Tìm Hệ Thức Liên Hệ Giữa X1 X2 Không Phụ Thuộc Vào M

• • 
    • 

      Mầm non

    • 

      Lớp 1

    • 

      Lớp 2

    • 

      Lớp 3

    • 

      Lớp 4

    • 

      Lớp 5

    • 

      Lớp 6

    • 

      Lớp 7

    • 

      Lớp 8

    • 

      Lớp 9

    • 

      Lớp 10

    • 

      Lớp 11

    • 

      Lớp 12

    • 

      Thi vào lớp 6

    • 

      Thi vào lớp 10

    • 

      Thi Tốt Nghiệp THPT

    • 

      Đánh Giá Năng Lực

    • 

      Khóa Học Trực Tuyến

    • 

      Hỏi bài

    • 

      Trắc nghiệm Online

    • 

      Tiếng Anh

    • 

      Thư viện Học liệu

    • 

      Bài tập Cuối tuần

    • 

      Bài tập Hàng ngày

    • 

      Thư viện Đề thi

    • 

      Giáo án - Bài giảng

    • 

      Tất cả danh mục

  • Mầm non
  • Lớp 1
  • Lớp 2
  • Lớp 3
  • Lớp 4
  • Lớp 5
  • Lớp 6
  • Lớp 7
  • Lớp 8
  • Lớp 9
  • Lớp 10
  • Lớp 11
  • Lớp 12
  • Thi Chuyển Cấp

Gói Thành viên của bạn sắp hết hạn. Vui lòng gia hạn ngay để việc sử dụng không bị gián đoạn Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Chọn lớp Lớp 1 Lớp 2 Lớp 3 Lớp 4 Lớp 5 Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Lưu và trải nghiệm Đóng Điểm danh hàng ngày

• Hôm nay +3
• Ngày 2 +3
• Ngày 3 +3
• Ngày 4 +3
• Ngày 5 +3
• Ngày 6 +3
• Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169 VnDoc.com Lớp 9 Toán 9 Chuyên đề Toán 9 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 9 Môn: Toán Dạng tài liệu: Chuyên đề Loại: Tài liệu Lẻ Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm hệ thức giữa hai nghệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m

• I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
  • 1. Hệ thức Viète
  • 2. Cách tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
• II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
• III. Bài tập tự luyện về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Tài liệu gồm kiến thức cần nhớ và các bài tập vận dụng, sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9, đồng thời chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 môn Toán. Mời các bạn tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m

1. Hệ thức Viète

+ Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bc + c = 0 (a ≠ 0) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

2. Cách tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Để làm được bài toán này, ta lần lượt theo các bước sau:

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2

+ Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi ét \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\) và \({x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\) rồi rút m từ các hệ thức đó

+ Bước 3: Đồng nhất các vế ta sẽ tìm được hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

II. Bài tập ví dụ về bài toán Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m

Câu 1: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn

Ta có: 

\(\begin{matrix} \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2m \hfill \\ = {m^2} + 2m + 1 - 2m = {m^2} + 1 > 0;\left( {\forall m \in \mathbb{R}} \right) \hfill \\ \end{matrix}\)

Vì ∆ꞌ > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(= 4{m^2} - 12m + 9\)

\(\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 1} \right) \hfill \\ {x_1}.{x_2} = 2m \hfill \\ \end{gathered} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = - 2m - 2{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ {x_1}.{x_2} = 2m{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Lấy (1) + (2): (x1 + x2) + x1x2 = -2 không phụ thuộc vào m.

Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m là: (x1 + x2) + x1x2 = -2

Câu 2: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn

Ta có:

\(\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 1} \right)\)

\(= 4{m^2} - 4m + 1 - 8m + 8\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - 2m{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 2{x_1}.{x_2} = m - 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

\(= {\left( {2m - 3} \right)^2} \geqslant 0\)

Vì ∆ ≥ 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2} \hfill \\ {x_1}.{x_2} = \frac{{m - 1}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - 2m \hfill \\ 2{x_1}.{x_2} = m - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 - 2m{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 2{x_1}.{x_2} = m - 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Lấy (1) + (2): 2(x1 + x2) +4x1x2 = -1 không phụ thuộc vào m.

Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m: 2(x1 + x2) +4x1x2 = -1.

Câu 3. Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0  với m là tham số

a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2.

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn:

+ Điều kiện để phương trình trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1; x2 là: ∆' > 0 

Lời giải chi tiết

a, x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 

∆' = b'2 - ac = (m - 1)2 - (m - 3) = m2 - 3m + 4 \(= {\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\) với mọi m

Vậy với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

b, Với mọi m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m - 1} \right)\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 3\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Xét (1) ta có: \(m - 1 = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + 1\) (3)

Xét (2) ta có:  m = x1x2 + 3 (4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta được hệ thức giữa hai nghiệm x1; x2 không phụ thuộc vào m: 

\(\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} + 1\)= x1x2 + 3 ⇔ x1 + x2 + 1 = 2x1x2 + 6 ⇔ x1 + x2 - 2x1x2 - 5 = 0

Câu 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình:

\(m{x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m - 4 = 0\) không phụ thuộc vào tham số m.

Hướng dẫn giải

Với \(m = 0\) thì: \(0{x^2} - \left( {2.0 + 3} \right)x + 0 - 4 = 0\)

\(\Rightarrow - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{4}{3}\)

Với \(m \ne 0\) thì \(\Delta = \,{\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m\left( {m - 4} \right)\)

\(= 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} + 16m = 28m + 9\)

Để phương trình có nghiệm thì: \(28m + 9 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{9}{{28}}\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2}\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{m}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{2m + 3}}{m}} \right)\\{x_1}.{x_2} = 1 - \frac{4}{m}\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4\left( {2 + \frac{3}{m}} \right){\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ 3{x_1}.{x_2} = 3\left( {1 - \frac{4}{m}} \right){\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)

Cộng (1) với (2) ta được

\(4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2} = 3.\left( {1 - \dfrac{4}{m}} \right)\, + 4\left( {2 + \dfrac{3}{m}} \right)\)

\(\Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2}\)\(= 3 - \dfrac{{12}}{m} + 8 + \dfrac{{12}}{m} = 11\)

Vậy hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m là \(4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3.{x_1}.{x_2}\).

Câu 5. Cho phương trình bậc hai \(x^{2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0\) với m là tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho. luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và biểu thức \(M = x_{1}\left( 1 - x_{2} \right) + x_{2}\left( 1 - x_{1} \right)\) không phụ thuộc vào m?

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\Delta' = m^{2} + m + 5 > 0\forall m\)

Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m + 2 \\ x_{1}.x_{2} = m - 4 \\ \end{matrix} \right.\)

Ta có:

\(M = x_{1}\left( 1 - x_{2} \right) + x_{2}\left( 1 - x_{1} \right)\)

\(M = x_{1} - x_{1}x_{2} + x_{2} - x_{2}x_{1}\)

\(M = \left( x_{1} + x_{2} \right) - 2x_{1}x_{2}\)

\(M = 2m + 2 - 2(m - 4) = 10\) (điều phải chứng minh).

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào tham số m.

Câu 6. Cho phương trình bậc hai một ẩn \((m - 2)x^{2} - (2m + 5)x + m + 7 = 0\) với m là tham số.

a) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số m?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(a + b + c = (m - 2) + ( - 2m - 5) + m + 7 = 0\)

Suy ra phương trình luôn có nghiệm \(x_{1} = 1\) không phụ thuộc vào tham số m.

Vậy phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

b) Với m = 2 phương trình có một nghiệm x = 1.

Với m≠2  phương trình có hai nghiệm x = 1 và \(x=\dfrac{m+7}{m-2}\).

Câu 7: Cho phương trình: \((m - 1)x^{2} - 2mx + m - 4 = 0\) có 2 nghiệm \(x_{1};x_{2}\). Lập hệ thức liên hệ giữa \(x_{1};x_{2}\) sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn giải

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :