Eigenschaften Von Potenzfunktionen: Übersicht

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Mit dem Laden des YouTube-Videos akzeptieren Sie die Verarbeitung Ihrer personenbezogenen Daten gemäß unserer Datenschutzerklärung. YouTube-Video laden YouTube immer erlauben Inhaltsverzeichnis:

• Potenzfunktion - Definition
• 1. Fall: gerader, positiver Exponent
• 2. Fall: ungerader, positiver Exponent
• 3. Fall: gerader, negativer Exponent
• 4.Fall: ungerader, negativer Exponent
• Potenzfunktionen - Sonderfall

Ihr nehmt gerade in Mathe Potenzfunktionen durch? Du willst nochmal in Ruhe alles zu diesem Thema lernen und vor allem alles verstehen? In diesem Lerntext erklären wir dir die Eigenschaften der jeweiligen Potenzfunktionen. Wir zeigen dir außerdem zu den vier Arten von Potenzfunktionen die Graphen, damit du weißt, wie sie überhaupt aussehen.

Im Folgenden findest du eine Übersicht zu den Eigenschaften von Potenzfunktionen.

Potenzfunktion - Definition

Merke

Potenzfunktionen werden laut Definition Funktionen der Form $f(x) = ax^n$ für beliebige reelle Zahlen $a$ und $n$ genannt.

Gut zu wissen

Hinweis

Wie du Potenzfunktionen zeichnest, kannst du im Lerntext Potenzfunktionen zeichnen nachlesen und lernen. Außerdem kannst du mehr über Potenzfunktionen mit natürlichen, negativen und rationalen Exponenten in unseren Lerntexten Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten, Potenzfunktionen mit negativem Exponenten und Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten lernen.

Im Folgenden werden wir Potenzfunktionen mit $a=1$, also $f(x) = x^n$ behandeln. Der Exponent soll eine ganze Zahl sein.

Wir unterscheiden vier Arten von Potenzfunktionen:

1. Fall: gerader, positiver Exponent

Der Exponent der Funktion ist gerade und positiv. Der Graph einer solchen Funktion liegt oberhalb der x-Achse, also nur im ersten und zweiten Quadranten des Koordinatensystems. Die einzige Nullstelle der Funktion liegt im Ursprung. Der Graph der Funktion geht außerdem immer durch die Punkte $P_1(-1\mid1)$ und $P_2(1\mid1)$.

Merke

Potenzfunktionen mit einem positiven geraden Exponenten

Die Funktionen gehen immer durch die Punkte $P_1(-1\mid1)$, $N(0\mid0)$ und $P_2(1\mid1)$.

Die einzige Nullstelle liegt im Ursprung, $N(0\mid0)$.

Die Definitionsmenge dieser Potenzfunktionen sind alle reellen Zahlen, also $D = \mathbb{R}$.

Der Wertebereich sind alle nichtnegativen reellen Zahlen: $W: y \in \mathbb{R}, y \ge 0$.

Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für die Grenzwerte gilt: $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = \infty$ und $\lim\limits_{x \to \infty} x^n = \infty$

Potenzfunktionen: Exponent gerade und positiv

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2. Fall: ungerader, positiver Exponent

Der Exponent der Funktion ist ungerade und positiv. Die Funktion verläuft, wie im Bild zu sehen, aus dem Negativen, über den Ursprung, ins Positive. Die einzige Nullstelle liegt im Punkt $N(0\mid0)$. Dieser Punkt ist Sattelpunkt für jede dieser Funktionen (außer $f(x)=x=x^1$). Alle Funktionen gehen durch die folgenden drei Punkte: $P_1(-1\mid-1)$, $N(0\mid0)$ und $P_2(1\mid1)$

Merke

Potenzfunktionen mit einem positiven ungeraden Exponenten

Die Funktionen gehen alle durch die Punkte: $P_1(-1\mid-1)$, $N(0\mid0)$ und $P_2(1\mid1)$

Die einzige Nullstelle liegt im Ursprung $(0\mid0)$.

Die Definitionsmenge und der Wertebereich sind die Menge der reellen Zahlen, also $D = \mathbb{R}$ und $W = \mathbb{R}$.

Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für die Grenzwerte gilt:

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = -\infty$ und $\lim\limits_{x \to \infty} x^n = \infty$

Potenzfunktionen: Exponent ungerade und positiv

3. Fall: gerader, negativer Exponent

Beim dritten Fall handelt es sich um Funktionen mit einem negativen geraden Exponenten. Der Funktionsgraph liegt auch hier nur im positiven Bereich, also oberhalb der x-Achse. Der Graph schmiegt sich an beide Koordinatenachsen an, das heißt, die Koordinatenachsen sind hier Asymptoten.

Gut zu wissen

Hinweis

Asymptoten sind in unserem Fall Geraden, an die sich unser Funktionsgraph unendlich nahe annähert. Bei der Funktion $f(x) = x^{-2}$ sind beide Koordinatenachsen Asymptoten (siehe Bild).

Merke

Potenzfunktionen mit einem negativen geraden Exponenten

Es gibt keine Nullstelle.

Die Funktionen gehen durch die Punkte $P_1(-1\mid1)$ und $P_2(1\mid1)$.

Der Definitionsbereich sind alle von Null verschiedenen reellen Zahlen: $D : x \in \mathbb{R}, x \neq 0$.

Der Wertebereich sind alle positiven reellen Zahlen $W : y \in \mathbb{R}, y > 0$.

Die Funktionen sind alle achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für die Grenzwerte gilt:

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = 0$ und $\lim\limits_{x \to \infty} x^n = 0$. Die x-Achse ist also Asymptote.

Ferner gilt:

$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} x^n = \infty$ und $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} x^n = \infty$. Die y-Achse ist also Asymptote

Potenzfunktionen gerade und negativ

4.Fall: ungerader, negativer Exponent

Der letzte Fall behandelt Funktionen, die einen ungeraden negativen Exponenten besitzen. Solche Funktionen sind ebenfalls, wie Funktionen mit ungeradem positivem Exponenten, punktsymmetrisch zum Ursprung.

Merke

Potenzfunktionen mit einem negativen ungeraden Exponenten

Die Funktionen gehen durch die Punkte $P_1(-1\mid-1)$ und $P_2(1\mid1)$.

Es gibt keine Nullstelle.

Der Definitionsbereich sind alle von Null verschiedenen reellen Zahlen: $D : x \in \mathbb{R}, x \neq 0$. Der Wertebereich sind alle von Null verschiedenen reellen Zahlen: $W : y \in \mathbb{R}, y \neq 0$.

Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für die Grenzwerte gilt:

$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n = 0$ und $\lim\limits_{x \to \infty} x^n = 0$. Die x-Achse ist also Asymptote.

Ferner gilt:

$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} x^n = -\infty$ und $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} x^n = \infty$. Die y-Achse ist also Asymptote

Potenzfunktionen ungerade und negativ

Potenzfunktionen - Sonderfall

Ein Sonderfall bei den Potenzfunktionen ist die Funktion, deren Exponent 0 ist, $f(x) = x^0$. Der Graph dieser Funktion ist eine Parallele zur y-Achse, die durch den Punkt P(0|1) verläuft.

Sonderfall: Potenzfunktionen mit dem Exponenten Null

Nun hast du eine detaillierte Übersicht über die unterschiedlichen Potenzfunktionen in Mathe. Ob du alles verstanden hast, kannst du anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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Zu welcher Art Potenzfunktion gehört dieser Funktionsgraph?

Zu den Potenzfunktionen mit geradem negativem Exponenten.

Zu den Potenzfunktionen mit ungeradem geradem Exponenten.

Zu den Potenzfunktionen mit ungeradem negativem Exponenten.

Zu den Potenzfunktionen mit geradem positivem Exponenten.

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Welche Aussagen sind richtig?

(Es können mehrere Antworten richtig sein)

Die Funktion $f(b)=b^{74,5}$ ist eine Potenzfunktion mit positiv geradem Exponenten.

Die Funktion $f(x)=x^2$ ist eine Potenzfunktion mit positiv geradem Exponenten.

Die Funktion $f(a)=a^1$ ist eine Potenzfunktion mit positiv ungeradem Exponenten.

Die Funktion $f(x)=x^{-5}$ ist eine Potenzfunktion mit negativ ungeradem Exponenten.

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Welche Aussagen stimmen über folgende Funktion: $g(x)= x^{-3}$

(Es können mehrere Antworten richtig sein)

Die Funktion hat zwei Asymptoten. Die x-Achse und die y-Achse.

Die Funktion kann nicht definiert werden, da g(x) kein Name für eine Funktion ist.

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems.

Die Funktion hat genau eine Nullstelle, Punkt P(1|0).

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Was sind die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen, ungeraden Exponenten?

1. keine Nullstellen,2. Punktsymmetrie zum Ursprung,3. D = W = ℝ\{0,1,2,3,4,5,6},4. Gemeinsame Punkte in P(-1|-1), P(1|1), P(5|5),5. Asymptote: y-Achse.

1. zwei Nullstellen bei P(-1|-1), P(1|1),2. Punktsymmetrie zu P(-1|-1),3. D = W = ℝ\{0},4. Gemeinsamer Punkt in P(-1|-1),5. Asymptote: x-Achse.

1. keine Nullstellen,2. Punktsymmetrie zum Ursprung,3. D = W = ℝ\{0},4. Gemeinsame Punkte in P(-1|-1), P(1|1),5. Asymptoten: x-Achse, y-Achse.

1. eine Nullstelle in P(0|0),2. Punktsymmetrie zum Ursprung,3. D = W = ℝ,4. Gemeinsamer Punkt in P(5|10),5. Asymptoten: x-Achse, y-Achse.

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14.12.2024 , von Christiane S. Mein Sohn ist sehr zufrieden mit seinem Nachhilfelehrer. Vielen Dank für die gute Arbeit! 12.12.2024 , von Yvonne E. Mein Sohn ist sehr zufrieden / Er ist selbstbewusster / Der Studienkreis scheint ihm halt zu geben!! Gerade das 1. Gespräch mit Frau Haase, hat nicht nur mir als Mutter das Gefühl gegeben, dass "Alles gut" wird, auch die Art wie sie und was sie zu meinem Sohn sagte, hat uns beiden das Gefühl gegeben, das wir hier ankommen dürfen. Ich habe und ich werde diesen Studienkreis weiterempfehlen. Vielen Dank!weiterlesen 12.12.2024 , von Melanie B. Freundliches und kompetentes Personal. Mein Kind gefällt es gut,alles wird in Ruhe erklärt.Erfolg steigernd. Wir sind sehr zufrieden.weiterlesen Mathematik > Funktionen

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