABC là tam giác đều. Số đo cung nhỏ AC bằng : A. 1200. B. 900. C. 600. 1 ABC = AC mà ! ABC = Đáp án A : Vì sđ ! sđ !. Hình.43 D. 2400. A. 2. 60 ( gt ) => sđ ! AC = 120 . 0. 0. 0 B C. Hình.49. 145. <span class='text_page_counter'>(146)</span> Bài 4. Trên hình vẽ sau, cho biết ! ADO = 250. Số đo cung DB bằng : A. 250 B. 500 C. 600 D. Không tính được.. D. A. 0. Hình.50 B. ! Đ. Án B : Vì DAB = ! ADO = 250 ( do ∆ AOD là tam giác cân ) ! = 1 sđ DB ! hay sđ DB ! = 2sđ DAB ! = => sđ DAB. 2. 500. ! Bài 5. Trên hình vẽ sau, cho biết MAB. = 200;. D. ! ! DMB = 300. Sđ DnB bằng : A. 500 B. 300 C. 600 D. 1000. n O. Hình.51. B M A. Đ. Án D : Vì trong tam giác MAD có ! AMD = 300; ! ! = 500 ADM = 200 nên DAB ! => Sđ DnB = 1000. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Cho hai đường tròn (o) và (o,) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.. C. B D. Hướng dẫn :. O. ! ! ! = 1V; ABC = 1V => CBD = 1800 => Chỉ ra ABD. 0. đpcm. Bài 2. Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (o). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh SM = SC và SN = SA.. A. Hình.52. Hướng dẫn :. ! ! Do MCB = ACM ( cùng chắn hai cung bằng nhau, ! = MB ! ) AM. B M. ! ! ! ! NMC = MCB ( so le trong ) => ACM = NMC hay SMC là tam giác cân => SM = SC. O A. S. C. ! ! Mặt khác : NAC = NMC ( cùng chắn cung NC ), ! ! ! mà ANM = NMC (= ACM ) ! ! => CAN = ANM hay SAN là tam giác cân => SA = SN. N. Hình.53 146. <span class='text_page_counter'>(147)</span> Tiết 28: GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN - Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung: n. ! xAB họăc !yAB m. - Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. 1 ! ! Sđ xAB = Sđ AnB 2. 500 0 ! Ví dụ: Cho ! AnB có số đo 50 => Sđ xAB = = 250 2. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: a) Góc trong hình nào là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung?. O. O. Hình 55. Hình 56. O. Hình 57. O. O. Hình 58. Hình 59. b) Giải thích tại sao góc trong các hình còn lại không phải góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung? Bài giải: a) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc ở hình 4. b) Các hình còn lại không phải góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. - Hình 1: Đỉnh không nằm trên đường tròn. - Hình 2: Một cạnh không phải tia tiếp tuyến.(Là cát tuyến) - Hình 3: Không có cạnh nào là dây cung. - Hình 5: Hai cạnh của góc chứa hai dây cung. 0 ! Bài 2: Cho hình vẽ 6. Biết cung AmB có số đo 60 .. A. ! Tính xAB = ? Giải:. B. m. x. 600 0 ! Áp dụng công thức ở mục 1 ta có: Sđ xAB = = 30. Hình 60. 2. Bài 3: Cho đường tròn tâm 0, đường kính AB, bán kính 0C vuông góc với AB. Tính số đo góc tạo bởi dây AC và tia tiếp tuyến tại A? GT Cho (0;. A. AB ), OC ⊥ AB, 2. x. tia tiếp tuuyến Ax O. C. 147 B. <span class='text_page_counter'>(148)</span> ! KL Sđ xAC = ?. Giải: 0 0 AOC = 90 => Cung nhỏ ! AC = 90 Vì 0C ⊥ AB => !. Hình.61. 1 900 0 ! ! Theo công thức ở mục 1 ta có Sđ xAC = Sđ AC = = 45 2. 2. Bài 4: Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng có bờ AB ( khác phía với C) kẻ tiếp tuyến Ax qua A. Tính số đo góc xAB? B. GT Cho (O) ngoại tiếp ! ABC, AB = BC = CA, tia tiếp tuyến Ax ! =? KL xAC. x 0 C. A. Hình.62. Giải: Vì tam giác ABC là đều nên ba điểm A,B,C chia đường tròn làm ba phần bằng nhau. !. !. !. => AB = BC = AC =. 360 = 1200 3. 1 1200 ! ! Áp dụng công thức ở mục 1 ta có Sđ xAC = Sđ AC = = 600 2. 2. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Cho đường tròn tâm 0 đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn, Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh: ! ! APO = PBT .. A. Hướng dẫn: Kéo dài P0 cắt (0) tại Q. Nhận xét hai góc 01 và 02 So sánh hai cung nhỏ QA và BP, từ đó so sánh hai góc. Q 1. ! ! APO và PBT. O. 2 P T. B. Hình.63. TIẾT 29: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN CUNG CHỨA GÓC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. D. A F. * Góc đỉnh có ở bên trong đường tròn :. n B. m. O C. 148. <span class='text_page_counter'>(149)</span> 1) Đặc điểm: - Đỉnh ở bên trong đường tròn - Hai cạnh là 2 cát tuyến . 2) Định lí : Số đo của một góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn ! Nối AD ta có DFB là góc ngoài của tam giác ADF ! ! Hình.64 Hình.64 ! +! ! ADC = sd AmC + sd BnD Nên : DFB = DAB 2. ! sd ! AmC + sd BnD ! Vậy DFB = 2. * Chú ý :Góc ở tâm là trường hợp đặc biệt của góc ở đỉnh có ở bên trong đường tròn (chắn 2 cung bằng nhau) * Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn : 1)Đặc điểm : - Đỉnh ở bên ngoài đường tròn - Hai cạnh đều là cát tuyến hoặc 1 cạnh là cát tuyến, 1 cạnh là tiếp tuyến hoặc hai cạnh là tiếp 2) Định lí: Số đo của một góc có đỉnh ở bên ngoài đường D A tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn E O m a) Hai cạnh đều là cát tuyến : n ! C Nối AB Ta có : DAB là góc ngoài của ∆ EAB B. ! = DEB ! + ! DAB ABC. Hình.65. ! − sd ! sd DnB AmC ! ! = DAB - ! ABC = Ta có: DEB. A. D. 2. O. c) Hai cạnh đều là tiếp tuyến : ! Nối AC Ta có : CAx là góc ngoài của ∆ EAC. m. n. b) Một cạnh là cát tuyến ,1 cạnh là tiếp tuyến : ! Nối AC Ta có : DAC Là góc ngoài của ∆ EAC ! ! DAC = DEC + ! ACE ! − sd ! sd DnC AmC ! ! DEC = DAC - ! ACE = 2. E. Hình.66. C. A n O. sd ! AnC − sd ! AmC ! ! AEC = CAx - ! ACE = 2. *Bài toán qũy tích “cung chứa góc” : * Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc ∝ ( 00 < ∝ < AMB = ∝ .Ta 1800). Tìm quỹ tích( tập hợp) các điểm M thỏa mãn ! cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới góc ∝ ) * Kết luận :Với đoạn thẳng AB và góc α (00< α <1800) cho trước thì AMB = α là hai cung chứa góc α dựng quỷ tích các điểm M thoả mãn ! trên đoạn AB. E. m. Hình.67. C. m y. M α. d M/. O. A. B. α x. 149. <span class='text_page_counter'>(150)</span> * Chú ý : - Hai cung chứa góc nói trên là 2 cung tròn đối xứng với nhau qua AB - A,B được coi là ∈ quỷ tích . - α =900: Quỹ tích là cả đường tròn đường kính AB. b, Cách giải bài toán qũy tích Muốn chứng minh quỹ tích(tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần: + Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H + Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T + Kết luận: Quỹ tích(tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H Hình.68 II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho hình vẽ: ! Hãy tính : DAB + ! ADC Giải: ! ADC và DAB là góc nội tiếp của đường tròn (O) Ta có : !. D. 1 ! = 1 sd BnD ! Nên: ! ADC = sd ! AmC và DAB 2. ! Vậy : DAB + ! ADC =. O. n. A m F. B. 2 ! ! sd AmC − sd BnD. Hình.69. 2. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài tập 1: Cho đường tròn ( O ) và hai dây AB, AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi S là giao điểm ! = MCA ! của AM và BC. Chứng minh rằng ASC Hướng dẫn : ! ! ASC là góc có đỉnh ở bên ngoài (O) và MCA là góc nội tiếp (O) ! ! sd ! AB − sdCM sd ! AC − sdCM 1 ! ! ⇒ ASC = = = sd !AM = MCA 2 2 2 ! ! (Do AB=AC suy ra sd AB = sd AC ). C. A. O. M. S B. C. Hình.70. Bài tập 2: Dựng tam giác ABC biết BC = 6 cm ! = 40 0 và đường cao AH = 4 cm A Giải: - Dựng đoạn thẳng BC =6cm - Dựng cung chứa góc 400 trên đoạn thẳng BC - Dựng đt d//BC và cách BC 1 khoảng bằng 4 cm.Đoạn thẳng d cắt cung chứa góc 0 40 tại A - Nối AB,AC ta được ∆ ABC cần dựng . - Biện luận : bài toán có 2 nghiệm hình .. Tiết 30: TỨ GIÁC NỘI TIẾP 150. <span class='text_page_counter'>(151)</span> I. KIẾN THỨC CƠ BẢN a.Khái niệm Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (Gọi tắt là tứ giác nội tiếp) b. Định lí B + Thuận: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ! = B !+ D ! = 1800 ⇒ !A + C A O. + Đảo Tứ giác ABCD có: !A + C ! = 1800 hoặc B !+ D ! = 1800 ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. C. D. Hình.71. * Muốn chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn : § Tứ giác nội tiếp đường tròn có tổng số đo của hai góc đối diện bằng 1800. § Hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc không đổi. § Hai đỉnh đối diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông. § Bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm cố định. § Chứng tỏ tứ giác là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông. Ví dụ 1: Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông là các tứ giác nội tiếp được đường tròn . A A. B B. A. B. O O D. C. D. O C. D. Hình.72 C. Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại N, hai cạnh AB và CD cắt nhau tại M. Các điều kiện sau đây là tương đương. a) Tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn. A b) ! ACB + ! ADC = 1800.. B. c) ! ACB = ! ADB ! ! d) DAB = MCB. N D. M C. Hình.73. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Qua A kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến AMN với đường tròn (O). Lấy điểm I là trung điểm MN. Chứng minh ABIO là tứ giác nội tiếp . Giải 151. <span class='text_page_counter'>(152)</span> *Trường hợp 1: Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về hai nửa mặt phẳng chứa đoạn thẳng OA Ta có: B AB là tiếp tuyến của (O) nên ! ABO = 900 I là trung điểm của dây cung MN nên OI ⊥ MN O 0 ! hay AIO = 90 A M I Do đó : ! ABO + ! AIO = 900 + 900 = 1800 N Hình.7 Hình.74 ⇒ ABIO là tứ giác nội tiếp. 4 *Trường hợp 2: Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về cùng nửa mặt phẳng chứa đoạn thẳng OA C1.Ta có: B I và B cùng thuộc cùng chứa góc 900 dựng trên đoạn N I M OA nên tứ giác ABIO nội tiếp đường tròn // C2. Lấy C là trung điểm của OA A O // C Ta có : CB = CA = CO (∆ABO vuông tại B) (1) Hình.7 Hình.75 4 Ta có : CI = CA = CO (∆AIO vuông tại I) (2) Từ (1) và (2) suy ra: CA=CB = CI = CO vậy A, B, I,O cùng thuộc (I) hay tứ giác ABIO nội tiếp đường tròn Bài tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy 2 điểm C và D ! = DB ! , các tiếp tuyến kẻ từ C và D của đường tròn cắt nhau tại I, kẻ từ A sao cho ! AC = CD và B của đường tròn cắt nhau tại K. a) CM : KIBC là tứ giác nội tiếp. ! = CKB ! ! ! . b) CM : CIB và CBK = CIK a) Ta có 1 ! KCI = 2. K ! AC. (đối đỉnh với góc tạo bởi tia tiếp tuyến. và dây cung chắn. ! AC. ). M. (1). C. 1 ! ! KBI = BD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) 2. (2) ! = KBI ! Từ (1) và (2) suy ra KCI hay C,B cùng thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn KI ⇒ Tứ giác KIBC nội tiếp đường tròn.. I. A. D. O. B. Hình.75. b) Vì tứ giác KIBC nội tiếp đường tròn.Nên ta có: ! ! = CKB ! CIB ( Góc nội tiếp cùng chắn một cung CB ) ! = CIK ! ! ) CBK ( Góc nội tiếp cùng chắn một cung CK. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 152. <span class='text_page_counter'>(153)</span> Bài tập 1: Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi: Khẳng định. Đúng. Sai. ! ! = 1800 a, DAB + BCD b, Bốn đỉnh A, B, C, D cách đều điểm I.. ! ! c, DAB = BCD. ! ! d, ABD = ACD. e, Góc ngoài tại đỉnh B bằng góc A. f, Góc ngoài tại đỉnh B bằng góc D. g, ABCD là hình thang . h, ABCD là hình thang vuông. k, ABCD là hình thoi. Đáp án: a, Đúng. b, Đúng. c, Sai. d, Đúng. e, Sai. f, Đúng. g, Sai. h, Sai. k, Sai.. 153. <span class='text_page_counter'>(154)</span> TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 Bài tập 2 : Cho ∆ ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O . Vẽ hai đường cao AD và BE của tam giác lần lượt cắt đường tròn (O) tại M và N ; Gọi H là giao điểm của AD và BE . Chứng minh a/ Tứ giác HECD nội tiếp trong một đ/tròn . b/ Tứ giác ABDE nội tiếp trong một đường tròn c/ CM = CN Hướng dẫn giải. a/ Tứ giác HECD nội tiếp A N Ta có ! HEC = 900 (BE là đường cao) ! HDC. E. = 900 (AD là đường cao). !. H. !. vậy HEC + HDC =1800 ⇒ tứ giác HECD nội tiếp trong một đường tròn b/ Tứ giác ABDE nội tiếp AEB = 900 (AD là đường cao) Ta có : !. B. D. O C. M. Hình.76. ! ADB = 900 (BE là đường cao) ! AEB ADB Mà !. và cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông nên tứ giác ABDE nội tiếp . c) Chứng minh ∆ MCN cân tại C ⇒ CM = CN .. Tiết 31: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN- DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Độ dài đường tròn. R là bán kính của đường tròn tâm O thì: C = 2 π R. d là đường kính của tròn tâm O thì: C = π d. π : Là một số vô tỉ, giá trị gần đúng của nó là 3,14. Ví dụ 1: Chu vi( độ dài) vành xe đạp có đườmg kính 650 mm là C = 3,14 .650 = 2041(mm) = 2,041(m) 2. Công thức tính độ dài cung tròn. Trên đuờng tròn bán kính R, độ dài l của một cung n0 được tính theo công thức: l=. π Rn 180. Ví dụ 2 0 Độ dài cung tròn 60 của đường tròn có bán kính 2dm là: l=. 3,14.2.60 = 2,1(dm) 180. 3. Công thức tính diện tích hình tròn . - Trang 1 -E mail: <span class='text_page_counter'>(155)</span> TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 S = π.R2 R là bán kính của đường tròn tâm O π : Là một số vô tỉ, giá trị gần đúng của nó là 3,14. Ví dụ 3 Tính diện tích của hình tròn có bán kính 2cm Giải S = π.R2 ≈ 3,14. 22 ≈ 12,56 (cm2) hoặc S = π.R2= π.22 = 4π (cm2) A 4. Công thức tính diện tích hình quạt tròn R n0. π R2n lR Sq = hay Sq = 360 2. O. B R là bán kính của đường tròn tâm O π : Là một số vô tỉ, giá trị gần đúng của nó là 3,14. Hình.77 l : là độ dài cung tròn no Ví dụ 4: Tính diện tích hình quạt tròn của đường tròn có bán kính 6cm biết số đo cung là 360. Sq = ?, R = 6cm, n0 = 360, Kết quả :. Công thức Sq =. Sq ≈ 11,3 (cm2). π R2n 360. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xích đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài 40 000km. Hãy tính bán kính của trái đất Bài 2: Tính diện tích của hình tròn tâm O biết chu vi của nó là 144cm. Hướng dẫn C 144 = ! 22,92 cm 2π 2.3,14 Vậy diện tích hình tròn tâm O là S = 3,14. (22,92)2 ≈ 1649,52 (cm2). Từ công thức C = 2 π R. => R =. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Biết C = 12cm tìm bán kính R của đường tròn. Hướng dẫn C = 2πR => R =. C 12 = = 1,91cm 2π 2.3,14. Bài 2: Biết Sq=114cm2 của đường tròn có bán kính 12 cm tìm số đo cung tròn ứng với diện tích hình quạt tròn đã cho. Hướng dẫn S .360 2 π R 2 n S .n 0 = => n0 = q mà S = πR = 3,14. 122 = 452,16 cm2 360 360 S 114.360 Thay số no = ≈ 90,760 3,14.12. Sq =. TIẾT 32: KIỂM TRA . - Trang 2 -E mail: <span class='text_page_counter'>(156)</span> TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 Đề 1: I. Trắc nghiệm khách quan: Khoanh vào chỉ một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng (từ câu 1 đến câu 4) Câu 1: Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là: A. Tam giác nhọn. C. Tam giác tù. B. Tam giác vuông. D. Tam giác cân. Câu 2: Đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) nếu chúng có: A. 1 điểm chung. C. 0 điểm chung. B. 2 điểm chung. D. 3 điểm chung. Câu 3: Cho hình vẽ, biết AD là đường kính của (O) , ! = 500 , số đo của góc x bằng : ACB. A. 450 B . 40. 0. C. 50. 0. C D. 500. D. 300. A. x. O B. Câu 4 : Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nếu thoả mãn điều kiện nào sau đây: ! ! A. DAC = DBC = 600. ! ! B. ABC + BCD = 1800. ! ! C. DAB + BCD = 1800. ! ! = 900 D. DAB = ABC. Câu 5: Điền từ thích hợp vào chỗ chấm (…) để được các khẳng định đúng A. Trong các dây của một đường tròn dây …………..........................…… là đường kính B. Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì .……..........… …… với dây ấy Câu 6: Nối mỗi dòng ở cột A với một dòng ở cột B để được các khẳng định đúng. Cột A. Cột B. Vị trí tương đối của (O;R) và (O’;r) với R ≥ r. Hệ thức giữa d với R và r với d = OO’. 1. (O) và (O’) cắt nhau. a. d > R + r. 2. (O) và (O’) tiếp xúc ngoài. b. d < R – r. 3. (O) và (O’) tiếp xúc trong. c. R – r < d < R + r. . - Trang 3 -E mail: <span class='text_page_counter'>(157)</span> TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 4. (O) và (O’) ở ngoài nhau. d. d = R – r e. d = R + r. II. Tự luận: Câu 7: Vẽ đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng? Câu 8: Cho hình vẽ, biết OA = 5 cm; OH = 3 cm. a) Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với (O)? Vì sao?. O. b) Tính AB =? a B. H. A. Câu 9: Cho hình vẽ, biết tam giác ABC cân tại A và có góc B = 700. A. a) Tính số đo cung BC? b) Tính số đo cung AB?. O 70 0 C. B. HƯỚNG DẪN CHẤM Đề 1: I. Trắc nghiệm khách quan: (4 điểm) Từ câu 1 đến câu 4 mỗi ý đúng 0,5 điểm Câu. 1. 2. 3. 4. Đáp án. B. A. B. C. Câu 5:(1 điểm) A. Dây lớn nhất. B. Vuông góc. Câu 6:(2 điểm) 1. - c. 2. - e. II. Tự luận:(6 điểm) . 3. - d. 4. - a. - Trang 4 -E mail: <span class='text_page_counter'>(158)</span> TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 Câu 7: (2 điểm) + Dựng đường trung trực d1 và d2 của đoạn BC và đoạn AC. A d1. Khi đó O = d1 ∩ d2 là tâm của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C. O d2 B. C. Câu 8: (2 điểm) a) (1điểm) Đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau. Vì khoảng cách d = OH = 3 cm ;. R = OA = 5cm. => d < R. O. b) (1điểm) Xét tam giác vuông AHO có: 2. 2. 2. 2. 2. a. 2. H. A. AH = AO – OH = 5 – 3 = 4 => AH = 4 cm. B. Vậy AB = 2. AH = 2. 4 = 8 cm A. Câu 9: (2 điểm) 0 0 ∆ ABC cân tại A và góc B = 70 ⇒ góc C = 70 ; ⇒ góc A =. 400. O. Do đó: a) (1 điểm) Số đo cung BC là 800 (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn). 70 0 B. C. b) (1 điểm) Số đo cung AB là 1400 (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn) Đề 2 I. Trắc nghiệm: Khoanh vào chỉ một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng (từ câu 1 đến câu 4) Câu 1: Đường tròn là hình: A. Có vô số tâm đối xứng. C. Có một tâm đối xứng. B. Có hai tâm đối xứng. D. Không có tâm đối xứng. Câu 2: Đường tròn là hình: A.có vô số trục đối xứng. C. có một trục đối xứng. B.Có hai trục đối xứng. D. Không có trục đối xứng. Câu 3:Trong các hình vẽ sau hình có góc ở tâm là:. . - Trang 5 -E mail: <span class='text_page_counter'>(159)</span> TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 A T V. 0. 0. C. U. B.. A.. 0. 0. C. D. Câu 4 : Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là: A. Có đỉnh tại tiếp điểm. B. Có một cạnh là tiếp tuyến cạnh kia chứa dây cung. C.Có đỉnh tại tiếp điểm và hai cạnh chứa hai dây cung.. D. Có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tiếp tuyến cạnh kia chứa dây cung.. Câu 5: Nối mỗi dòng ở cột A với một dòng ở cột B để được các khẳng định đúng (trong hình vẽ đã cho).. E B. O. x. C A. Cột A. Cột B. 1. ! ABC được gọi là. a. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. 2. ! AOC được gọi là.. b. Góc nội tiếp. ! 3. BCx được gọi là. c. Góc ở tâm. 4. ! AEC được gọi là. d. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn e. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn. II. Tự luận: Bài 1:(6 điểm) Cho đường tròn (O, 15cm). O C H. . - Trang 6 -E mail: B. A. <span class='text_page_counter'>(160)</span> TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 dây BC = 24cm. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A gọi H là giao điểm của OA và BC. a, Chứng minh rằng HB=HC. b,Tính độ dài OH. c, Tính dộ dài OA.. Đáp án và biểu điểm: I. Trắc nghiệm khách quan: (4 điểm) Từ câu 1 đến câu 4 mỗi ý đúng 0,5 điểm Câu. 1. 2. 3. 4. Đáp án. C. A. A. D. Câu 5 :(2 điểm) 1. - b 2. - c 3. - a 4. - e II. Tự luận (6 điểm) Bài 1 ! a.Tam giác OBC cân tại O có OH là đường phân giác của BOC nên HB= HC (2điểm). 2 2 2 2 b.OH = OB − HB = 15 − 12 = 9cm (2điểm). c.Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam tam giác OBA ta có OB 2 = OH.OA => OH =. OB 2 152 = = 25(cm) (2điểm) OH 9. Đề 3 I. Trắc nghiệm khách quan: Khoanh vào chỉ một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng (từ câu 1 đến câu 4) Câu 1: Cho (O, 6cm), MN là dây cung khi đó khoảng cách từ tâm O đến dây MN có thể là A. 5cm. C. 8cm. B. 6cm. D.7cm. Câu 2: Số điểm chung của hai đường tròn cắt nhau là A. 0. B. 1. C.2. D.3. Câu 3:Góc ở tâm là góc: A. Có đỉnh trùng với tâm đường tròn. B. Có đỉnh nằm trên đường tròn. C.Có đỉnh nằm ngoài đường tròn. D.Được tạo bởi hai dây cung. . - Trang 7 -E mail: <span class='text_page_counter'>(161)</span> TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 Câu 4 : Cho một tứ giác nội tiếp một đường tròn tống số đo hai góc đối bằng: A.90o. B. 1800. C. 3600. D. 1000. Câu 5: Nối mỗi dòng ở cột A với một dòng ở cột B để được các khẳng định đúng Cột A. Cột B. 1. Góc nội tiếp O. O'. 2.Góc ở tâm đường tròn O. 3.Hai đường tròn tiếp xúc nhau O. 4.Hai đường tròn không giao nhau O' O. A x O B II. Tự luận: A Bài 1:Cho hình vẽ . O - Trang 8 -E mail: B. <span class='text_page_counter'>(162)</span> TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932 ! ! a,Biết BAC ? = 400 .Tính BOC 0 ! ! b, BOC = 124 thì góc BAC có số đo bằng bao nhiêu. Bài 2 Cho tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp, biết. A. !A = 500 , B ! = 750 !? a, Tính C !? b, Tính D. B O D C. Đáp án và biểu điểm: I. Trắc nghiệm khách quan: (4 điểm) Từ câu 1 đến câu 4 mỗi ý đúng 0,5 điểm Câu. 1. 2. 3. 4. Đáp án. A. C. A. B. Câu 5 :(2 điểm) 1. - b 2. - c 3. - a 4. - d II. Tự luận (6 điểm) Bài 1(3điểm) ! ! Vì BAC là góc nội tiếp và BOC là góc ở tâm trong 1 đường tròn nên: 0 ! ! = 2 BAC = 80 (1,5 điểm) a. BOC 1! ! b, BAC = BOC = 620 (1,5 điểm) 2. Bài 2( 3 điểm) Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên: ! = 1800 − !A = 1300 (1,5 điểm) a, C ! = 1800 − B ! = 1050 (1,5 điểm) b, D. . - Trang 9 -E mail: <span class='text_page_counter'>(163)</span> TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932. . - Trang 10 E mail: <span class='text_page_counter'>(164)</span> TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 2207027 – 0989824932. . - Trang 11 E mail: <span class='text_page_counter'>(165)</span>

Tài liệu liên quan

  • TÀI LIỆU ÔN TẬP TOÁN 11 - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TÀI LIỆU ÔN TẬP TOÁN 11 - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
    • 44
    • 2
    • 5
  • Tài liệu 16 bộ đề ôn tập toán doc Tài liệu 16 bộ đề ôn tập toán doc
    • 16
    • 293
    • 0
  • Đề cương ôn tập toán lớp 7 học kỳ II ppt Đề cương ôn tập toán lớp 7 học kỳ II ppt
    • 8
    • 4
    • 67
  • ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 6 HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2010-2011 pot ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 6 HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2010-2011 pot
    • 14
    • 2
    • 36
  • Ôn tập toán 10 nâng cao Ôn tập toán 10 nâng cao
    • 4
    • 678
    • 6
  • ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 - CB KÌ II – NĂM 2008 – 2009 pot ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 11 - CB KÌ II – NĂM 2008 – 2009 pot
    • 6
    • 553
    • 0
  • Tài liệu ôn tập toán 12 potx Tài liệu ôn tập toán 12 potx
    • 46
    • 384
    • 0
  • Bài giải đề cương ôn tập toán 12 - học kỳ 1- năm học 2010-2012 potx Bài giải đề cương ôn tập toán 12 - học kỳ 1- năm học 2010-2012 potx
    • 7
    • 750
    • 1
  • Tài liệu ôn tập toán ppsx Tài liệu ôn tập toán ppsx
    • 31
    • 233
    • 0
  • Ôn tập toán - Luyện thi đại học ppsx Ôn tập toán - Luyện thi đại học ppsx
    • 26
    • 303
    • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(2.64 MB - 164 trang) - On tap Toan 9 Tải bản đầy đủ ngay ×

Từ khóa » Số Cặp (xy) Thỏa Mãn 5x^2+7y^2+100=0