Ước Số Chung Lớn Nhất - VOER

Các tính chất

* Mọi ước chung của a và b là ước của ƯCLN(a, b).

* ƯCLN(a, b), khi a và b không bằng không cả hai, có thể được định nghĩa tương đương như số nguyên dương d nhỏ nhất có dạng d = a·p + b·q trong đó p và q là các số nguyên. Định lý bày đựoc gọi là đẳng thức Bézout. Các số p và q có thể tính nhờ Giải thuật Euclid mở rộng.

* ƯCLN(a, 0) = |a|, với mọi a ≠ 0, vì mọi số khác không bất kỳ là ước của 0, và ước lớn nhất của a là |a|. Đây là trường hợp cơ sở trong thuật toán Euclid.

* Nếu a là ước của tích b·c, và ƯCLN(a, b) = d, thì a/d là ước của c.

* Nếu m là số nguyên dương, thì ƯCLN(m·a, m·b) = m·ƯCLN(a, b).

* Nếu m là số nguyên bất kỳ , thì ƯCLN(a + m·b, b) = ƯCLN(a, b). Nếu m ước chung (khác 0) của a và b, thì UCLN(a/m, b/m) = ƯCLN(a, b)/m.

* ƯCLN là một hàm có tính nhân theo nghĩa sau: nếu a1 và a2 là nguyên tố cùng nhau, thì ƯCLN(a1·a2, b) = ƯCLN(a1, b)·ƯCLN (a2, b).

* ƯCLN là hàm giao hoán: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, a).

* ƯCLN là hàm kết hợp : ƯCLN(a, ƯCLN(b, c)) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c).

* ƯCLN của ba số được tính nhờ công thức ƯCLN(a, b, c) = ƯCLN(ƯCLN(a, b), c), (hoặc vế kia của tính chất kết hợp. Điều này có thể mở rộng cho số bất kỳ các số nguyên.

* ƯCLN (a, b) quan hệ chặt chẽ với BCNN(a, b): ta có

ƯCLN(a, b)·BCNN(a, b) = a·b.

Công thức này thường được dùng để tính BCNN. Dạng khác của mói quan hệ này là tính chất phân phối:

(a, b), ƯCLN(a, c))

BCNN(a, ƯCLN(b, c)) = ƯCLN(BCNN(a, b), BCNN(a, c)).

* Nếu sử dụng định nghĩa ƯCLN(0, 0) = 0 và BCNN(0, 0) = 0 thì khi đó tập các số tự nhiên trở thành một dàn đầy đủ phân phối với ƯCLN.

* Trong Hệ tọa độ Descartes, ƯCLN(a, b) biểu diễn số các điểm với tọa độ nguyên trên đoạn thẳng nối các điểm (0, 0) và (a, b), trừ chính điểm (0, 0).