Eigenschaften Von Potenzfunktionen: Übersicht

• Online Lernen
• Mathematik Aufgaben
• Funktionen
• Potenzfunktionen
• Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht

Mathematik Aufgaben Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht Mathematik > Funktionen Video Lerntext Übungen Fragen? Mit dem Laden des YouTube-Videos akzeptieren Sie die Verarbeitung Ihrer personenbezogenen Daten gemäß unserer Datenschutzerklärung. YouTube-Video laden YouTube immer erlauben Link teilen x Der Link wurde in die Zwischenablage kopiert Inhaltsverzeichnis:

• Potenzfunktion - Definition
• 1. Fall: gerader, positiver Exponent
• 2. Fall: ungerader, positiver Exponent
• 3. Fall: gerader, negativer Exponent
• 4.Fall: ungerader, negativer Exponent
• Potenzfunktionen - Sonderfall

Ihr nehmt gerade in Mathe Potenzfunktionen durch? Du willst nochmal in Ruhe alles zu diesem Thema lernen und vor allem alles verstehen? In diesem Lerntext erklären wir dir die Eigenschaften der jeweiligen Potenzfunktionen. Wir zeigen dir außerdem zu den vier Arten von Potenzfunktionen die Graphen, damit du weißt, wie sie überhaupt aussehen.

Im Folgenden findest du eine Übersicht zu den Eigenschaften von Potenzfunktionen.

Potenzfunktion - Definition

Merke

Potenzfunktionen werden laut Definition Funktionen der Form $f(x) = ax^n$ für beliebige reelle Zahlen $a$ und $n$ genannt.

Gut zu wissen

Hinweis

Wie du Potenzfunktionen zeichnest, kannst du im Lerntext Potenzfunktionen zeichnen nachlesen und lernen. Außerdem kannst du mehr über Potenzfunktionen mit natürlichen, negativen und rationalen Exponenten in unseren Lerntexten Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten, Potenzfunktionen mit negativem Exponenten und Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten lernen.

Im Folgenden werden wir Potenzfunktionen mit $a=1$, also $f(x) = x^n$ behandeln. Der Exponent soll eine ganze Zahl sein.

Wir unterscheiden vier Arten von Potenzfunktionen:

1. Fall: gerader, positiver Exponent

Der Exponent der Funktion ist gerade und positiv. Der Graph einer solchen Funktion liegt oberhalb der x-Achse, also nur im ersten und zweiten Quadranten des Koordinatensystems. Die einzige Nullstelle der Funktion liegt im Ursprung. Der Graph der Funktion geht außerdem immer durch die Punkte $P_1(-1\mid1)$ und $P_2(1\mid1)$.

Merke

Potenzfunktionen mit einem positiven geraden Exponenten

Die Funktionen gehen immer durch die Punkte $P_1(-1\mid1)$, $N(0\mid0)$ und $P_2(1\mid1)$.

Die einzige Nullstelle liegt im Ursprung, $N(0\mid0)$.

Die Definitionsmenge dieser Potenzfunktionen sind alle reellen Zahlen, also $D = \mathbb{R}$.

Der Wertebereich sind alle nichtnegativen reellen Zahlen: $W: y \in \mathbb{R}, y \ge 0$.

Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für die Grenzwerte gilt: $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = \infty$ und $\lim\limits_{x \to \infty} x^n = \infty$

Potenzfunktionen: Exponent gerade und positiv

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal

• Über 700 Lerntexte & Videos
• Über 250.000 Übungen & Lösungen

Jetzt gratis testen

2. Fall: ungerader, positiver Exponent

Der Exponent der Funktion ist ungerade und positiv. Die Funktion verläuft, wie im Bild zu sehen, aus dem Negativen, über den Ursprung, ins Positive. Die einzige Nullstelle liegt im Punkt $N(0\mid0)$. Dieser Punkt ist Sattelpunkt für jede dieser Funktionen (außer $f(x)=x=x^1$). Alle Funktionen gehen durch die folgenden drei Punkte: $P_1(-1\mid-1)$, $N(0\mid0)$ und $P_2(1\mid1)$

Merke

Potenzfunktionen mit einem positiven ungeraden Exponenten

Die Funktionen gehen alle durch die Punkte: $P_1(-1\mid-1)$, $N(0\mid0)$ und $P_2(1\mid1)$

Die einzige Nullstelle liegt im Ursprung $(0\mid0)$.

Die Definitionsmenge und der Wertebereich sind die Menge der reellen Zahlen, also $D = \mathbb{R}$ und $W = \mathbb{R}$.

Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für die Grenzwerte gilt:

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = -\infty$ und $\lim\limits_{x \to \infty} x^n = \infty$

Potenzfunktionen: Exponent ungerade und positiv

3. Fall: gerader, negativer Exponent

Beim dritten Fall handelt es sich um Funktionen mit einem negativen geraden Exponenten. Der Funktionsgraph liegt auch hier nur im positiven Bereich, also oberhalb der x-Achse. Der Graph schmiegt sich an beide Koordinatenachsen an, das heißt, die Koordinatenachsen sind hier Asymptoten.

Gut zu wissen

Hinweis

Asymptoten sind in unserem Fall Geraden, an die sich unser Funktionsgraph unendlich nahe annähert. Bei der Funktion $f(x) = x^{-2}$ sind beide Koordinatenachsen Asymptoten (siehe Bild).

Merke

Potenzfunktionen mit einem negativen geraden Exponenten

Es gibt keine Nullstelle.

Die Funktionen gehen durch die Punkte $P_1(-1\mid1)$ und $P_2(1\mid1)$.

Der Definitionsbereich sind alle von Null verschiedenen reellen Zahlen: $D : x \in \mathbb{R}, x \neq 0$.

Der Wertebereich sind alle positiven reellen Zahlen $W : y \in \mathbb{R}, y > 0$.

Die Funktionen sind alle achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für die Grenzwerte gilt:

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = 0$ und $\lim\limits_{x \to \infty} x^n = 0$. Die x-Achse ist also Asymptote.

Ferner gilt:

$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} x^n = \infty$ und $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} x^n = \infty$. Die y-Achse ist also Asymptote

Potenzfunktionen gerade und negativ

4.Fall: ungerader, negativer Exponent

Der letzte Fall behandelt Funktionen, die einen ungeraden negativen Exponenten besitzen. Solche Funktionen sind ebenfalls, wie Funktionen mit ungeradem positivem Exponenten, punktsymmetrisch zum Ursprung.

Merke

Potenzfunktionen mit einem negativen ungeraden Exponenten

Die Funktionen gehen durch die Punkte $P_1(-1\mid-1)$ und $P_2(1\mid1)$.

Es gibt keine Nullstelle.

Der Definitionsbereich sind alle von Null verschiedenen reellen Zahlen: $D : x \in \mathbb{R}, x \neq 0$. Der Wertebereich sind alle von Null verschiedenen reellen Zahlen: $W : y \in \mathbb{R}, y \neq 0$.

Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für die Grenzwerte gilt:

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = 0$ und $\lim\limits_{x \to \infty} x^n = 0$. Die x-Achse ist also Asymptote.

Ferner gilt:

$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} x^n = -\infty$ und $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} x^n = \infty$. Die y-Achse ist also Asymptote

Potenzfunktionen ungerade und negativ

Potenzfunktionen - Sonderfall

Ein Sonderfall bei den Potenzfunktionen ist die Funktion, deren Exponent 0 ist, $f(x) = x^0$. Der Graph dieser Funktion ist eine Parallele zur y-Achse, die durch den Punkt P(0|1) verläuft.

Sonderfall: Potenzfunktionen mit dem Exponenten Null

Nun hast du eine detaillierte Übersicht über die unterschiedlichen Potenzfunktionen in Mathe. Ob du alles verstanden hast, kannst du anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)

Teste dein Wissen! Übungsaufgaben

• Übung 1
• Übung 2
• Übung 3
• Übung 4
• Mehr

Teste dein Wissen!

Zu welcher Art Potenzfunktion gehört dieser Funktionsgraph?

Zu den Potenzfunktionen mit geradem negativem Exponenten.

Zu den Potenzfunktionen mit ungeradem geradem Exponenten.

Zu den Potenzfunktionen mit ungeradem negativem Exponenten.

Zu den Potenzfunktionen mit geradem positivem Exponenten.

Teste dein Wissen!

Welche Aussagen sind richtig?

(Es können mehrere Antworten richtig sein)

Die Funktion $f(b)=b^{74,5}$ ist eine Potenzfunktion mit positiv geradem Exponenten.

Die Funktion $f(x)=x^2$ ist eine Potenzfunktion mit positiv geradem Exponenten.

Die Funktion $f(a)=a^1$ ist eine Potenzfunktion mit positiv ungeradem Exponenten.

Die Funktion $f(x)=x^{-5}$ ist eine Potenzfunktion mit negativ ungeradem Exponenten.

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter! JETZT WEITERLERNEN! Teste dein Wissen!

Welche Aussagen stimmen über folgende Funktion: $g(x)= x^{-3}$

(Es können mehrere Antworten richtig sein)

Die Funktion hat zwei Asymptoten. Die x-Achse und die y-Achse.

Die Funktion kann nicht definiert werden, da g(x) kein Name für eine Funktion ist.

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems.

Die Funktion hat genau eine Nullstelle, Punkt P(1|0).

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter! JETZT WEITERLERNEN! Teste dein Wissen!

Was sind die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen, ungeraden Exponenten?

1. keine Nullstellen,2. Punktsymmetrie zum Ursprung,3. D = W = ℝ\{0,1,2,3,4,5,6},4. Gemeinsame Punkte in P(-1|-1), P(1|1), P(5|5),5. Asymptote: y-Achse.

1. zwei Nullstellen bei P(-1|-1), P(1|1),2. Punktsymmetrie zu P(-1|-1),3. D = W = ℝ\{0},4. Gemeinsamer Punkt in P(-1|-1),5. Asymptote: x-Achse.

1. keine Nullstellen,2. Punktsymmetrie zum Ursprung,3. D = W = ℝ\{0},4. Gemeinsame Punkte in P(-1|-1), P(1|1),5. Asymptoten: x-Achse, y-Achse.

1. eine Nullstelle in P(0|0),2. Punktsymmetrie zum Ursprung,3. D = W = ℝ,4. Gemeinsamer Punkt in P(5|10),5. Asymptoten: x-Achse, y-Achse.

Aufgabenblätter & Lösungen Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.

Du möchtest mehr Aufgaben? Teste kostenlos unser Lernportal mit vielen Übungen & Lösungen.

Jetzt gratis anmelden & testen

Du brauchst mehr Hilfe? Wir unterstützen Dich!

Online-Lernen

Wissen vertiefen?

Online-Lernportal

Wir unterstützen Dich mit:

• Lernvideos
• Über 250.000Übungsaufgaben - auch als PDF inkl. Lösungen
• Hausaufgaben Live-Chat

Jetzt gratis anmelden Online-Nachhilfe

Online-Nachhilfe

Einzelnachhilfe

Du benötigst individuelle Hilfe?

Dann teste unsere Online-Einzelnachhilfe gerne in einer gratis Probestunde. Mehr Infos zur Online-Nachhilfe

Gratis Probestunde sichern Nachhilfe vor Ort

Nachhilfe vor Ort

Kleine Lerngruppen

Wenn Du gerne mit anderen vor Ort lernst, dann ist unsere Nachhilfe auch in Deiner Nähe.

Teste uns gerne in 2 gratis Probestunden.

Jetzt gratis testen

Unsere Kunden über den Studienkreis Feedback von Eltern & Schüler:innen

Bewertung bundesweit 03.11.2025 Sehr gut Qualität 31.10.2025 Die Organisation war mit Frau Ay sehr gut. Unser Kind hat für den Start in den Schulalltag Nachhilfe im Fach Englisch und Deutsch bekommen. Dort wurden in den je 45 Minuten Stunden die Hausaufgaben und die Stunden nachgearbeitet. Die Lehrer waren engagiert, jedoch haben mir in Deutsch Übungstexte gefehlt. Dort wurde im Arbeitsheft gearbeitet, jedoch keine freien Texte geschrieben. Im Englisch hat sich der Lehrer ebenfalls am Buch orientiert, vielleicht zu viel Theorie. Aber alles in allem würde ich den Studienkreis weiter empfehlen.weiterlesen 25.10.2025 Unser Sohn (10. Klasse, Gymnasium) besucht Privatkurse beim Studienkreis, Die Nachhilfe und innerhalb von wenigen Monaten merkt er deutliche Fortschrittei im Bereich Naturwissenschaften. Seine Schulleistungen bestätigen den Erfolg und wir sind alle begeistert und emphelen dieses Zentrum mit Nachdruck!weiterlesen

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema Mathematik > Funktionen

Quadratische Funktionen bestimmen leicht gemacht Wie verschiebt man eine Normalparabel? Quadratische Funktionen: Nullstellen berechnen Mitternachtsformel, abc-Formel Quadratische Funktionen zeichnen Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung lösen Quadratischen Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel - so geht's! Quadratische Funktionen: Aufgaben mit Lösungen Was ist eine quadratische Funktion? Streckung und Stauchung einer Normalparabel Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten Potenzfunktionen mit negativem Exponenten Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt Potenzfunktionen zeichnen Was ist eine Wurzelfunktion? - Erklärungen Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen Funktionen mit der Faktorregel ableiten Funktionen mit der Potenzregel ableiten Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben Ableitung: Bedeutung im Sachzusammenhang Wie wende ich die Kettenregel an? Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln Funktionen mit der Quotientenregel ableiten Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften Was sind e-Funktionen? Ableiten und Stammfunktion leicht erklärt Lineares Wachstum und lineare Abnahme Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme Achsenschnittpunkte von Funktionen berechnen Kurvendiskussion Schritt für Schritt erklärt Wie bildet man eine Umkehrfunktion? Was ist eine mathematische Funktion? Was sind senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten? Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen? Tangentengleichung bestimmen einfach erklärt Kosinusfunktion und ihre Eigenschaften Kosinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode Sinusfunktion und ihre Eigenschaften Sinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode

Klassenstufen in Mathematik

Mathematik Klasse 5 Mathematik Klasse 6 Mathematik Klasse 7 Mathematik Klasse 8 Mathematik Klasse 9 Mathematik Klasse 10

Weitere Fächer Lernen und Üben

Deutsch Übungen Englisch Übungen Physik Aufgaben Chemie Übungen Französisch Übungen Latein Übungen Biologie Übungen

Nachhilfe-Lehrer in deiner Nähe finden

Nachhilfe Berlin Nachhilfe München Nachhilfe Nürnberg Nachhilfe Köln Nachhilfe Düsseldorf Nachhilfe Dortmund Nachhilfe Hamburg Nachhilfe Hannover Nachhilfe Bremen Nachhilfe Leipzig Nachhilfe Dresden Weitere Nachhilfe-Standorte

Noch Fragen? Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20 Gratis Beratung (heute 7-22 Uhr) Nachricht schreiben Studienkreis Lernportal Videos, Übungen, Arbeitsblätter Jetzt kostenlos entdecken 0800 111 12 20 Gratis Beratung (heute 7-22 Uhr) Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Vorname Nachname E-Mail Werbeeinwilligung (freiwillig): Ich möchte zukünftig über individuelle Angebote, Vorteile oder Neuerungen des Studienkreises per E-Mail oder Telefon informiert werden. Du kannst deine Einwilligung jederzeit hier oder am Ende jeder E-Mail über den Abmeldelink widerrufen.

Falls du vom Studienkreis keine weiteren Informationen mehr erhalten möchtest, kannst du uns dies jederzeit mit Wirkung in die Zukunft an die E-Mail-Adresse [email protected] mitteilen.

Nur noch ein Schritt: Passwort festlegen!

Wir haben dir eine E-Mail zur Festlegung deines Passworts an geschickt.

• Öffne die E-Mail und klicke auf den Link zur Festlegung deines Passworts.
• Leg dein Passwort fest und du kannst sofort weiterlernen.

Keine E-Mail erhalten? Schaue bitte in deinem Spam-Ordner, Werbung-Ordner nach oder E-Mail erneut senden.

Die E-Mail wurde erfolgreich versendet.

Beim Versand der E-Mail ist ein Fehler aufgetreten.

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/ 8565