Những Câu Chuyện Thú Vị Về Lịch Sử Toán Học (Phần 1)

I. Giới thiệu

Hình học Euclid (còn gọi là hình học Ơ - clit) là một hệ thống toán học được nhà toán học Hy Lạp Euclid ở Alexandria miêu tả trong cuốn sách của ông về hình học: cuốn Cơ sở. Phương pháp của Euclid chứa một số các tiên đề giả thiết mang tính trực giác, và từ đó ông suy luận ra các mệnh đề và định lý dựa trên những tiên đề này.

Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số những tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên cứu của Lobachevsky và phát triển bởi Bolyai, Gauss, Riemann.

II. Nội dung

Các giả thiết của Euclid là như sau:

1.Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng.

2.Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.

3.Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn.

4.Mọi góc vuông đều bằng nhau.

5.Nếu hai đường thẳng tạo thành với một đường thẳng thứ ba hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.

Giả thiết thứ năm của Euclid đã nói ở trên được gọi là định đề hai đường song song. Một dạng tương đương của định đề trên là như sau:

“Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.”

Đây là “định đề hai đường song song” nổi tiếng. Nó thể hiện sự thiên tài của Euclid vì đã nhận ra sự cần thiết của nó.

Định đề vừa nói ở trên có vẻ quá hiển nhiên nên người ta chưa từng nghĩ nó có thể hoặc có lẽ nên thay đổi. Tuy vậy, vào thế kỉ XIX, nhà toán học người Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky đã khởi xướng một hệ thống hình học phi Euclid, mà ở đó hình học có thể không tuân thủ ít nhất một trong năm định đề Euclid đã nêu. Lobachevsky phát biểu rằng:

"Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có thể vẽ hai đường thẳng khác nhau cùng song song với đường thẳng đã cho.”

Các nhà toán học tìm thấy rằng giả thiết lạ lẫm này không những không mang lại sai lầm gì mà một hệ quả logic của giả thiết mới còn đưa họ đến với một bộ môn hình học mới trong đó tổng số đo ba góc của một tam giác nhỏ hơn 180 độ.

Nói cho hợp lí thì chẳng có gì sai khi giả sử người ta có quyền tự do lựa chọn những giả thiết căn bản bất kì miễn là chúng không mâu

thuẫn nhau.

Ba nhà toán học khác nhau, Gauss người Đức, Bolyai người Hungary và Lobachevsky người Nga đã khám phá ra bộ môn hình học phù hợp logic này khá độc lập nhau, và gần như đồng thời, khoảng năm 1826.

Gauss, nhà toán học nổi tiếng nhất thời ấy, không dám mạo hiểm với những quan niệm mới này vì sợ ảnh hưởng đến danh tiếng của ông.

Bolyai thì dũng cảm xông pha, nhưng ông đã không phát triển những khái niệm mới sâu sắc và trọn vẹn như Lobachevsky.

Lobachevsky là người đầu tiên giới thiệu các khái niệm một cách rộng rãi, và còn phát triển chúng sau đó trong một số bài báo. Vì thế, bộ môn hình học mới được gọi là hình học Lobachevsky.

Vậy bộ môn hình học nào đúng?

Mỗi bộ môn hình học đều đúng nhưng chỉ trên những mặt mà nó có nghĩa thôi.

Hình học Euclid áp dụng cho những hình vẽ trên một tờ giấy hoặc trên một mặt phẳng.

Hình học phi Euclid của Lobachevsky đúng cho những hình vẽ trên một mặt gọi là giả cầu.

Theo: Nhóm tác giả HAML - Hanoi Ams Mathematics Lovers

Link bài viết: https://www.facebook.com/toan2haml/posts/1025426134529729