CHUYÊN ĐỀ ƯỚC - BỘI – UCLN – BCNN
Có thể bạn quan tâm
CHUYÊN ĐỀ ƯỚC - BỘI – UCLN – BCNN
1. Các kiến thức có liên quan.
a) Kiến thức ở sách giáo khoa toán 6 có liên quan.
- Bội – ước: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.
* Ước chung (ƯC): Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
* Bội chung (BC): Bội chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
* ƯCLN của 2 hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ƯC của các số đó.
* Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
b) Kiến thức nâng cao:
+ Cho ƯCLN (a, b) = d. Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau.
* Mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN của 2 số a, b (kí hiệu (a,b)) và BCNN của 2 số a, b (kí hiệu [a, b]) với tích của 2 số a và b là:
a . b = (a, b) . [a, b].
* Chứng minh: Đặt (a, b) = d => a = md và b = nd. Với \(m,n \in N*\), (m. n) = 1. Từ (I) => ab = mnd2; [a, b] = mnd => (a, b) . [a, b] = d . (mnd) = mnd2 = ab.
Vậy ab = (a, b) [a, b]. (ĐPCM)
2. Giải một số bài toán mẫu:
Dạng 1: Biết (a, b) và [a, b] tìm a và b.
Bài 1: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết (a, b) = 15; [a, b] = 300
Giải
Sử dụng mối quan hệ giữa a.b = (a, b) . [a, b] ta có:
Ab = 300 . 15 = 4500 (1)
* Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b. Vì (a, b) = 15 nen a = 15m, b = 15n (m, n) = 1 và m < n.
Từ (1) suy ra: 15m . 15n = 4500 nên m . n = 20.
Lập bảng ta có:
m | n | a | b |
1 | 20 | 15 | 300 |
4 | 5 | 60 | 75 |
Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 15 và 300; 60 và 75
Dạng 2: Biết tích của 2 số a và b và [a, b] hoặc (a, b).
Bài 2: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: ab = 216 và (a, b) = 6
Giải
Giả sử a >b vì (a, b) = 6 Þ a = 6m; b = 6n với \(m,n \in N*\), (m, n) = 1; m < n khi đó ab = 6m . 6n = 36mn, do ab = 216 nên 216 = 36mn => mn = 6
Lập bảng
m | n | a | b |
1 | 6 | 6 | 36 |
2 | 3 | 12 | 18 |
Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 6 và 36; 12 và 18
Bài 3: Tìm 2 số tự nhiên a và ba biết: ab = 180; [a, b] = 60
Giải
Từ ab = (a,b) [a, b] Þ (a, b) =
Giả sử a < b, vì (a, b) = 3 nên a = 3m, b = 3n với \(m,n \in N*\)
(m, n) = 1 và m < n. Suy ra ab = 3m . 3n = 9mn vì ab = 180 nên 180 = 9mn => mn = 20.
Lập bảng:
m | n | a | b |
1 | 20 | 3 | 60 |
4 | 5 | 12 | 15 |
Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 3 và 60; 12 và 15.
Dạng 3: Biết tổng hoặc hiệu của 2 số a, b và [a, b] hoặc (a, b)
Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 128 và (a, b) = 16
Giải
Giả sử a < b khi đó a = 16m; b = 16n với \(m,n \in N*\), (m, n) = 1; m < n vì a + b = 128 nên 16m + 16n = 128 => 16 (m + n) = 128 => m + n = 8.
Lập bảng:
m | n | a | b |
1 | 7 | 16 | 112 |
3 | 5 | 48 | 80 |
Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 16 và 112; 48 và 80
Bài 5: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.
Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với \(m,n \in N*\); (m, n) = 1. Giả sử a < b khi đó m < n. Do đó a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = dmn = 72 (2)
Từ (1) và (2) => d thuộc ƯC (42, 72) mà ƯCLN (42, 72) = 6 => d thuộc Ư(6) nên d thuộc {1; 2; 3; 6}.
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn.
Suy ra: m + n = 7 và m . n = 12
Chỉ có m = 3 và n = 4 là thoả mãn. Khi đó a = 18 và b = 24. Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 18 và 24.
Bài 6: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a,b < 200 và a-b = 90; (a, b) = 15.
Giải
Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n với (m, n) = 1 và m > n
Do a = 15m < 200 nên m < 14.
Ta lại có a – b = 90 => 15 (m – n) = 90 => m – n = 6
Lập bảng:
m | n | a | b |
13 | 7 | 195 | 105 |
11 | 5 | 165 | 75 |
7 | 1 | 105 | 15 |
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: a = 195; b = 105 hoặc a = 165, b = 75 hoặc a = 105, b = 15
Bài 7: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a – b = 7 và [a, b] = 140
Giải
Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với \(m,n \in N*\); (m, n) = 1
Do đó: a – b = d (m – n) = 7 (1) (a > b Þ m > n)
[a, b] = mnd = 140 (2)
Từ (1) và (2) => d thuộc ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) = 7 => d thuộc Ư(7) = {1, 7}.
Thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta được kết quả duy nhất: d = 7 và
\(\left\{ \begin{array}{l}m - n = 1\\m.n = 20\end{array} \right. = > \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 4\end{array} \right. = > \left\{ \begin{array}{l}a = 35\\b = 28\end{array} \right.\)
Vậy 2 số tự nhiên cần tìm là: a = 35; b = 28
Dạng 4: Biết thương của a, b và ƯCLN hoặc BCNN
Bài 8: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết \(\frac{a}{b}=2,6\) và (a, b) = 5
Do (a, b) = 5 => a = 5m, b = 5n với \(m,n\in N*\), (m, n) = 1 nên \(m,n\in N*\) nên \(\frac{a}{b}=\frac{m}{n}=2,6=\frac{13}{5}=>\frac{m}{n}=\frac{13}{5}\). Vì (m,n) = 1 nên m = 13, n = 5. Khi đó a = 13.5 = 65; b = 5.5 = 25
Vậy 2 số cần tìm là: a = 65; b = 25
Bài 9: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: \(\frac{9}{b}=0,8\) và [a, b] = 140
Giải
Đặt (a, b) = d => a = m.d, b = nd với (m, n) = 1, \(m,n\in N*\)
\(\frac{a}{b}=\frac{md}{nd}=\frac{m}{n}=0,8=\frac{4}{5}\)
Và (m,n) = 1 => m = 4; n = 5
Mặt khác: [a, b] = m.nd Þ 140 = 4.5.d Þ d = 7
Lúc đó a = 4.7 = 28; b = 5.7 = 35
Vậy 2 số cần tìm là a = 28; b = 35
Dạng 5: Tổng hợp
Bài 10: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + 2b = 48 và (a, b) + 3 [a, b] = 114.
Giải
Đặt (a, b) = d => a = dm; b = dn với (m, n) = 1 và [a, b] = dmn.
a + 2b = 48 => d (m + 2n) = 48 (1)
(a, b) + 3 [a, b] => d (1 + 3mn) = 144 (2)
=> Từ (1) và (2) => d thuộc ƯC (48, 144) mà ƯCLN (48, 144) = 6
=> d thuộc Ư(6) = {1; 2; 3; 6} lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và 92) ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn.
Lập bảng:
m | n | a | b |
2 | 3 | 12 | 18 |
6 | 1 | 36 | 6 |
Vậy 2 số cần tìm là: a = 12 và b = 18; a = 36 và b = 6
Bài 11: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: [a, b] + (a, b) = 55
Giải
Đặt (a, b) = d khi đó: a = dm, b = dn (m, n) = 1
Giả sử a < b Þ m < n
Từ ab = (a, b) [a, b] => [a, b] = \(\frac{ab}{(a,b)}=\frac{ab}{s}=\frac{{{d}^{2}}mn}{d}=dmn\)
Theo bài ra ta có: dmn + d = 55 hay d(mn + 1) = 55 => mn + 1 thuộc Ư(55).
Mặt khác mn + 1 > 2. Ta có bảng
d | mn + 1 | mn | m | n | a | b |
11 | 5 | 4 | 1 | 4 | 11 | 44 |
5 | 11 | 10 | 1 | 10 | 5 | 50 |
2 | 5 | 10 | 25 | |||
1 | 55 | 54 | 1 | 54 | 1 | 54 |
2 | 27 | 2 | 27 |
Vậy các cặp số tự nhiên a và b cần tìm là: (11, 44), (5, 10); (10, 25), (1, 54), (2, 27)
Bài 12: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + b = 30, [a, b] = 6(a, b)
Giải
Đặt (a, b) = d thì a = em, b = dn với (m,n) = 1. Do đó ab = d2mn
=> d.6d = d2mn => m.n = 6
Giả sử a < b thì m < n
Ta có bảng:
m | n |
1 | 6 |
2 | 3 |
Mặt khác: a + b = d(m + n) nên
30 = d(m+n) do đó m + n là ước của 30.
Nên chỉ có m = 2, n = 3 khi đó 30 = d (2 + 3) => d = 6
Do đó a = 6 . 2 = 12; b = 6 . 3 = 18
Vậy 2 số cần tìm là 12 và 18.
Bài tập tự giải
(1) tìm 2 số tự nhiên a và b, biết.
a) 1 b = 360, [a, b] = 60
b) (a, b) = 12, [a, b] = 72
c) (a, b) = 6, [a, b] = 180
d) (a, b) = 15, [a, b] = 2100 (a, b)
e) ab = 180, [a, b] = 20 (a, b)
(2). Tìm phân số có giá trị bằng
a) , biết BCNN (a,b) = 300
b) , biết ƯCLN (a, b) = 30
c) , biết ƯCLN (a, b) BCNN (a, b) = 3549
(3). Tìm 2 số tự nhiên a và b biết:
a) [a, b] – (a, b) = 5
b) [a, b] – (a, b) = 35
Từ khóa » Tính Chất Của Ucln Và Bcnn
-
CHUYÊN ĐỀ UCLN VÀ BCNN
-
Lý Thuyết ước Chung Lớn Nhất, Bội Chung Nhỏ Nhất Toán 6
-
Một Dạng Toán Về ƯCLN Và BCNN - Số Học 6
-
Ước Số Chung Lớn Nhất – Wikipedia Tiếng Việt
-
Bội Số Chung Nhỏ Nhất – Wikipedia Tiếng Việt
-
Cách Tìm Ước Chung Lớn Nhất (ƯCLN), Bội Chung Nhỏ Nhất (BCNN ...
-
Các Tính Chất Ước Số Chung Lớn Nhất - Tieng Wiki
-
Chuyên đề Bội Chung Nhỏ Nhất Và Ước Chung Lớn Nhất - Tài Liệu Text
-
Ước Số Chung Lớn Nhất - VOER
-
Ước Chung Lớn Nhất Và Các Bước Tìm ƯCLN - Giáo Viên Việt Nam
-
Chuyên đề Bội – Ước – ƯCLN – BCNN - Bồi Dưỡng HSG Toán 6
-
Nêu Các Quy Tắc Tìm ƯCLN,BCNN Của Hai Hay Nhiều Số. Tìm Mối ...
-
[Sách Giải] Bài 17: Ước Chung Lớn Nhất. Bội Chung Nhỏ Nhất