Tìm Cực Trị Của Các Hàm Số Sau. Bài 12 Trang 17 SGK Đại Số Và Giải ...

Tìm cực trị của các hàm số sau. Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao - Bài 2. Cực trị của hàm số

Bài 12. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = x\sqrt {4 - {x^2}} \)              b) \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \)

c) \(y = x - \sin 2x + 2\)      d) \(y = 3 - 2\cos x - \cos 2x\)

a) Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)

\(y’ = \sqrt {4 - {x^2}}  + x.{{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - {x^2} - {x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - 2{x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \)

\(y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - \sqrt 2 \); giá trị cực tiểu \(y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = \sqrt 2 \); giá trị cực đại \(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)

b) TXĐ: \(D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]\)

\(y’ = {{ - x} \over {\sqrt {8 - {x^2}} }};\,y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), giá trị cực đại \(y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

c) Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

Advertisements (Quảng cáo)

\(\,y’ = 1 - 2\cos 2x;y’ = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi  \over 3} \Leftrightarrow x =  \pm {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb {Z}}\)

\(y” = 4\sin 2x\)

* Ta có: \(y”\left( {{\pi  \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - {\pi  \over 3}} \right) =  - 2\sqrt 3  < 0\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x =  - {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại

\(y\left( { - {\pi  \over 6} + k\pi } \right) =  - {\pi  \over 6} + k\pi  + {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)

 \(y”\left( {{\pi  \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {{\pi  \over 3}} \right) = 2\sqrt 3  > 0\).

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = {\pi  \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực tiểu:

\(y\left( {{\pi  \over 6} + k\pi } \right) = {\pi  \over 6} + k\pi  - {{\sqrt 3 } \over 2} + 2\)

d) Áp dụng quy tắc 2.

\(\,y’ = 2\sin x + 2\sin 2x = 2\sin x\left( {1 + 2\cos x} \right);\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin x = 0 \hfill \cr \cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi ,k \in {\mathbb{Z}} \hfill \cr} \right.\)

\(y” = 2\cos x + 4\cos 2x.\) \(y”\left( {k\pi } \right) = 2\cos k\pi  + 4\cos 2k\pi  = 2\cos k\pi  + 4 > 0\) với mọi \(k \in {\mathbb{Z}}\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm \(x = k\pi \), giá trị cực tiểu:

\(y\left( {k\pi } \right) = 3 - 2\cos k\pi  - \cos 2k\pi  = 2 - 2\cos k\pi \)

 \(y”\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 2\cos {{2\pi } \over 3} + 4\cos {{4\pi } \over 3} = 6\cos {{2\pi } \over 3} =  - 3 < 0.\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm \(x =  \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in {\mathbb{Z}}\); giá trị cực đại:

\(y\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right) = 3 - 2\cos {{2\pi } \over 3} - \cos {{4\pi } \over 3} = {9 \over 2}\).