Chuyên đề 6. CUNG VA GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC ... - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.doc) (71 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Toán học

Chuyên đề 6. CUNG VA GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (788.93 KB, 71 trang )

Chương 66LƯỢNG GIÁCCHUYÊN ĐỀ 1CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁCA. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròna) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian1 rađian còn viết tắt là 1 rad.Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung vàgóc.b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:0Cung tròn bán kính R có số đo a ( 0 � a � 2p ) , có số đo a ( 0 �a � 360) và có độ dài là l thì:l = Ra =paaa.R do đó =180p 1800�180�p�Đặc biệt: 1rad = �, 10 =rad .��180�p �2. Góc và cung lượng giác.a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiềuchuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiềuquay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou,Ov lần lượt cắt đườngtròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển độngtheo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũngchuyển động theo một chiều trên đường tròn. Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tiaOv thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầulà Ou , tia cuối là Ov . Kí hiệu ( Ou,Ov )Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểmV thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểmđầu U , điểm cuối V . Kí hiệu là�UVTia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quayhai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm một phần tư vòngp25ta nói nó quay góc - 900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy(vòng) thì nói272550pnó quay góc )….3600 (hay 77Ta coi số đo của góc lượng giác ( Ou,Ov ) là số đo của cung lượng giácc) Hệ thức Sa-lơ. Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có:�UVSđ ( Ou,Ov ) + Sđ ( Ov,Ow) = Sđ ( Ou,Ow) + k2p ( k �Z )Sđ ( Ou,Ov ) - Sđ ( Ou,Ow) = Sđ ( Ow,Ov ) + k2p ( k �Z )Trang1/13Với ba điểm tùy ý U ,V ,W trên đường tròn định hướng ta có :��SđSđSđUV + VW = UW + k2p ( k �Z )�SđSđSđUV UW = WV + k2p ( k �Z )Câu 1: Góc có số đo 108o đổi ra radian là3A. .B. .5103.2Lời giảiC.Chọn A.Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad  Cách 2:3tương ứng 108o .5tương ứng 18o .103tương ứng 270o .2. tương ứng 45o .4Câu 2: Biết một số đo của góc Ox, Oy  Ox, Oy  D..4n..1803 2001 . Giá trị tổng quát của góc2là3 k .2C.  Ox, Oy    k .2B.  Ox, Oy     k 2 .A.  Ox, Oy  D.  Ox, Oy   k 2 .2Lời giảiChọn A.Câu 3: Góc có số đoA. 240o .2đổi sang độ là5B. 135o .C. 72o .Lời giảiChọn C.Áp dụng công thức đổi rad sang độ n Câu 4: Góc có số đoA. 15o .đổi sang độ là9B. 18o . .180.C. 20o .Lời giảiChọn C.Áp dụng công thức đổi rad sang độ n D. 270o .D. 25o . .180. 180o. 20o.9 oooCâu 5: Cho  Ox, Oy   22 30 ' k 360 . Với k bằng bao nhiêu thì  Ox, Oy   1822 30 ' ?A. k ��.B. k  3.C. k  5.D. k  5.nTrang2/13Lời giảiChọn D. Ox, Oy   1822o30 '  22o30' 5.360o � k  5 .Câu 6: Góc có số đođổi sang độ là24A. 7o .B. 7 o30 ' .C. 8o .Lời giảiCâu 7: Chọn B. .180áp dụng công thức đổi rad sang độ n . 180on . 7,5o  7 o30 '.24 Câu 8: Góc có số đo 120o đổi sang rađian là góc3A. .B. .C. .1024Lời giảiChọn D.120o. 2120o .180o3D. 8o30 ' .D.2.3Câu 9: Số đo góc 22o30�đổi sang rađian là:7.A. .B.C. .D. .81265Lời giảiChọn A.22o30�. 22o30� .o1808Câu 10:Đổi số đo góc 105o sang rađian bằng5795.A. .B.C.D. .1212128Lời giảiChọn B.105o. 7o.105 180o12Câu 11:Giá trị k để cung    k 2 thỏa mãn 10    11 là2A. k  4.B. k  6.C. k  7.D. k  5.Lời giảiChọn D.1921192110    11 � 10   k .2  11 � k 2 �k� k 5.22244Câu 12:Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục  l  đi qua O . Xác định sốđo của các góc giữa tia OA với trục  l  , biết trục  l  đi qua đỉnh A của hìnhvuông.A. 180o  k 360o .B. 90o  k 360o .C. 90o  k 360o .Lời giảiD. k 360o .Chọn D.Vì trục  l  đi qua đỉnh A và tâm O của hình vuông nên trục  l  �OA nên số đoTrang3/13của các góc giữa tia OA với trục  l  bằng 0o  k 360o  k 360o .10Câu 13:Một đường tròn có bán kính R  cm . Tìm độ dài của cungtrên đường2tròn.202A. 10 cm .B. 5cm .C. 2 cm .D.cm .20Lời giảiChọn B.rad  90o trên đường tròn được tính bằng công thức:Độ dài của cung2 . ao10.R .90.  5cm .180180Câu 14:Một đường tròn có bán kính R  10 cm . Độ dài cung 40o trên đường tròngần bằng:A. 7 cm .B. 9 cm .C. 11cm .D. 13cm .Lời giảiChọn A .Độ dài của cung 40o trên đường tròn được tính bằng công thức: . ao.R .40.10 �7 cm .180180Câu 15:Góc 18o có số đo bằng rađian làA..B..C..D.  .1810360Lời giảiChọn B.rad � 18o  18.rad  rad .Ta có: 1o 18018010Câu 16:Góccó số đo bằng độ là:18A. 18o .B. 36o .C. 10o .D. 12o .Lời giảiChọn C.oo180 � �� 180 �oTa có: 1rad  � �� rad  � .� 10 .18  �� � 18�Câu 17:Một đường tròn có bán kính 20 cm . Tìm độ dài của cung trên đường trònđó có số đoA. 4,19 cm .(tính gần đúng đến hàng phần trăm).15B. 4,18cm .C. 95, 49 cm .Lời giảiChọn B.Độ dài của cungD. 95,50 cm .rad  12o trên đường tròn được tính bằng công thức:15 . ao.R .12.20 �4,18cm .180180Câu 18:Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:A. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm.B. Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá 2 .Trang4/13C. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn [0; 2 ] .D. Số đo của một cung lượng giác là một số thực.Lời giảiChọn C.Câu 19:Chọn điểm A  1;0  làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường trònlượng giác. Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo25.4A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I .B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II .C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III .D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ IV .Lời giảiChọn A.�25   6 , suy ra điểm M là điểm chính giữaTheo giả thiết ta có: AM 44của cung phần tư thứ I .Câu 20:Một đường tròn có bán kính 15 cm . Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâmbằng 300 là :552A..B..C..D. .2353Lời giảiChọn B.a.R nênTheo công thức tính độ dài cung tròn ta có l  R 180a 305.R .15 Ta có l .1801803Câu 21:Cho đường tròn có bán kính 6 cm . Tìm số đo ( rad ) của cung có độ dài là3 cm :A. 0,5 .B. 3 .C. 2 .D. 1 .Lời giảiChọn A.a.R nênTheo công thức tính độ dài cung tròn ta có l  R 180l 3Ta có     0,5 .R 63Câu 22:Góc có số đo được đổi sang số đo độ là :16A. 33o 45' .B. 29o30 ' .C. 33o 45' .D. 32o55' .Lời giảiChọn C.Lời giảiooo180 �3 �3 180 � �135 ��ooVì 1rad  � � nên� .� �� 33.75  33 45'.16 �16  � � 4 �� �Câu 23:Số đo radian của góc 30o là :A. .B. .C. .D..64316Lời giảiChọn A.Trang5/13rad nên 30o  30. .180180 6Câu 24:Số đo độ của góclà :4A. 60o .B. 90o .C. 30o .Lời giảiChọn D.Vì 1o D. 45o .Theo công thức đổi đơn vị độ sang radial ta có số đo độ của gócSố đo radian của góc 270o là :3A.  .B..2là 45o .4Câu 25:3.4Lời giảiD. C.Chọn B.Theo công thức đổi đơn vị số đo radian của góc 2700 là5.273.2Góc 63o 48' bằng (với   3,1416 )3A. 1,114 rad .B. .C. 2 .D. 1,113rad .3Lời giảiChọn A.Theo công thức đổi đơn vị, ta có số đo cung đã cho có số đo bằng63�48�. ; 1.114 radial, với  ; 3,1416 .180�Câu 27:Cung tròn bán kính bằng 8, 43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là:21A.  cm .B. 32, 45 cm .C. cm .D. 32,5 cm .212Lời giảiChọn D.Theo công thức tính độ dài cung ta có độ dài cung có số đo 3,85 rad làl  R.  8, 43.3,85  32, 4555 cm . Làm tròn kết quả thu được ta có đáp án là D.Câu 28:Xét góc lượng giác  OA; OM    , trong đó M là điểm không làm trên cáctrục tọa độ Ox và Oy . Khi đó M thuộc góc phần tư nào để sin  và coscùng dấuA. I và  II  .B. I và  III  .C. I và  IV  .D.  II  và  III  .Lời giảiChọn B.Dựa theo định nghĩa các giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác.Câu 29:Cho  là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây đúng?A. sin   0 .B. cos   0 .C. tan   0 .D. cot   0 .Câu 26:Lời giảiChọn C.Vì  là góc tù, nên sin   0 , cos   0 � tan   0Câu 30:Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):   5,  ,632519,. Các cung nào có điểm cuối trùng nhau:36Trang6/13A.  và  ;  và  . B.  và  ;  và  .C.  ,  ,  . D.  ,,.Lời giảiChọn B.5 725 19 7  2 ;    8 ;   2 .663366�  và ;  và  là các cặp góc lượng giác có điểm cuối trùng nhau.Câu 31:Cho a   k 2  k �� . Để a � 19; 27  thì giá trị của k là3A. k  2 , k  3 .B. k  3 , k  4 .C. k  4 , k  5 .D. k  5 , k  6 .Lời giảiChọn B.Cách 1:91317� 19; 27  ; k  3 � a � 19; 27  ; k  4 � a � 19; 27  ;k 2 �a 22221� 19; 27  .k 5 �a2Cách 2:19   k 2  k ��  27 � k =  3; 4 .3Câu 32:Cho góc lượng giác  OA, OB  có số đo bằng . Hỏi trong các số sau, số5nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượnggiác  OA, OB  ?A.6.5B. 11.59.5Lời giảiC.D.31.5Chọn D.6  .*5511   2 .*559 4.*5531   6 .*55Câu 33:Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của  làyBAA’OMA.3 k .4B. 3 k .4xB’3 k 2 .4Lời giảiC.D. 3 k 2 .4Chọn D.Trang7/13Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều dương có số đo là5 k 2 nên loại A,C.43Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều âm có số đo là 4và chỉ có duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác nên loại B.Câu 34:Cho hình vuông ABCD có tâm O và trục  i  đi qua O . Xác định số đogóc giữa tia OA với trục  i  , biết trục  i  đi qua trung điểm I của cạnh AB.A. 45o  k 360o.B. 95o  k 360o.C.135o  k 360o.D. 155o  k 360o.Lời giảiChọn A�AOB  90o và OA  OBTam giác AOB vuông cân tại O i  đi qua trung điểm của AB nên  i   ABuuur�o�  i  là đường phân giác của góc �AOB nên OA,  i   45 .Câu 35:Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi dichuyển 10 răng làA. 30o.B. 40o.C. 50o.D. 60o.Lời giảiChọn C.360oMột bánh xe có 72 răng nên 1 răng tương ứng 5o72Khi di chuyển được 10 răng là 10.5o  50o .Câu 36:Tìm khẳng định sai:A. Với ba tia Ou, Ov, Ow , ta có: sđ  Ou, Ov   sđ  Ov, Ow   sđ  Ou, Ow   2k , k ��.B.Với�ba�điểmU ,V , W trênđườngtrònđịnhhướng:� sđ UV  sđ VW  sđ UW  2k , k ��.C. Với ba tia Ou, Ov, Ox , ta có: sđ  Ou , Ov   sđ  Ox, Ov   sđ  Ox, Ou   2k , k ��.D. Với ba tia Ou, Ov, Ow , ta có: sđ  Ov, Ou   sđ  Ov, Ow   sđ  Ou, Ow   2k , k ��.Lời giảiChọn D.Sử dụng hệ thức Sa-lơ về số đo của góc lượng giác thì ba khẳng định ở câuA, B, C đều đúng.Câu 37:Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo: I .  .4Trang8/137.4 III  . 13 .4 IV  .  5 .4Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?A. Chỉ  I  và  II  .B. Chỉ  I  ,  II  và  III  . II  .C. Chỉ  II  ,  III  và  IV  .D. Chỉ  I  ,  II  và  IV  .Lời giảiChọn A.7 13 55 3  2 ; 2 ;  2 .Ta có: 4444447Suy ra chỉ có hai cungvà có điểm cuối trùng nhau.44Câu 38:Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dàiquãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kínhbánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy   3,1416 ).A. 22054 cm .B. 22063 cm .C. 22054 mm .D. 22044 cm .Lời giảiChọn A.Lời giảia.R nênTheo công thức tính độ dài cung tròn ta có l  R 18060.180 540 vòng, bánh xe lăn được:Trong 3 phút bánh xe quay được20l  6,5.540.2 �6,5.540.2.3,1416  cm  �22054  cm  .Câu 39:Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theochiềungượcvớichiềuquaycủakimđồnghồ,biếtsđoo Ox, OA   30  k 360 , k �Z . Khi đó sđ  OA, AC  bằng:A. 120o  k 360o , k �Z .C. 450  k 3600 , k �Z .B. 45o  k 360o , k �Z.D. 90o  k 360o , k �Z .Lời giảiChọn B.Tia AO quay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻtrùng tia AC nên gócoosđ  OA, AC   45  k 360 , k �Z .Câu 40:Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia Ou, Ov, Ox . Xét các hệ thức sau: I  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ou, Ox   sđ  Ox, Ov   k 2 , k �Z . II  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ox, Ov   sđ  Ox, Ou   k 2 , k �Z . III  . sđ  Ou, Ov   sđ  Ov, Ox   sđ  Ox, Ou   k 2 , k �Z .Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc:A. Chỉ  I  .B. Chỉ  II  .C. Chỉ  III  .Lời giảiChọn A.D. Chỉ  I  và  III  .Trang9/13Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou , Ov, Ox , ta cósđ  Ou, Ov   sđ  Ov, Ox   sđ  Ou, Ox  + k 2  k �� .Câu 41:Góc lượng giác có số đo  ( rad ) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu vàtia cuối với nó có số đo dạng :A.   k180o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).B.   k 360o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).C.   k 2 ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).D.   k ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).Lời giảiChọn C.Nếu một góc lượng giác  Ou, Ov  có số đo  radian thì mọi góc lượng giáccùng tia đầu Ou , tia cuối Ov có số đo   2k , k ��, mỗi góc tương ứng vớimột giá trị của k . Các cung lượng giác tương ứng trên đường tròn địnhhướng tâm O cũng có tính chất như vậy. Tương tự cho đơn vị độ.5 m 2 , m �Z và sđCâu 42:Cho hai góc lượng giác có sđ  Ox, Ou   2 Ox, Ov     n 2 , n �Z . Khẳng định nào sau đây đúng?2A. Ou và Ov trùng nhau.B. Ou và Ov đối nhau.C. Ou và Ov vuông góc.D. Tạo với nhau một góc .4Lời giảiChọn A.5 m2    2  m2     m  1 2 m �Z .222Vậy n  m  1 do đó Ou và Ov trùng nhau.63Câu 43:Nếu góc lượng giác có sđ  Ox, Oz   thì hai tia Ox và Oz2A. Trùng nhau.B. Vuông góc.3C. Tạo với nhau một góc bằng.D. Đối nhau.4Lời giảiChọn B.63  64    32 nên hai tia Ox và Oz vuông góc.Ta có sđ  Ox, Oz   2222ooCâu 44:Cho hai góc lượng giác có sđ  Ox, Ou   45  m360 , m �Z và sđTa có:sđ  Ox, Ou    Ox, Ov   135o  n360o , n �Z . Ta có hai tiaA. Tạo với nhau góc 45 .C. Đối nhau.oOu và OvB. Trùng nhau.D. Vuông góc.Lời giảiChọn C. Ox, Ov   135o  n360o  225o  n360o  45o  180o  n360o  n �Z .Vậy, Ta có hai tia Ou và Ov đối nhauCâu 45:Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đến 3 giờ thì kim giây đồng hồ sẽ quayđược số vòng bằng:A. 12960.B. 32400.C. 324000.D. 64800.Lời giảiTrang10/13Chọn B.Từ 0 đến 3 giờ kim giờ quay 9 vòng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ)Kim phút quay 9.60  540 vòngKim giây 540.60  32400 vòngCâu 46:Góc có số đo 120o được đổi sang số đo rad là :32A. 120 .B..C.  .D..23Lời giảiChọn D.120 2180o   � 120o .1803137 thì góc  Ou , Ov  có số đo dươngCâu 47:Biết góc lượng giác  có số đo là 5nhỏ nhất là:A. 0, 6 .B. 27, 4 .C. 1, 4 .D. 0, 4 .Lời giảiChọn A.137  27, 4 . Vậy góc dương nhỏ nhất là 28  27, 4  0, 6 .Ta có 5Câu 48:Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B�A.    k 2 .B.     k 2 .22ooC. a  90  k 360 .D. a  –90o  k180o.Lời giảiChọn D.��BB  180o  Cung có mút trùng với B hoặc B�có chu kì  hoặc 180o .Câu 49:Trên đường tròn định hướng gốc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn1111 6 , với x là số đo của cung AM ?222sin x cos x tan x cot 2 xA. 6 .B. 4 .C. 8 .D. 10 .Lời giảiChọn C.ĐK: sin 2 x �01111116 � cot 2 x  tan 2 x  822222sin x cos x tan x cot xsin x cos 2 x222418 �8 � 8 � sin 2 2 x  � cos 4 x  0 .22222sin x cos xsin x.cos xsin 2x2Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác ta thấy có 8 điểm cuối M thỏa ycbt.Câu 50:Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác nào trongcác cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượnggiác có số đo 4200o.A. 130o .B. 120o .C. 120o .D. .8Lời giảiChọn C.Ta có 4200� 120� 12.360�nên cung có số đo 120o có ngọn cung trùng vớingọn cung có số đo 4200�.�Trang11/13Câu 51:Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:A. 2, 77 cm .B. 2,9 cm .C. 2,76 cm .D. 2,8 cm .Lời giảiChọn A.Trong 30 phút mũi kim giờ chạy trên đường tròn có bán kính 10,57 cm và điđược cung có số đo lànên độ dài đoạn đường mũi kim giờ đi được là2410,57. ; 2, 77 cm .24Câu 52:Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ k�AM  , k �Z ?3 3A. 6.B. 4.C. 3.D. 12.Lời giảiChọn A.2345k  0, �AM  ; k  1, �AM AM AM AM ; k  2, �; k  3, �; k  4, �;333337AM .k  5, �AM  2 ; k  6, �3Câu 53:Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theochiềungượcvớichiềuquaycủakimđồnghồ,biếtsđ00 Ox, OA   30  k 360 , k �Z . Khi đó sđ  Ox, BC  bằng:A. 175o  h360o , h �Z .B. 210o  h360o , h �Z .53 ��C. sin a  ; cos b  �  a   ; 0  b  �.D.135 �22�210o  h360o , h �Z .Lời giảiChọn D.sđ  Ox, BC   sđ  Ox, OA�  210o  h360o , h �Z ., trong đó M là điểm biểu diễn của góc lượng giác.4Khi đó M thuộc góc phần tư nào ?A. I .B. II .C. III .D. IV .Lời giảiChọn A.Câu 54:Xét góc lượng giácTrang12/13Ta có 4 1 . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau.2 8Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo .4yBMxA'OAB'Cho L, M , N , P lần lượt là các điểm chính giữa các cung AB, BC , CD, DA.3 k . Mút cuối của Cung  có mút đầu trùng với A và có số đo   4trùng với điểm nào trong các điểm L, M , N , P ?A. L hoặc N .B. M hoặc P.C. M hoặc N .D. L hoặc P.Lời giảiChọn A.�Vì L là điểm chính giữa �AB nên AL  43� nên �AN Vì N là điểm chính giữa CD43AN Ta có �và �AL  �AN  43 k .Vậy L hoặc N là mút cuối của   4Câu 55:Cung  có mút đầu là A và mút cuối trùng với một trong bốn điểmM , N , P, Q . Số đo của  làA.   45o  k .180o. B.   135o  k.360o. C.    k .D.    k .4442Lời giảiChọn D.AM  450 Số đo cung �4�  NP�  PQ�  900  Ta có MN2Để mút cuối cùng trùng với một trong bốn điểm M , N , P, Q thìchu kì của cung  là2Vậy số đo cung    k .42��Câu 57:Biết OMB và ONB là các tam giác đều. Cung  có mút đầu là A và mútcuối là B hoặc M hoặc N . Tính số đo của  ?Câu 56:Trang13/13A.  k .22B.   k .63C.  Lời giải2k.23Chọn C.Cung  có mút đầu là A và mút cuối là B nên  2D.  2k.63 1� ��  NOBOMB�và ONB�là các tam giác đều nên MOB32�� BAM  MBN3Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M hoặc N nên2 �2�� �� �AM  �AB  BMAB AM  MNAM  2, AN  �332Chu kì của cung  là32.Từ  1 ,  2  ta có    k23Câu 58:Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theochiềungượcvớichiềuquaycủakimđồnghồ,biếtsđoo Ox, OA  30  k 360 , k �Z . Khi đó sđ  Ox, AB  bằngA. 120o  n360o , n �Z.C. 300  n3600 , n �Z .B. 60o  n360o , n �Z.D. 60o  n360o , n �Z.Lời giảiChọn B.�  180o  45o  75o  60o .�  45o , BOD�  75o � BDOXét tam giác OBD, ta có OBDTrang14/13CHƯƠNG 6: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁCBài 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNGA. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢNI – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG 1. Định nghĩa��Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM   (còn viết ..)yBMKA xA'HOB'�Tung độ y  OK của điểm M gọi là sin của  và kí hiệu là sin  .sin   OK .�Hoành độ x  OH của điểm M gọi là côsin của  và kí hiệu là cos  .cos   OH .�Nếu cos  �0, tỉ sốtan  sin .cos � Nếu sin  �0, tỉ sốcotg  ): cot  cos .sin sin gọi là tang của  và kí hiệu là tan  (người ta còn dùng kí hiệu tg  )cos cos gọi là côtang của  và kí hiệu là cot  (người ta còn dùng kí hiệusin Các giá trị sin  , cos  , tan  , cot  được gọi là các giá trị lượng giác của cung  .Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin2. Hệ quả1) sin  và cos xác định với mọi  ��. Hơn nữa, ta cósin    k 2   sin  , k ��;cos    k 2   cos  , k ��.2) Vì 1 �OK �1; 1 �OH �1 nên ta có1 �sin  �11 �cos  �1.3) Với mọi m�� mà 1 �m �1 đều tồn tại  và  sao cho sin   m và cos   m.4) tan  xác định với mọi  �  k  k �� .25) cot  xác định với mọi  �k  k �� .�6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM   trênTrang15/13đường tròn lượng giác.Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giácGóc phần tưIIIIIIIVcos sin tan cot Giá trị lượng giácMẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệtGóc 643223341135022326003212120032145022229000300120..03313||-3||31330-33000sin costanacot a-3221800270036000–10–101–10||0–1||0||22II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG1. Ý nghĩa hình học của tan Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cáchchọn gốc tại A .Trang16/13Gọi T là giao điểm của OM với trục t ' At.uuurtan  được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t 'At. Viết: tan   ATTrục t 'At được gọi là trục tang.ytMA xOTt'2. Ý nghĩa hình học của cot Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cáchchọn gốc tại B .Gọi S là giao điểm của OM với trục s 'Bsuuurcot  được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s 'Bs . Viết: cot   BSTrục s 'Bs được gọi là trục côtang.s'yBS sMxONhận xét:tan    k   tan  , k ��;cot    k   cot  , k ��.III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC1. Công thức lượng giác cơ bảnĐối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sausin 2   cos 2   1sin tan  ,  �  k , k ��cos 2cos cot  ,  �k , k ��sin ktan  .cot   1,  � , k ��211  tan 2  ,  �  k , k ��2cos 211  cot 2  ,  �k , k ��sin 2 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệtGóc đối nhau (  và  )Góc bù nhau(  và    )Góc phụ nhau(  và )2Trang17/13cos( )  cos sin(   )  sin sin(  )   sin cos(   )   cos tan( )   tan tan(   )   tan cot( )   cot cot(   )   cot ��sin �   ��2���cos �   ��2���tan �   ��2���cot �   ��2�cos sin cot tan (  và   )22��sin �   � cos �2���cos �   �  sin �2���tan �   �  cot �2���cot �   �  tan �2�Góc hơn kémGóc hơn kém  (  và    )sin(   )   sin cos(   )   cos tan(   )  tan cot(   )  cot Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos - đối, sin – bù, phụ - chéo, hơn kém  tangcôtang, hơn kém chéo sin". Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.2B. CÁC DẠNG TOÁN:DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁCI. PHƯƠNG PHÁP: Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối (điểm�ngọn) của cung AM   trên đường tròn lượng giác. Vì thế cần xác định vị trí điểm M trên đường trònlượng giác rồi sử dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giácVị trí điểm M thuộcgóc phần tưIIIIIIIVcos sin tan cot Giá trị lượng giácII. VÍ DỤ MINH HỌA:Cho     . Xác định dấu của các biểu thức sau:2Trang18/13��a) sin �   ��2���  �.tan     c) cos ��2��3�b) tan �   ��2�14.cot     d) sin9Lời giải3��� sin �   � 0    �    222�2�3�3�    � tan �   � 0b) Ta có      � 0 222�2���� cos �   � 0c) Ta có     � 0     222�2�� tan       0Và 0     2��  �.tan       0 .Vậy cos ��2�3 1414 2 � sin0d) Ta có2993  �     2 suy ra cot       0 .2214.cot       0 .Vậy sin9a) Ta cóIII. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:Câu 1. Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúngtrong các kết quả sau đây.A. sin   0.B. cos   0.C. tan   0.D. cot   0.Câu 2. Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đâylàsai ?A. sin   0.B. cos   0.C. tan   0.D. cot   0.Câu 3. Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đâylàđúng ?A. sin   0.B. cos   0.C. tan   0.D. cot   0.Câu 4. Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu sin  , cos  cùng dấu?A. Thứ II.B. Thứ IV.C. Thứ II hoặc IV.D. Thứ I hoặc III.Câu 5. Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu sin  , tan trái dấu?A. Thứ I.B. Thứ II hoặc IV. C. Thứ II hoặc III. D. Thứ I hoặc IV.Câu 6. Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu cos   1  sin 2  .A. Thứ II.B. Thứ I hoặc II.C. Thứ II hoặc III. D. Thứ I hoặc IV.Trang19/13Câu 7. Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếusin 2   sin  .A. Thứ III.B. Thứ I hoặc III. C. Thứ I hoặc II. D. Thứ III hoặc IV.5. Khẳng định nào sau đây đúng?Câu 8. Cho 2   2A. tan   0; cot   0.B. tan   0; cot   0.C. tan   0; cot   0.D. tan    cot   0.Câu 9. Cho 0    . Khẳng định nào sau đây đúng?2A. sin      �0.B. sin      �0.C. sin       0.D. sin       0.. Khẳng định nào sau đây đúng?2� �� �  � 0.  ��0.A. cot �B. cot �C. tan       0.D. tan       0.� 2�� 2�Câu 11. Cho     . Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương ?2��.A. sin      . B. cot �   �C. cos    .D. tan      .�2�3. Khẳng định nào sau đây đúng?Câu 12. Cho    2�3��3�A. tan �   � 0.B. tan �   � 0.�2��2��3��3�C. tan �   ��0.D. tan �   ��0.�2��2���  �.tan      .Câu 13. Cho     . Xác định dấu của biểu thức M  cos �2�2�Câu 10. Cho 0   B. M  0.C. M �0.D. M  0.3��.cot      .Câu 14. Cho    . Xác định dấu của biểu thức M  sin �   �2�2�A. M �0.A. M �0.B. M  0.C. M �0.D. M  0.Câu 15. Cho tam giác ABC có góc A tù. Cho các biểu thức sau:(1) M  sin A  sin B  sin CABC(3) P  cos .sin .cot222(2) N  cos A.cos B.cos C(4) Q  cot A tan B cot CSố các biểu thức mang giá trị dương là:A. 1B. 2C. 3D. 4IV. HƯỚNG DẪN GIẢI :sin   0��cos   0�� Chọn A.Câu 1. Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ nhất � �tan0��cot   0�Trang20/13sin   0��cos   0�� Chọn A.Câu 2. Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ hai � �tan0��cot   0�sin   0��cos   0�� Chọn B.Câu 3. Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ hai � �tan0��cot   0�Câu 4. Chọn D.Câu 5. Chọn C.Câu 6. Ta có cos   1  sin 2  � cos   cos 2  � cos   cos  � cos  .Đẳng thức cos  � cos  �� cos  �0 �� điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứI hoặc IV. Chọn D.Câu 7. Ta cósin 2  � sin  � sin   sin  .Đẳng thức sin   sin  �� sin  �0 �� điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ Ihoặc II. Chọn C.Câu 8. Ta có 2   5�� điểm cuối cung    thuộc góc phần tư thứ I2�tan   0��. Chọn A.cot   0�� điểm cuối cung    thuộc góc phần tư thứ III ��Câu 9.Ta có 0    �        ��22sin       0. Chọn D.Câu 10. Ta có :�� �0    �      �� cot �  � 0��222� 2� .�3�0   �    �� tan       0��22Chọn D.Câu 11. Ta có��sin        sin  ; cot �   � sin  ; cos     cos  ; tan       tan  .�2�sin   0��cos   0 ��Do     � �� Chọn B.2�tan   0�� 3�sin �   � 0�33 �3�2� �� tan �0   ��Câu 12. Ta có    ��   � 0.222�2��3��cos �   � 0�� 2Chọn B.Trang21/13Câu 13. Ta có :���    � 0      �� cos �   � 0��222�2��     � 0       �� tan       0��22�� M  0. Chọn B.Câu 14. Ta có :�33��  �    �       �� sin �   � 0��2222�2��35�  � 2     �� cot       0��22�� M  0 . Chọn D.Câu 15.Ta có: A tù nên cos A  0;sin A  0; t anA  0;cot A  0Do đó: M  0; N  0; P  0; Q  0 . Chọn B.Trang22/13DẠNG 2:TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚCI. PHƯƠNG PHÁP :Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giácSử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệtSử dụng các hệ thức lượng giác cơ bảnII. VÍ DỤ MINH HỌA :1� 3 �  �bằngVí dụ 1 : Cho cos   . Khi đó sin �3� 2 �21A.  .B.  .33C.1.3D.2.3Lời giảiChọn C1� 3 �� �� �  � sin �   2 � sin �  � cos   .Ta có sin �3� 2 �� 2�� 2�Ví dụ 2: Cho cos150  2  3 . Giá trị của tan15 bằng :2A.32B.2 32C. 2  3D.2 34Lời giảiChọn C2141123� tan150  2  3 .cos 2 1502 343   2 . Khi đó :Ví dụ 3 : Cho tan    với524545A. sin   , cos   .B. sin  , cos  .414141414545cos  C. sin   .D. sin  , cos   .41414141tan 2 150 Lời giảiChọn C1  tan 2  5116114125� cos   ��1�� cos 2  222cos 25 cos cos  25414153   2 � cos   0 � cos  241 .4� sin   41Trang23/13III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM1Câu 1. Cho biết tan   . Tính cot 2A. cot   2 .B. cot  1.4C. cot  1.2D. cot   2 .��.Câu 2. Tính giá trị của cos �   2k  1  ��4�3��.A. cos �   2k  1  � �4� 22��.B. cos �   2k  1  � 2�4��� 1C. cos �   2k  1  �  .�4� 2�� 3.D. cos �   2k  1  ��4� 212Câu 3. Cho góc  thỏa mãn sin  và     . Tính cos  .1321551A. cos   . B. cos   .C. cos    .D. cos    .1313131335Câu 4. Cho góc  thỏa mãn cos   và    . Tính tan  .233242. B. tan  ...A. tan   C. tan   D. tan   5555420172019 Câu 5. Cho góc  thỏa mãn tan    và. Tính sin  .3223344A. sin    . B. sin   .C. sin    .D. sin   .555512Câu 6. Cho góc  thỏa mãn cos   và     . Tính tan  .132125512A. tan    . B. tan   .C. tan    .D. tan   .5121254Câu 7. Cho cos   với 0    . Tính sin  .521133A. sin   .B. sin    .C. sin   .D. sin   � .5555Câu 8. Cho góc  thỏa mãn tan   2 và 180o    270o. Tính P  cos   sin  .3 53 55 1A. P  C. P D. P . B. P  1  5...5223Câu 9. Cho góc  thỏa sin   và 90O    180O. Khẳng định nào sau đây đúng?54454A. cot    . B. cos  .C. tan   .D. cos   .55453Câu 10. Cho góc  thỏa cot  và 0O    90O. Khẳng định nào sau đây đúng?44444A. cos   . B. cos  .C. sin   .D. sin   .55551�7�Câu 11. Cho góc  thỏa mãn sin        và     . Tính P  tan �   �.32�2�22A. P  2 2.B. P  2 2.C. P D. P  ..44Trang24/13Câu 12. Cho góc  thỏa mãn 3cos   2sin   2 và sin   0 . Tính sin  .57912A. sin    . B. sin    .C. sin    .D. sin    .13131313    . Khi đó giá trị tan  cotCâu 13. Cho cot   3 2 vớibằng :222A. 2 19 .B. 2 19 .C.  19 .D. 19 .IV. HƯỚNG DẪN GIẢI:Câu 1.Câu 2.Câu 3.Câu 4.11 2Ta có : tan  .cot   1. Chọn A.tan  125��5�Ta có cos �   2k  1  � cos �  2k � cos4�4��4�2� � cos �  �  cos  . Chọn B.42� 4�5�cos   � 1  sin 2   ��5�13�� cos    . Chọn D.Ta có �13�    �22�2sin�1cos��2sin 2�3�� sin    �� tan  .Ta có �33cos5�  �2� cot  Chọn B.2� � 4�11�21  tan  1 � ��22��cos �� 3 � cos Câu 5. Ta có �3�2017    2019� 504.2    504.2�� 22�22sin 4 sin 4tan  �� �� sin  3�� cos    . Mà3cos 3 5 . Chọn D.555�sin   � 1  cos 2   ��5sin 5�13�� sin   �� tan   .Câu 6. Ta có �13cos 12�     .�2Chọn C.2Câu 7.�4 � 9 � sin   �3Ta có: sin 2   1  cos 2   1  � �.5�5 � 253Do 0    nên sin   0 . Suy ra, sin  25Trang25/13