Cung Và Góc Lượng Giác: Tổng Hợp Lý Thuyết Và Bài Tập Về Các Dạng ...

Số lượt đọc bài viết: 15.099

Cung và góc lượng giác là bài học quan trọng trong chương trình toán lớp 10 THPT. Khi nắm được lý thuyết cũng như các dạng toán về cung và góc lượng giác sẽ giúp bạn nhanh chóng giải được các dạng bài tập về chuyên đề này. Với nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề cung và góc lượng giác, cùng tìm hiểu nhé!.

MỤC LỤC

• Một số khái niệm về cung và góc lượng giác
  • Cung là gì?
  • Các tính chất của cung
  • Góc là gì?
  • Lượng giác là gì?
• Lý thuyết về cung và góc lượng giác
  • Góc lượng giác là gì?
  • Cung lượng giác là gì?
  • Đơn vị đo góc và cung tròn
    • Đơn vị độ
    • Đơn vị Radian
    • Đổi độ ra Radian
  • Đường tròn lượng giác
  • Điểm ngọn của một số cung đặc biệt
  • Giá trị lượng giác của một cung
  • Bảng giá trị lượng giác đầy đủ
• Bài tập về các dạng toán cung và góc lượng giác lớp 10
  • Dạng 1: Biểu diễn góc và cung lượng giác trên đường tròn
  • Dạng 2: Xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt
  • Dạng 3: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x, đơn giản biểu thức
  • Dạng 4: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị lượng giác

Một số khái niệm về cung và góc lượng giác

Cung là gì?

Cho đường tròn tâm O, bán kính R, trên đường tròn (O) ta lấy hai điểm phân biệt A và B.

Khi đó ta nói : \(\stackrel\frown{AmB}\) sẽ là cung nhỏ, \(\stackrel\frown{AnB}\) sẽ là cung lớn. Khi viết \(\stackrel\frown{AB}\) ta cần hiểu là cung nhỏ. AB là dây cung chắn \(\stackrel\frown{AB}\).

Các tính chất của cung

 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau ta luôn có những tính chất như sau: 

• Hai cung bằng nhau sẽ căng hai dây bằng nhau.
• Hai dây bằng nhau sẽ căng hai cung bằng nhau.
• Cung lớn hơn thì căng dây lớn hơn.
• Dây lớn hơn thì căng cung lớn hơn.

Lưu ý: Trong một đường tròn, nếu hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau.

Góc là gì?

• Góc theo định nghĩa là hình tạo bởi hai tia chung gốc
• Gốc chung sẽ là đỉnh của góc. Hai tia là hai cạnh của góc.
• Đặc biệt: Ta có góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau.
• Góc xOy được kí hiệu là \(\widehat{xOy}\) hoặc \(\widehat{yOx}\)

Lượng giác là gì?

Lượng giác là một nhánh toán học dùng để tìm hiểu về hình tam giác và sự liên hệ giữa cạnh của hình tam giác và góc độ của nó. Lượng giác chỉ ra hàm số lượng giác.

Lý thuyết về cung và góc lượng giác

Góc lượng giác là gì?

Trên mặt phẳng, khi quay tia \(Ox\) quanh \(O\) đến tia \(Oy\) theo một chiều nhất định thì ta sẽ có một góc lượng giác, kí hiệu \(\left (Ox;Oy \right )\). Ta quy ước chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương.

Hai góc có cùng tia đầu và tia cuối thì sẽ có các số đo khác nhau một bội nguyên \(360^\circ\) (hay \(2\pi\)).

Cung lượng giác là gì?

Trên đường tròn tâm O lấy hai điểm A, B. Một điểm chạy trên đường tròn theo một chiều nhất định từ A đến B vạch nên cung lượng giác, kí hiệu \(\stackrel\frown{AB}\). Điểm A là điểm đầu điểm B là điểm cuối. 

Đơn vị đo góc và cung tròn

Đơn vị độ

Số đo của một cung bằng \(\frac{1}{180}\) nửa đường tròn là một độ.

Kí hiệu \(1^\circ\) đọc là một độ

\(1^\circ={60}’;{1}’={60}”\)

Cho đường tròn tâm O bán kính R có độ dài \(2\pi R\) và có số đo \(360^\circ\).

Đơn vị Radian

Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 radian, kí hiệu 1rad.

Đổi độ ra Radian

Gọi a là đơn vị độ cần đổi và b là đơn vị Radian cần đổi

• \(a^\circ=\frac{\pi}{180}rad\)
• \(b\hspace{0.3cm}rad= \left ( \frac{180}{\pi} \right )^\circ\)

Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), ta vẽ đường tròn tâm O với bán kính R, đồng thời chọn sẵn điểm A làm điểm gốc và chọn chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương. Đường tròn như trên được gọi là đường tròn lượng giác.

Điểm ngọn của một số cung đặc biệt

Để biểu diễn một cung lượng giác lên đường tròn lượng giác, ta luôn cần chọn điểm gốc của cung đó tại \(A\), đồng thời ta chỉ quan tâm đến điểm ngọn của cung đó ở đâu mà thôi. Quy ước các điểm \(A’,B,B’\) được thể hiện như trên hình vẽ. 

Ta có bảng sau đây để biểu thị mối liên hệ giữa số đo một số cung \(x\) đặc biệt thường dùng với vị trí điểm ngọn của nó trên đường tròn lượng giác:

(Quy ước: \(k\in\mathbb{Z}\))

Giá trị lượng giác của một cung

Cho số thực \(\alpha\). Trên đường tròn lượng giác, gọi M là điểm ngọn của cung có số đo \(\alpha\). Giả sử tọa độ điểm M là M(x;y). Ta định nghĩa: 

\(x=\cos{\alpha};\hspace{0.3cm}y=\sin{\alpha};\hspace{0.3cm}\frac{y}{x}=\tan{\alpha};\hspace{0.3cm}\frac{x}{y}=\cot{\alpha}\)

Ta có công thức: 

\(\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}};\hspace{0.3cm}\cot{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\)

Ta có một số công thức sau: 

• \(\sin{\alpha}=1\Leftrightarrow\alpha=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin{\alpha}=-1\Leftrightarrow\alpha=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
• \(\sin{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=k\pi\)
• \(\cos{\alpha}=1\Leftrightarrow\alpha=k2\pi\)
• \(\cos{\alpha}=-1\Leftrightarrow\alpha=\pi+k2\pi\)
• \(\cos{\alpha}=0\Leftrightarrow\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

Bảng giá trị lượng giác đầy đủ

Dấu của các giá trị lượng giác

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Giá trị lượng giác của góc có liên quan đặc biệt

Công thức nghiệm cơ bản

Công thức lượng giác

Bài tập về các dạng toán cung và góc lượng giác lớp 10

Dạng 1: Biểu diễn góc và cung lượng giác trên đường tròn

Phương pháp giải:

Để biểu diễn được các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác, ta thường sử dụng các kết quả dưới đây: 

• Góc \(\alpha\) và góc \(\alpha+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\) sẽ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
• Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng \(\alpha+\frac{k2\pi}{m}\) (với \(k\) là số nguyên và \(m\) là số nguyên dương) là \(m\). Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho \(k\) từ tới \((m-1)\) rồi biểu diễn các góc đó.

Ví dụ: Biểu diễn các góc (cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau: 

1. \(\frac{\pi}{4}\)
2. \(-\frac{11\pi}{2}\)
3. \(120^\circ\)
4. \(-765^\circ\)

Cách giải: 

1. Ta có \(\frac{\frac{\pi}{4}}{2\pi}=\frac{1}{8}\). Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau.

Khi đó điểm \(M_1\) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo \(\frac{\pi}{4}\).

    2. Ta có \(-\frac{13\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}+(-3).2\pi\) do đó điểm biểu diễn bởi góc \(-\frac{11\pi}{2}\) trùng với góc \(-\frac{\pi}{2}\) và là điểm \(B’\).

    3. Ta có \(\frac{120}{360}=\frac{1}{3}\). Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau.

Khi đó điểm \(M_2\) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo \(120^\circ\).

    4. Ta có \(-765^\circ=-45^\circ+(-2).360^\circ\) do đó điểm biểu diễn bởi góc \(-765^\circ\) trùng với góc \(-45^\circ\).

\(\frac{45}{360}=\frac{1}{8}\). Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )

Khi đó điểm \(M_3\)(điểm chính giữa cung nhỏ \(\stackrel\frown{AB’}\)) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo \(-765^\circ\).

Dạng 2: Xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt

Dạng toán này nhằm xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt và dấu của giá trị lượng giác của góc lượng giác

Phương pháp giải: 

• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác
• Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt
• Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.

Ví dụ: 

Bài 1: Tính các giá trị biểu thức lượng giác: 

1. \(A=\sin{\frac{7\pi}{6}}+\cos{9\pi}+\tan{\left (-\frac{5\pi}{4} \right )}+\cot{\frac{7\pi}{2}}\)
2. \(B=\frac{1}{\tan{368^\circ}}+\frac{2\sin{2550^\circ}.\cos\left ( -188^\circ \right )}{2\cos{638^\circ}+\cos{98^\circ}}\)

Cách giải: 

1. Ta có: \(A=\sin{\left ( \pi+\frac{\pi}{6} \right )}+\cos{\left ( \pi+4.2\pi \right )}-\tan\left ( \pi+\frac{\pi}{4} \right )+\cot\left ( \frac{\pi}{2}+3\pi \right )\\ \Rightarrow A=-\sin\frac{\pi}{6}+\cos\pi-\tan\frac{\pi}{4}+\cot\frac{\pi}{2}=-\frac{1}{2}-1-1+0=-\frac{5}{2}\)
2. Ta có: \(B=\frac{1}{\tan\left ( 8^\circ+360^\circ \right )}+\frac{2\sin\left(30^\circ+7.360^\circ \right).\cos\left(8^\circ+180^\circ \right)}{2\cos\left(-90^\circ+8^\circ+2.360^\circ\right)+\cos\left(90^\circ+8^\circ\right)}\\ B=\frac{1}{\tan8^\circ}+\frac{2\sin30^\circ.\left(-\cos8^\circ\right)}{2\cos\left(8^\circ-90^\circ\right)-\sin8^\circ}=\frac{1}{\tan8^\circ}+\frac{2.\frac{1}{2}.\left(-\cos8^\circ\right)}{2\cos\left(90^\circ-8^\circ\right)-\sin8^\circ}\\ = \frac{1}{\tan8^\circ}-\frac{\cos8^\circ}{2\sin8^\circ-\sin8^\circ}=\frac{1}{\tan8^\circ}-\frac{\cos8^\circ}{\sin8^\circ}=0\)

Bài 2: Cho \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác:

1. \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\)
2. \(\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)\)
3. \(\tan\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\)

Cách giải: 

1. Ta có \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\Rightarrow\pi<\frac{3\pi}{2}-\alpha<\frac{\pi}{2}\Rightarrow0<\sin\left ( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right )<1\)

Vậy \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) > 0\) 

     2. Ta có \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\Rightarrow\pi<\alpha+\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{2}\Rightarrow-1<\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)<0\)

Vậy \(\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right) < 0\)

    3. Ta có \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\Rightarrow 2\pi<\frac{3\pi}{2}+\alpha<\frac{5\pi}{2}\)

Do đó \(\tan\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\) thuộc cung phần tư thứ I.

Vậy \(\tan\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)>0\)

Dạng 3: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x, đơn giản biểu thức

Đây là dạng chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào góc x, đơn giản biểu thức

Phương pháp giải: 

• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi
• Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác.
• Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc \(x\) hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau.

Ví dụ: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): 

1. \(\cos^4x+2\sin^2x=1+sin^4x\)
2. \(\sqrt{\sin^4x+4\cos^2x}+\sqrt{\cos^4x+4\sin^2x}=3\tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\tan\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\)

Cách giải: 

1. Đẳng thức tương đương với \(\cos^4x=1-2\sin^2x+\left(\sin^2x\right)^2\Leftrightarrow\cos^4x=\left(1-\sin^2x\right)^2(\ast)\)

Mà \(\sin^2x+\cos^2x=1\Rightarrow\cos^2x=1-\sin^2x\)

Do đó: \((\ast)\Leftrightarrow\cos^4x=\left(\cos^2x\right)^2\)(đúng) ĐPCM.

    2. \(VT=\sqrt{\sin^4x+4\left (1-\sin^2x \right )}+\sqrt{\cos^4x+4\left ( 1-\cos^2x \right )}\\ =\sqrt{\left (\sin^2x \right )^2-4\sin^2x+4}+\sqrt{\left (\cos^2x \right )^2-4\cos^2x+4}\\ =\sqrt{\left ( \sin^2x-2 \right )^2}+\sqrt{\left ( \cos^2x-2 \right )^2}=\left ( 2-\sin^2x \right )+\left ( 2-\cos^2x \right )\\ =4-\left ( \sin^2x+\cos^2x \right )=3\)

Mặt khác vì \(\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )+\left ( \frac{\pi}{6}-x \right )=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\tan\left ( \frac{\pi}{6}-x \right )=\cot\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )\) nên

\(VP=3\tan\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )\cot\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )=3\Rightarrow VT=VP\) ĐPCM.

Dạng 4: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị lượng giác

Phương pháp giải: 

• Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.
• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.

Ví dụ: Tính giá trị lượng giác còn lại của góc \(\alpha\) biết: 

1. \(\sin\alpha=\frac{1}{3};\hspace{0.3cm}90^\circ<\alpha<180^\circ\)
2. \(\cos\alpha=-\frac{2}{3};\hspace{0.3cm}\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\)
3. \(\tan\alpha=-2\sqrt2;\hspace{0.3cm}0<\alpha<\pi\)
4. \(\cot\alpha=-\sqrt2;\hspace{0.3cm}\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{2}\)

Cách giải: 

1. Vì \(90^\circ<\alpha<\180^\circ\) nên \(\cos\alpha<0\) mặt khác \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt2}{3}\\ \Rightarrow\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt2}{3}}=-\frac{\sqrt2}{4}\\ \Rightarrow\cot=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{1}{-\frac{\sqrt2}{4}}=-2\sqrt2\)

    2. Vì \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow\sin\alpha=\pm \sqrt{1-\cos^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\pm\frac{\sqrt5}{3}\\\)

Mà \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\Rightarrow\sin\alpha<0\Rightarrow\sin\alpha=-\frac{\sqrt5}{3}\) 

Ta có \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-\frac{\sqrt5}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt5}{2}\) và \(\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{1}{\frac{\sqrt5}{2}}=\frac{2\sqrt5}{5}\)

     3. Vì \(\tan\alpha=-2\sqrt2\Rightarrow\cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{1}{-2\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{4}\)

Ta có \(\tan^2\alpha+1=\frac{1}{\cos^2\alpha}\Rightarrow \cos^2\alpha=\frac{1}{\tan^2\alpha+1}=\frac{1}{\left ( -2\sqrt2 \right )^2+1}=\frac{1}{9}=\pm\frac{1}{3}\)

Vì \(0<\alpha<\pi\Rightarrow\sin\alpha>0\) và \(\tan\alpha=-2\sqrt2<0\) nên \(\cos\alpha<0\)

Vì vậy \(\cos\alpha=-\frac{1}{3}\)

Ta có: \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\Rightarrow\sin\alpha=\tan\alpha.\cos\alpha=-2\sqrt2.\left ( -\frac{1}{3} \right )=\frac{2\sqrt2}{3}\).

     4. Vì \(\cot\alpha=-\sqrt2\) nên \(\tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}=-\frac{\sqrt2}{2}\)

Ta có \(\cot^2\alpha+1=\frac{1}{\sin^2\alpha}\Rightarrow\sin^2\alpha=\frac{1}{\cot^2\alpha+1}=\frac{1}{\left ( -\sqrt2 \right )^2+1}=\frac{1}{3}\\ \Rightarrow\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{3}\)

Vì \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{2}\Rightarrow\cos\alpha<0\) và \(\cot\alpha=-\sqrt2<0\) nên \(\sin\alpha>0\)

Do đó \(\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}\)

Ta có \(\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\Rightarrow\cos\alpha=\cot\alpha.\sin\alpha=-\sqrt2.\frac{\sqrt3}{3}=-\frac{\sqrt6}{3}\).

Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tìm hiểu một cách chi tiết về chủ đề cung và góc lượng giác. Nếu có bất cứ thắc mắc hay bổ sung cho bài viết, đừng quên để lại nhận xét bên dưới để cùng chúng tôi trao đổi thêm về cung và góc lượng giác, chúc bạn luôn học tập tốt!.

Xem thêm:

• Chuyên đề Hệ phương trình đẳng cấp cơ bản và nâng cao
• Các phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2
• Hàm số bậc nhất là gì? Công thức, Ví dụ và Bài tập hàm số bậc nhất
• Hệ phương trình hai ẩn là gì? Bài tập và Cách giải hệ phương trình 2 ẩn
• Phương sai và độ lệch chuẩn là gì? Hướng dẫn tính phương sai và độ lệch chuẩn
• Giá trị lượng giác của một cung, Các hệ quả và Bài tập giá trị lượng giác của một cung

Rate this post Please follow and like us: