Tim điều Kiện M để Giá Trị Của Biểu Thức Nghiệm đạt Giá Trị Lớn Nhất ...

Ở bài viết này, Hay-Hoc-Hoi.Vn sẽ giới thiệu một dạng toán kết hợp giữa Hệ thức nghiệm Vi-ét và Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất, đó là: Tìm giá trị m để biểu thức nghiệm đạt giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN).

I. Một số ví dụ tìm m để biểu thức đạt GTLN, GTNN

Để giải bài toán tìm giá trị của m m để biểu thức nghiệm đạt giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất ta vận dụng tính chất sau về bất đẳng thức:

• Trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

 (trong đó X, Y là các biểu thức không âm; a, b là hằng số) (*)

- Thì ta thấy:

 T≥a (vì X≥0) ⇒ minT = a ⇔ X = 0.

 T≤b (vì Y≥0) ⇒ maxT = b ⇔ Y = 0.

* Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + (2m - 1)x - m = 0

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức T = x12 + x22 - 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

* Lời giải:

- Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = -b/a = -(2m - 1) và x1.x2 = c/a = -m

- Theo bài ra, ta có:

 T = x12 + x22 - 6x1x2 

 = x12 + 2x1x2 + x22 - 8x1x2

 = (x1 + x2)2 - 8x1x2 

 = (2m - 1)2 + 8m

 = 4m2 - 4m + 1 + 8m

 = 4m2 + 4m + 1

 = (2m + 1)2≥0

Suy ra: minT = 0 ⇔ 2m + 1 = 0 ⇔ m = -1/2.

* Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - mx + m - 1 = 0

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

 

> Lời giải:

- Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = m và x1x2 = m - 1.

 

+ Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như hướng dẫn ở đầu bài viết. Ta biến đổi T như sau:

Vậy maxT = 1 ⇔ m - 1 = 0 ⇔ m = 1.

Với cách thêm bớt khác ta có:

 

Vậy minT = -1/2 ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = -2.

+ Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và T là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số T để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

 (**)

Ta có: 

Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì Δ≥0, hay:

 

 

   

Vậy maxT = 1 ⇔ m = 1; minT = -1/2 ⇔ m = -2.

II. Bài tập vận dụng

* Bài tập 1: Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) .Tìm m để biểu thức A = (x1 - x2)2 có giá trị nhỏ nhất.

* Bài tập 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0. Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 ≥ 10.

* Bài tập 3: Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 - 8 = 0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

a) A = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất

b) B = x12 + x22 - x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất