Tìm Giá Trị Lớn Nhất Hoặc Giá Trị Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Nghiệm

Trang chủ » Tìm M để Max đạt Giá Trị Nhỏ Nhất » Tìm Giá Trị Lớn Nhất Hoặc Giá Trị Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Nghiệm

Có thể bạn quan tâm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10 Tải về Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi. Mua ngay Từ 79.000đ Tìm hiểu thêm

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm min, max của biểu thức nghiệm

  • I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
  • II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
  • III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một dạng toán thường gặp trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 9 cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức phần này, VnDoc gửi tới các bạn chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. Tài liệu cung cấp lý thuyết kèm bài tập liên quan. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

* Cách làm bài toán như sau:

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m

+ Một số bất đẳng thức thường dùng:

- Với mọi A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A \ge 0\(A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A \ge 0\)

- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: a + b \ge 2\sqrt {ab}\(a + b \ge 2\sqrt {ab}\)

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình bậc hai x2 + 2 (m+1) x + m2 - m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}\)

Lời giải:

Ta có:

∆' = b'2 - ac = (m + 1)2 - (m2 - m + 1) = m2 - 2m + 1 - m2 + m - 1 = -m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0

Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1\end{array} \right.\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1\end{array} \right.\)

Có A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}\)

A = [-2 (m + 1)]2 - (m2 - m + 1)

A = 4 (m + 1)2 - m2 + m - 1

A = 4m2 + 8m + 4 - m2 + m - 1

A = 3m2 + 9m + 3

A = (m2 + 3m + 1)

Có {m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1 = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}\({m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1 = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}\)

{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m < 0 \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge \frac{{ - 5}}{4}\forall m < 0\({\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m < 0 \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge \frac{{ - 5}}{4}\forall m < 0\)

\Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} \right] \ge \frac{{ - 15}}{4}\forall m < 0\(\Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} \right] \ge \frac{{ - 15}}{4}\forall m < 0\)

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow m + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\left( {tm} \right)\(\Leftrightarrow m + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\left( {tm} \right)\)

Vậy min A = \frac{{ - 15}}{4} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\(A = \frac{{ - 15}}{4} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\)

Bài 2: Cho phương trình {x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0\({x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0\) (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}\(B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất

Lời giải:

Ta có \Delta \(\Delta ' = {b^{'2}} - ac = {\left( {m + 4} \right)^2} - \left( {{m^2} - 8} \right) = {m^2} + 8m + 16 - {m^2} + 8 = 8m + 24\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow 8m + 24 > 0 \Leftrightarrow m > - 3\(\Leftrightarrow 8m + 24 > 0 \Leftrightarrow m > - 3\)

Vậy với m > - 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 8\end{array} \right.\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 8\end{array} \right.\)

Có  B = x1 + x2 - 3x1x2 = 2 (m + 4) - 3 (m2 - 8)

= - 3{m^2} + 2m + 32 = - 3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}.m + \frac{1}{9}} \right) + \frac{{97}}{3} = - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3}\(= - 3{m^2} + 2m + 32 = - 3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}.m + \frac{1}{9}} \right) + \frac{{97}}{3} = - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3}\)

{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\forall m > - 3 \Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0\forall m > - 3\({\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\forall m > - 3 \Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0\forall m > - 3\)

\Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3} \le \frac{{97}}{3}\forall m > - 3\(\Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3} \le \frac{{97}}{3}\forall m > - 3\)

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow m + \frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}\(\Leftrightarrow m + \frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}\)

Vậy maxB = \frac{{97}}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{3}\(B = \frac{{97}}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{3}\)

Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2 (m + 1)x + m - 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |x1 - x2|

Có ∆' = (m + 1)2 - (m - 4) = m2 + 2m + 1 + m + 4 = m2 + 3m + 5

= \left( {{m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4}} \right) + \frac{{11}}{4} = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0\forall m\(= \left( {{m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4}} \right) + \frac{{11}}{4} = {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0\forall m\)

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 4\end{array} \right.\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 4\end{array} \right.\)

Có M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow {M^2} = {\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}\(M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow {M^2} = {\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}\)

M2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = [2(m + 1)]2 - 4 (m - 4)

= 4(m2 + 2m + 1) - 4m + 16

= 4m2 + 8m + 4 - 4m + 16

= 4m2 + 4m + 20 = 4 (m2 + m + 5)

Có {m^2} + m + 5 = \left( {{m^2} + 2.\frac{1}{2}.m + \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4} + 5 = {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4}\({m^2} + m + 5 = \left( {{m^2} + 2.\frac{1}{2}.m + \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4} + 5 = {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4}\)

\begin{array}{l} {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} \ge \frac{{19}}{4}\forall m\\ \Leftrightarrow 4\left[ {{{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{19}}{4}} \right] \ge 19\forall m \end{array}\(\begin{array}{l} {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m \Leftrightarrow {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} \ge \frac{{19}}{4}\forall m\\ \Leftrightarrow 4\left[ {{{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{19}}{4}} \right] \ge 19\forall m \end{array}\)

M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow M \ge \sqrt {19}\(M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow M \ge \sqrt {19}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}\(m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy minM = \sqrt {19} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}\(M = \sqrt {19} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}\)

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình x2 - 2(m + 4)x + m2 - 8 = 0 (m tham số)

a, Tìm m để biểu thức A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức C = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\(C = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho phương trình x2 + mx - m - 2 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 - 4{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Cho phương trình x2 - 2 (m + 2)x + 6m + 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để biểu thức A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2\(A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2\) có giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho phương trình x2 - 2 (m + 4)x + m2 - 8 = 0 (x là ẩn, m là tham số)

a, Tìm m để biểu thức A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất

b, Tìm m để biểu thức B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}\(B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất

Bài 5: Cho phương trình x2 - mx + m - 1 (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\(B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}\)

Bài 6: Goi x1, x2 là nghiệm của phương trình 2x2 - 2mx + m2 - 2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |2x1x2 + x1 + x2 - 4|

Bài 7: Cho phương trình bậc hai x2 - (2m + 1)x + m - 3 = 0. Tìm giá trị của m để biểu thức B = {x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\(B = {x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\) đạt giá trị lớn nhất

-----------------

Ngoài tài liệu Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các tài liệu học tập lớp 9 và các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Tham khảo thêm

  • Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án

  • Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

  • Viết đoạn văn nghị luận về hiện tượng học tủ, học vẹt

  • Bài tập về đường thẳng và parabol Toán 9

  • Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

  • Viết về Sở thích bằng tiếng Anh lớp 6

  • Trình bày suy nghĩ của em về trách nhiệm của thế hệ trẻ hôm nay đối với đất nước

  • Bộ đề thi học kì 2 môn Lịch sử lớp 9 có đáp án

  • Tìm m để phương trình vô nghiệm

  • Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Từ khóa » Tìm M để Max đạt Giá Trị Nhỏ Nhất