Định Nghĩa đạo Hàm

• Khóa học
• Trắc nghiệm
  • Câu hỏi
  • Đề thi
  • Phòng thi trực tuyến
  • Đề tạo tự động
• Bài viết
• Hỏi đáp
• Giải BT
• Tài liệu
  • Đề thi - Kiểm tra
  • Giáo án
• Games
• Đăng nhập / Đăng ký

• Khóa học
• Đề thi
• Phòng thi trực tuyến
• Đề tạo tự động
• Bài viết
• Câu hỏi
• Hỏi đáp
• Giải bài tập
• Tài liệu
• Games
• Nạp thẻ

• Đăng nhập / Đăng ký

Trang chủ / Bài viết / Toán Học 11 / Định nghĩa đạo hàm Định nghĩa đạo hàm

Hướng dẫn học sinh làm quen với định nghĩa và các khái niệm mới về đạo hàm

ctvloga105 6 năm trước 21050 lượt xem | Toán Học 11

Hướng dẫn học sinh làm quen với định nghĩa và các khái niệm mới về đạo hàm

ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

•          ​​​​​​Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b):

          $f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$=$\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}$ (Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0))

•          Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Đạo hàm bên trái, bên phải

• \[f'(x_{0}^{+})=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\].   \[f'(x_{0}^{-})=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}\].

Hệ quả :Hàm \[f(x)\] có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\Leftrightarrow \exists \text{ }f(x_{0}^{+})\] và \[f'(x_{0}^{-})\] đồng thời \[f'(x_{0}^{+})=f'(x_{0}^{-})\].

3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

•   $\bullet $ Hàm số \[f(x)\] có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên \[(a;b)\] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc \[(a;b)\]
•   $\bullet $ Hàm số \[f(x)\] có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên \[\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc \[(a;b)\] đồng thời tồn tại đạo hàm trái \[f'({{b}^{-}})\] và đạo hàm phải \[f'({{a}^{+}})\].

4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

•   $\bullet $ Nếu hàm số \[f(x)\] có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\] thì \[f(x)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\].

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm \[{{x}_{0}}\] nhưng hàm đó không có đạo hàm tại \[{{x}_{0}}\].

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại\[{{x}_{0}} 0.

Ta có \[{f}'\left( 0 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( \Delta x+0 \right)-f\left( 0 \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{\Delta x}}{{{\left( \Delta x \right)}^{2}}}=+\infty \].

Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.

Câu 4.

Chọn C.

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1}-1}{{{(x-1)}^{2}}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1}+1}=\frac{1}{2}$

Vậy $f'(1)=\frac{1}{2}$.

Câu 5.

Chọn D.

Ta có $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+3 \right)=5$

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-7x+4}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+3x-4)=0$

Dẫn tới $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\Rightarrow $ hàm số không liên tục tại $x=1$ nên hàm số không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}=1$.

Câu 6.

Chọn B

Ta có \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{3-\sqrt{4-x}}{4}-\frac{1}{4}}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\sqrt{4-x}}{4x}\]

   \[=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2-\sqrt{4-x} \right)\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}{4x\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{4x\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{4\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}=\frac{1}{16}.\]

Câu 7.

Chọn A.

Ta có \[f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\] nên \[{f}'\left( x \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( \Delta x+0 \right)-f\left( 0 \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}\].

Do \[\underset{\Delta {{x}^{-}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}=-1\ne \underset{\Delta {{x}^{+}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}=1\] nên \[\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \Delta x \right|}{\Delta x}\] không tồn tại.

Câu 8.

Chọn B

Ta có

\[\bullet f\left( 2 \right)=4\]

\[\bullet \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}=4\]

\[\bullet \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\frac{{{x}^{2}}}{2}+bx-6 \right)=2b-8\]

\[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại $x=2$ khi và chỉ khi \[f\left( x \right)\] liên tục tại $x=2$

     \[\Leftrightarrow \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)\Leftrightarrow 2b-8=4\Leftrightarrow b=6.\]

Câu 9.

Chọn A

Ta có

\[\Delta y=f\left( \Delta x+x \right)-f\left( x \right)\]

\[={{\left( \Delta x+x \right)}^{2}}-4\left( \Delta x+x \right)+1-\left( {{x}^{2}}-4x+1 \right)\]

\[=\Delta {{x}^{2}}+2\Delta x.x+{{x}^{2}}-4\Delta x-4x+1-{{x}^{2}}+4x-1=\Delta {{x}^{2}}+2\Delta x.x-4\Delta x=\Delta x\left( \Delta x+2x-4 \right)\]

Câu 10.

Chọn A

(1) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm \[x={{x}_{0}}\]thì \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục tại điểm \[x={{x}_{0}}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.

Phản ví dụ

Lấy hàm \[f\left( x \right)=\left| x \right|\] ta có \[D=\mathbb{R}\] nên hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].

Nhưng ta có 

Nên hàm số không có đạo hàm tại \[x=0\].

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

(3) Nếu \[f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x={{x}_{0}}\] thì chắc chắn \[f\left( x \right)\] không có đạo hàm tại điểm đó.

Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có \[f\left( x \right)\] không liên tục tại \[x={{x}_{0}}\] thì \[f\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.

Câu 11.

Chọn B

Ta có :. Vậy hàm số \[y=\frac{\left| x \right|}{x+1}\] liên tục tại \[x=0\]

Ta có : \[\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\frac{\frac{\left| x \right|}{x+1}-0}{x}=\frac{\left| x \right|}{x\left( x+1 \right)}\](với \[x\ne 0\])

Do đó :

Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của \[\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}\] khi \[x\to 0\].

Vậy hàm số \[y=\frac{\left| x \right|}{x+1}\] không có đạo hàm tại \[x=0\]

Câu 12.

Chọn B.

Ta có

+) $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+x \right)=0$.

+) $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-x \right)=0$.

+) $f\left( 0 \right)=0$.

$\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)$. Vậy hàm số liên tục tại $x=0$.

Mặt khác:

+) ${f}'\left( {{0}^{+}} \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)=1$.

+) ${f}'\left( {{0}^{-}} \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)=-1$.

$\Rightarrow {f}'\left( {{0}^{+}} \right)\ne {f}'\left( {{0}^{-}} \right)$. Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.

Câu 13.

Chọn D

Ta có:\[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+x)=2\]; \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(ax+b)=a+b\]

Hàm có đạo hàm tại \[x=1\] thì hàm liên tục tại \[x=1\] \[\Leftrightarrow a+b=2\] (1)

\[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(x+2)=3\]

\[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax-a}{x-1}=a\](Do\[b=2-a\])

Hàm có đạo hàm tại x = 1

Câu 14.

Chọn A

Hàm số liên tục tại $x=1$ nên Ta có \[a+b=\frac{1}{2}\]

Hàm số có đạo hàm tại $x=1$ nên giới hạn 2 bên của \[\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}\] bằng nhau và Ta có

\[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b-\left( a.1+b \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{a\left( x-1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,a=a\]

\[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{2}}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}{2\left( x-1 \right)}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)}{2}=1\]

Vậy $a=1;b=-\frac{1}{2}$

Câu 15 .

Chọn A

Ta có: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,x\sin \frac{1}{x}=0$

Vậy $f'(0)=0$.

Câu 16.

Chọn A

Ta có $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sin x}{x}.\sin x \right)=0$

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+{{x}^{2}} \right)=0$ nên hàm số liên tục tại $x=0$

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}}=1$ và

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+{{x}^{2}}}{x}=1$

Vậy $f'(0)=1$.

Câu 17.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=-1$ và

$\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\frac{{{x}^{2}}+x+\left| x+1 \right|}{x(x+1)}$

Nên $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{x(x+1)}=0$

$\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x(x+1)}=2$

Do đó $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}\ne \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}=-1$.

Nhận xét: Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x={{x}_{0}}$ thì phải liên tục tại điểm đó.

Bài viết gợi ý:

1. Vi phân của hàm số

2. Các dạng bài tập về qui tắc đếm

3. Xác định tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

4. Hàm số lượng giác (Dạng 4)

5. QUY TẮC NHÂN

6. QUY TẮC CỘNG

7. Chứng Minh Ba Đường Thẳng Đồng Quy

Từ khóa: / định nghĩa đạo hàm / đạo hàm Đề xuất cho bạn Bình luận Loga 0 bình luận Bình luận Facebook Bài viết Mới nhất Xem nhiều Tải Video TikTok / Douyin không có logo chất lượng cao 1 năm trước Cách tính điểm tốt nghiệp THPT Quốc gia 2020 mới nhất : 99% Đỗ Tốt Nghiệp 4 năm trước Chính thức công bố đề Minh Họa Toán năm học 2020 4 năm trước Chuyên đề Câu so sánh trong Tiếng Anh 4 năm trước Chuyên đề: Tính từ và Trạng từ ( Adjectives and Adverbs) 4 năm trước MẸO NHỚ SỐ ĐỈNH, CẠNH, MẶT CỦA 5 KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU LOẠI {p;q} 807926 lượt xem Cách tính điểm tốt nghiệp THPT Quốc gia 2019 mới nhất : 99% Đỗ Tốt Nghiệp 598190 lượt xem Phương pháp xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngọai tiếp tam giác 427525 lượt xem ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 403883 lượt xem Chính thức công bố đề Minh Họa Toán lần 2 năm học 2019 399277 lượt xem 2018 © Loga - Không Ngừng Sáng Tạo - Bùng Cháy Đam Mê Loga Team