Toán 10 Bài 4: Phương Sai Và độ Lệch Chuẩn - Hoc247

Ví dụ 1: Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:

Điểm	7,5	7,8	8,0	8,4	9,0	9,5
Tần số	1	2	3	2	2	1	n = 11
Tần suất (%)	9,09	18,18	27,27	18,18	18,18	9,09	100 (%)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số, tần suất trên

Hướng dẫn:

Điểm trung bình của học sinh là

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\bar x = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + {f_3}{x_3} + {f_4}{x_4} + {f_5}{x_5} + {f_6}{x_6}}\\ { = \frac{{9,09}}{{100}}.7,5 + \frac{{18,18}}{{100}}.7,8 + \frac{{27,27}}{{100}}.8,0 + \frac{{18,18}}{{100}}.8,4 + \frac{{18,18}}{{100}}.9,0 + \frac{{9,09}}{{100}}.9,5}\\ { \approx 8,3} \end{array}\)

Phương sai s2

\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{s^2} = {f_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {f_2}{{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + ... + {f_k}{{\left( {{x_k} - \bar x} \right)}^2}} \end{array}\\ = \frac{{9,09}}{{100}}{\left( {7,5 - 8,3} \right)^2} + \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {7,8 - 8,3} \right)^2} + \frac{{27,27}}{{100}}{\left( {8,0 - 8,3} \right)^2}\\ + \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {8,4 - 8,3} \right)^2} + \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {9,0 - 8,3} \right)^2} + \frac{{9,09}}{{100}}{\left( {9,5 - 8,3} \right)^2}\\ \approx 0,35 \end{array}\)

Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 0,59\)

Ví dụ 2: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau

Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)

Lớp nhiệt độ (0C)	Tần số	Tần suẩt
[12;14) [14;16) [16;18) [18;20) [20;22)	1 3 12 9 5	3,33 10,00 40,00 30,00 16,67
Cộng	30	100 (%)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng trên.

Hướng dẫn:

Số trung bình cộng:

\(\begin{array}{l} \bar x = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + ... + {f_k}{c_k}\\ = \frac{{3,33}}{{100}}.13 + \frac{{10}}{{100}}.15 + \frac{{40}}{{100}}.17 + \frac{{30}}{{100}}.19 + \frac{{16,67}}{{100}}.21\\ \approx 17,93 \end{array}\)

Phương sai s2

\(\begin{array}{l} {s^2} = {f_1}{\left( {{c_1} - \overline x } \right)^2} + {f_2}{\left( {{c_2} - \overline x } \right)^2} + {f_3}{\left( {{c_3} - \overline x } \right)^2} + {f_4}{\left( {{c_4} - \overline x } \right)^2} + {f_5}{\left( {{c_5} - \overline x } \right)^2}\\ = \frac{{3,33}}{{100}}{\left( {13 - 17,93} \right)^2} + \frac{{10}}{{100}}{\left( {15 - 17,93} \right)^2} + \frac{{40}}{{100}}.{\left( {17 - 17,93} \right)^2} + \frac{{30}}{{100}}{\left( {19 - 17,93} \right)^2} + \frac{{16,67}}{{100}}{\left( {21 - 17,93} \right)^2}\\ \approx 8,64 \end{array}\)

Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 2,94\)