Chuyên đề Bội Chung Nhỏ Nhất Và Ước Chung Lớn Nhất - Tài Liệu Text

Tải bản đầy đủ (.docx) (13 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Lớp 6
>>
3. Toán học

Chuyên đề Bội chung nhỏ nhất và Ước chung lớn nhất

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (165.71 KB, 13 trang )

Hoàng Bích ViChuyên đề Bội số chung nhỏ nhất và Ước số chung lớn nhấtI. Bội số chung nhỏ nhất1. Khái niệm:Bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏnhất chia hết cho cả a và b. Tức là nó có thể chia cho a và b mà không để lạisố dư. Nếu a hoặc b là 0, thì không tồn tại số nguyên dương chia hết cho avà b, khi đó quy ước rằng LCM(a, b) là 0.Ký hiệu: bội số chung nhỏ nhất của 2 số nguyên a, b được ký hiêu: [a,b],BCNN(a,b), LCM(a,b)2. Cách tìm:2.1: Thông qua UCLN2.2: Phân tích ra thừa số nguyên tốĐịnh lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 có thểbiểu diễn một cách duy nhất dạng tích các số nguyên tố (nếu không kể đến thứtự của các thừa số). Như vậy các hợp số có thể coi như là các nguyên tố cấuthành hợp số.Ví dụ:Ở đây chúng ta có hợp số 90 tạo thành bởi một nguyên tử 2, hai nguyên tử 3 vàmột nguyên tử 5.Kiến thức này có thể giúp chúng ta tìm LCM của một tập hợp các số.Ví dụ: Tìm giá trị của BCNN(8,9,21).Đầu tiên, ta phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa các số nguyên tố.Chuyên đề toán học lớp 6Hoàng Bích ViVới mỗi số nguyên tố, chọn lũy thừa cao nhất, tích của chúng cho ta giá trị LCMcần tìm. bốn thừa số nguyên tố 2, 3, 5 và 7, có bậc cao nhất lần lượt là 23, 32, 50, và71. Do đó,Thuật toán không thực sự hiệu quả bằng cách rút từ ước chung lớn nhất, bởi chưacó thuật toán hiệu quả để phân tích số nguyên nhưng nó hiệu quả trong việc minhhọa khái niệm.3.Tính chất:Tính chất giao hoán:Tính chất kết hợp:Mối quan hệ với ước chung lớn nhất:Trong trường hợp và nguyên tố cùng nhau, thì:Tính lcm của nhiều số thông qua cách tính lcm của hai số:II. Ước số chung lớn nhấtKhái niệm:Trong toán học, nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên d thì số d được gọilà ước của số nguyên a, a được gọi là bội của d. Số nguyên dương d lớn nhấtlà ước của cả hai số nguyên a, b được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN)của a và b. Trong trường hợp cả hai số nguyên a và b đều bằng 0 thì chúngkhông có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung củaa và b. Nếu chỉ một trong hai số a hoặc b bằng 0, số kia khác không thìƯCLN của chúng bằng giá trị tuyệt đối của số khác không.Ký hiệu: ƯCLN(a, b), hay đơn giản hơn là: (a, b)Chú ý: Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất củachúng bằng 1. Chẳng hạn, 9 và 28 là nguyên tố cùng nhau.2. Cách tính:2.1.Phân tích ra thừa số nguyên tố1.Chuyên đề toán học lớp 6Hoàng Bích Vichẳng hạn để tìm ƯCLN(18,84), ta phân tích 18 = 2·32 và 84 = 22·3·7và nhận xét rằng các thừa số chung lớn nhất của hai số này là 2·3; do đóƯCLN(18,84) = 6Trên thực tế phương pháp này chỉ dùng cho các số nhỏ; việc phân tích các số lớn rathừa số nguyên tố mất rất nhiều thời gian.2.2.Thông qua BCNNNếu a và b là các số khác không, thì ước chung lớn nhất của a và b có thểtính qua (BCNN) của a và b:III. Các dạng bài tập và câu hỏi tự luyện1.Dạng 1: Tìm UCLN và BCNN của hai hay nhiều sốBài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của 100, 150; 125Giải:100 = 22.52 ;150 = 2.3.52 ;125 = 53Các thừa số nguyên tố chung là: 5Các thừa số nguyên tố riêng là: 2;3UCLN (100;150;125) = 52 = 25BCNN (100;150;125) = 22.3.53 = 1500Bài toán 2: Tìm UC, BC của 100,150,125Giải: Để tìm ƯC; BC của các số trên ta không cần lập tập hợp các ước và bội củacác số mà thông qua ƯCLN; BCNN để tìm.Chuyên đề toán học lớp 6Hoàng Bích ViUC (100;150;125) = U (25) = { 1;5;25}BC (100;150;125) = B(1500) = { 0;1500;3000;...}Các bài tập tương tự:Bài 1: Tìm UCLN; BCNN ; UC; BC củaa)b)c)d)e)f)2.124 và 55122; 84 và 12610; 30; 50124; 84; 32012; 24; 48120; 300; 250Dạng 2: Giải các bài toán bằng việc tìm UCLN; BCNNBài toán 3:a)Tìm số tự nhiên n biết n lớn nhất vàb)Tìm số tự nhiên n biết n nhỏ nhất và125Mx;100Mx;150MxxM125; xM100; xM150Giải: a)125Mx;100Mx;150Mx ⇒ x ∈ UC (125;100;150)Mà x lớn nhất nên x=UCLN(125;100;150)=25b)xM125; x M100; x M150 ⇒ x ∈ BC (125;100;150)Mà x nhỏ nhất nên x=BCNN(125;100;150)=1500Bài toán 4: Đội văn nghệ của 1 trường có 48 nam và 72 nữ. Muốn phục vụ tạinhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữChuyên đề toán học lớp 6Hoàng Bích Viđược chia đều. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ cóbao nhiêu nam; bao nhiêu nữ.Giải∈Gọi số tổ là a (a N*) Vì muốn phục vụ tại nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chiathành các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữ được chia đều nên a là ước chungcủa 48 và 72.Mà cần tìm số tổ là nhiều nhất nên a = ƯCLN( 48; 72) = 24 ( tổ)Mỗi tổ có: 48 : 24 = 2( nam) và 72: 24 = 3 ( nữ).Đáp số: 24 tổ; mỗi tổ 2 nam và 3 nữ.Bài toán 5.Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở 2 lớp khác nhau. An cứ 10 ngàylại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần. Lần đầu cả 2 người cùngtrực nhật vào 1 ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì 2 bạn lại cùng trực nhật?Lúc đó mỗi bạn đã trực nhật được mấy lần?Giải:∈Gọi số ngày mà ít nhất 2 bạn lại cùng trực nhật là a( a N*). Vì An cứ 10 ngày lạitrực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần. Lần đầu cả 2 người cùng trựcnhật vào 1 ngày nên a là bội chung của 10 và 12.Mà cần tìm số ngày ít nhất mà 2 bạn lại cùng trực nhật nêna = BCNN ( 10; 12) = 60 ( ngày )Lúc đó An đã trực nhật được 60 : 10 = 6 ( lần).Bách đã trực nhật được 60 : 12 = 5 ( lần) .Chuyên đề toán học lớp 6Hoàng Bích ViĐáp số: 60 ngày; An đã trực nhật được 6 lần; Bách đã trực nhật được 5 lần.Bài tập tương tựBài 2: Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng480Mx;600MxBài 3: Một đội y tế có 24 bác sĩ, 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thànhmấy tổ để các bác sĩ cũng như y tá được chia đều vào mỗi tổ.Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 sao choaM126; aM198Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 6,7,9,đều được số dư theo thứ tự là2,3,53.Dạng 3: Giải các bài toán bằng việc tìm UC, BC của hai hay nhiềusố thỏa mãn điều kiện cho trước.Bài toán 6: a) Tìm số tự nhiên n biết125Mx;100Mx;150Mxvà x 5UCLN(120;84)=12 nênChuyên đề toán học lớp 6x ∈ U (12)vàx > 5 ⇒ x ∈ { 6;12}Hoàng Bích ViBài toán 9: Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5.Đây là dạng bài toán tìm x thông qua tìm BC. Tương tự như đối với bài toán 7nhưng ở mức độ khó hơn vì ta chưa xác định được ngay biểu thức chứa x nào làBCNN(5;7).Giải:Vìxchia5dư1nênx − 1M5 ⇒ x − 1 + 10M5 ⇒ x + 9M5Vì x chia 7 dư 5 nênx − 5M7 ⇒ x − 5 + 14M7 ⇒ x + 9M7x + 9 ∈ BC (5;7); x > 5Mà x nhỏ nhất nên x+9=BCNN(5;7)=35Vây x=26 là kết quả cần tìm.Các bài tập tương tựBài 6: Ngọc và Minh mỗi người mua một số bút chì. Trong mỗi hộp đều có từ haibút trở lên. Và số bút ở mỗi hộp đều nhau, Tính ra Ngọc mua 20 bút và Minh mua15 bút. Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu bút chì.Bài 7: Tìm số tự nhiên a biết rằng 156 chia cho a dư 12 và 280 chia a dư 10.Bài 8: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết số đó chia hết cho tất cả các số3,4,5,6.Bài 9: Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 400. Khi xếphàng 12; 15; 18 đều thừa 5 học sinh. Tính sô học sinh khối 6.Bài 10:Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 200, biết số đó chia 2 dư 1, chia 3 dư 1, chia 5thiếu 1 và chia hết cho 7.Chuyên đề toán học lớp 6Hoàng Bích Vi4.Dạng 4: Các bài toán tổng quát bằng việc tìm UCLN và BCNNBài toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì các số sau nguyên tố cùngnhau: 2n+3 và 4n+8.Chứng minh : để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau ta chứng minh choUCLN của chúng bằng 1. Đây là dạng bài tập quen thuộc nhưng còn mới lạ đối vớicác em lớp 6. Các bài tập dạng này nhằm phát triển tư duy logic cho các em.Gọid = UCLN (2n + 3;4n + 8)⇒ 2(2 n + 3)Mdvà4 n + 8Md⇒ 2(2 n + 3)Md ⇒ 4n + 6Md⇒ (4n + 8) − (4 n + 6)Md⇒ 2Md ⇒ d ∈ { 1; 2}Vì 2n+3 là số lẻ nên d=2 không xảy ra.Vậy d=1 hay với mọi n thì hai số 2n+3 và 4n+8 nguyên tố cùng nhau.•Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh vì sao ta lại nhân 2n+3 với 2 là đểtriệt tiêu n.Bài toán 11: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: 7n+13 và 2n+4Giải: Gọid = UCLN (7 n + 13;2n + 4)⇒ (7 n + 13)MdChuyên đề toán học lớp 6và2 n + 4MdHoàng Bích Vi⇒ 2(7 n + 13)Md ⇒ 14n + 26Md7(2 n + 4)Md ⇒ 14 n + 28Md⇒ (14 n + 28) − (14n + 26)Md⇒ 2Md ⇒ d ∈ { 1; 2}Nếud = 2 ⇒ 7 n + 13M2 ⇒ 7( n + 1) + 6M2 ⇒ 7( n + 1)M2UCLN (7; 2) = 1 ⇒ n + 1M2 ⇒ n = 2k − 1Vậy để 7n+13 và 2n+4 nguyên tố cùng nhau thìn ≠ 2k − 1Các bài tập tương tựBài 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n các số sau là hai số nguyên tốa)7n+10 và 5n+7b)n+2 và 2n+3Bài 12: Tìm các số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhaua)4n+3 và 2n+3b) 7n+13 và 2n+4c) 9n+24 và 3n+4d) 18n+3 và 21n+75.Dạng 5: Các bài toán về UCLN và BCNNBài toán 12:a)Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 720 và có UCLN bẳng 6b)Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 720 và có BCNN bằng 120.Chuyên đề toán học lớp 6Hoàng Bích Vic) Tìm hai số tự nhiên a và b biết UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=120Giải:a)Gọi hai số tự nhiên đó là a và bta có UCLN(a;b)=6 nên a=6m; b=6n và UCLN(m,n)=1nên a.b=6m.6n=36m.n=720 suy ra m.n=20chọn cặp m, n nguyên tố cùng nhau và có tích bằng 20 ta đượcmndo đó4554a2430b3024b)Gọi hai số tự nhiên a và bTa có UCLN(a;b).BCNN(a,b)=abDo đó 120.UCLN(a,b)=720 suy ra UCLN(a;b)=6Đến đây giải như câu a.a)Ta có UCLN(a,b).BCNN(a,b)=a.b suy ra a.b=720. Bài toán quay trở về câu a.Bài toán 13: Tìm hai số tự nhiên a và b biếta)UCLN(a,b)=4; trong đó b=8 (b>a). Tìm a.b)BCNN(a,b)=770; trong đó a=14. Tìm b.giải:a)Ta có UCLN(a,8)=4 nên a=4.m; 8=4.2 và UCLN(m,2)=1.Vì a