Cho Abc Là Các Số Không âm Thỏa Mãn : Căn A + Căn B + Căn C = Căn ...

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số không âm thỏa mãn :

\(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = \sqrt 3 \) và \(\sqrt {\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right)} + \sqrt {\left( {b + 2a} \right)\left( {b + 2c} \right)} + \sqrt {\left( {c + 2a} \right)\left( {c + 2b} \right)} = 3.\)

Tính giá trị của biểu thức \(M = {\left( {2\sqrt a + 3\sqrt b - 4\sqrt c } \right)^2}.\)

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: \(b + c \ge 2\sqrt {bc} ,\,a + c \ge 2\sqrt {ac} ,\,a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Xét \(\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right) = {a^2} + 2ac + 2ab + 4bc\) \( = {a^2} + 2a\left( {b + c} \right) + 4bc \ge {a^2} + 2a.2\sqrt {bc} + 4bc\)

\( \Leftrightarrow \left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right) \ge {a^2} + 4a\sqrt {bc} + 4bc\) hay \(\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right) \ge {\left( {a + 2\sqrt {bc} } \right)^2}\)

\( \Rightarrow \sqrt {\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right)} \ge a + 2\sqrt {bc} \)

Tương tự ta có: \(\sqrt {\left( {b + 2a} \right)\left( {b + 2c} \right)} \ge b + 2\sqrt {ac} \)

\(\sqrt {\left( {c + 2a} \right)\left( {c + 2b} \right)} \ge c + 2\sqrt {ab} \)

Suy ra \(\sqrt {\left( {a + 2b} \right)\left( {a + 2c} \right)} + \sqrt {\left( {b + 2a} \right)\left( {b + 2c} \right)} + \sqrt {\left( {c + 2a} \right)\left( {c + 2b} \right)} \)\( \ge a + b + c + 2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {ac} + \sqrt {bc} } \right)\)

Hay \(3 \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c } \right)^2} \Leftrightarrow 3 \ge 3\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}.\)

Thay \(a = b = c = \frac{1}{3}\) vào biểu thức \(M\) ta có:

\(M = {\left( {2 \cdot \sqrt {\frac{1}{3}} + 3 \cdot \sqrt {\frac{1}{3}} - 4\sqrt {\frac{1}{3}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {\frac{1}{3}} } \right)^2} = \frac{1}{3}\)

Chọn C.