Cho Tứ Diện ABCD Có Các Mặt ABC Và BCD Là Các Tam Giác đều ...

Có thể bạn quan tâm

KHỞI ĐỘNG CHO MÙA THI ĐẠI HỌC 2026

Ôn đúng trọng tâm – Học chắc từ hôm nay

BẮT ĐẦU NGAY

Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh 2 hai mặt phẳng ( ABD ) và ( ACD ) v

Câu hỏi

Nhận biết

Cho tứ diện \(ABCD\) có các mặt \(ABC\) và \(BCD\) là các tam giác đều cạnh \(2,\) hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) vuông góc với nhau. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD.\)

A. \(2\sqrt 2 \) B. \(\sqrt 2 \) C. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\) D. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án đúng: B

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Các tam giác đều \(ABC\) và \(BCD\) có cạnh 2

\( \Rightarrow BD = DC = BC = AB = AC = 2\)

Nên tam giác \(CAD\) cân tại \(C\) và tam giác \(BAD\) cân tại \(B.\)

Lấy \(H\) là trung điểm \(AD \Rightarrow CH \bot AD\) (do tam giác \(CAD\) cân tại \(C\))

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {CAD} \right) \bot \left( {BAD} \right)\\\left( {CAD} \right) \cap \left( {BAD} \right) = AD\\CH \bot AD,\,CH \subset \left( {CAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {BAD} \right) \Rightarrow CH \bot BH\) (1)

Lại có \(\Delta CAD = \Delta BAD\left( {c - c - c} \right)\) nên \(BH = CH\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác \(CHB\) vuông cân tại \(H\) có cạnh huyền \(CB = 2.\).

Suy ra \(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2} \Leftrightarrow 2B{H^2} = {2^2} \Rightarrow BH = CH = \sqrt 2 .\)

Xét tam giác \(CAH\) vuông tại \(H\) có \(\cos \widehat {ACH} = \dfrac{{CH}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {ACH} = 45^\circ \)

Lại thấy \(CH\) là phân giác của \(\widehat {ACD}\) (vì \(\Delta CAD\) cân tại \(C\)) nên \(\widehat {ACH} = \widehat {HCD} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {ACD} = 90^\circ \)

Hay tam giác \(CAD\) vuông cân tại \(C \Rightarrow CH = \dfrac{1}{2}AD = HA = HD\) (3)

Vì \(\Delta CAD = \Delta BAD\left( {c - c - c} \right)\) nên \(\Delta ABD\) vuông cân tại \(B \Rightarrow BH = \dfrac{{AD}}{2} = HD = HA\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(HA = HB = HC = HD = \sqrt 2 \) hay \(H\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) và bán kính mặt cầu là \(\sqrt 2 \).

Chọn B.

Ý kiến của bạn Hủy

Luyện tập

Phòng tự luyện, thi thử
Khóa học, tài liệu
Cách tự học

Câu hỏi liên quan

Giải phương trình (1 – i)z + (2 – i) = 4 – 5i trên tập số phức.
Chi tiết
Giải phương trình 72x + 1 – 8.7x + 1 = 0.
Chi tiết
câu 7

Chi tiết
Giải phương trình : z3 + i = 0
Chi tiết
Giải phương trình 31 – x – 3x + 2 = 0.
Chi tiết
Giải phương trình: (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0
Chi tiết
Câu 2: Đề thi thử THPT Hà Trung - Thanh Hóa

Chi tiết
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d: = = và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
Chi tiết
câu 2

Chi tiết
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho z1 = là số thực và z2 = là số ảo.
Chi tiết