Bài 2: Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một ẩn

DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG \(ax + b < 0\)

Ví dụ:

Biện luận nghiệm của bất phương trình theo m:

a) \(mx + 6 \le 2x + 3m\)

b)  \(\left( {x + m} \right)m + x > 3x + 4\)

c) \(\left( {{m^2} + 9} \right)x + 3 \ge m\left( {1 - 6x} \right)\)

Hướng dẫn:

a) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m - 2} \right)x < 3m - 6\)

Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x \le 0\)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x < \frac{{3m - 6}}{{m - 2}} = 3\)

Với \(m < 2\) bât phương trình tương đương với \(x > \frac{{3m - 6}}{{m - 2}} = 3\)

Kết luận

\(m = 2\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\)(có tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\)).

\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x < 3\)(có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;3} \right)\))

\(m < 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x > 3\)(có tập nghiệm là \(S = \left( {3; + \infty } \right)\))

b) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m - 2} \right)x > 4 - {m^2}\)

Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x > 0\)suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x > \frac{{4 - {m^2}}}{{m - 2}} =  - m - 2\)

Với \(m < 2\) bât phương trình tương đương với \(x < \frac{{4 - {m^2}}}{{m - 2}} =  - m - 2\)

Kết luận

\(m = 2\) bất phương trình vô nghiệm

\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x >  - m - 2\)

\(m < 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x 4x + 5\\5x - 4 < x + 2\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 2x - 3\\3x < x + 5\\\frac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Hệ bất phương trình tương đương với

\(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2 > 4x + 5\\5x - 4 < x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 7\\x < \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.

b) Hệ bất phương trình tương đương với

\(\left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{{22}}{7}\\x < \frac{7}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x < \frac{7}{4}\)

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là \(x < \frac{7}{4}\)

d) Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < \frac{5}{2}\\x \ge \frac{{11}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{11}}{5} \le x \le \frac{5}{2}\)

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là  \(\frac{{11}}{5} \le x \le \frac{5}{2}\).

Ví dụ 2:

Tìm \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m\left( {mx - 1} \right) < 2}\\{m\left( {mx - 2} \right) \ge 2m + 1}\end{array}} \right.\) có nghiệm.

Hướng dẫn:

Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x < m + 2}\\{{m^2}x \ge 4m + 1}\end{array}} \right.\)

Với \(m = 0\) ta có hệ bất phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0x < 2}\\{0x \ge 1}\end{array}} \right.\) suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm

Với \(m \ne 0\) ta có hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < \frac{{m + 2}}{{{m^2}}}}\\{x \ge \frac{{4m + 1}}{{{m^2}}}}\end{array}} \right.\)

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{{m + 2}}{{{m^2}}} > \frac{{4m + 1}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}\)

Vậy \(m < \frac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.

DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

Ví dụ:

Cho bất phương trình  \(\sqrt {x - 1} (x - 2m + 2) \ge 0\)

a) Giải bất phương trình khi \(m = 2\)

b) Tìm \(m\) để mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn:

a) Khi \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(\sqrt {x - 1} (x - 2) \ge 0\)

Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1}  = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.\)

Vậy tập nghiệm bất phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ 1 \right\} \cup {\rm{[}}2; + \infty )\).

b) Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1}  = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2m + 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge 2m - 2\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)

+ TH1: \(2m - 2 > 1 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2m - 2}\end{array}} \right.\)

Suy ra tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\} \cup [2m - 2; + \infty )\).

Do đó mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình (*)

\( \Leftrightarrow \left[ {2;3} \right] \subset S \Leftrightarrow 2m - 2 \le 2 \Leftrightarrow m \le 2\)

Suy ra \(\frac{3}{2} < m \le 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH2: \(2m - 2 = 1 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.\)

Suy ra \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH3: \(2m - 2 < 1 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.\)

Suy ra \(m < \frac{3}{2}\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy giá trị cần tìm là \(m \le 2\).