Potenzfunktionen | Mathebibel
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In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Potenzfunktionen sind.
Inhaltsverzeichnis- Bestandteile
- Funktionsgleichung
- Definitionsmenge
- Wertemenge
- Potenzfunktionen mit positiven Exponenten
- Gerade Exponenten
- Ungerade Exponenten
- Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (1)
- Potenzfunktionen mit negativen Exponenten
- Gerade Exponenten
- Ungerade Exponenten
- Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (2)
- Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
Bestandteile
Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
Funktionsgleichung
Potenzfunktionen sind Funktionen, in denen die Variable $x$ in der Basis einer Potenz steht:
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$
heißt Potenzfunktion.
Dabei ist $\mathbb{Z}$ die Menge der ganzen Zahlen.
Warum darf der Exponent nicht gleich $0$ sein?
Laut den Potenzgesetzen gilt: $x^0 = 1$.
Für $n = 0$ wird die Potenzfunktion folglich zu einer konstanten Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^0 = 1$.
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.
Bei Potenzfunktionen hängt die Definitionsmenge davon ab, welche Werte wir für den Exponenten zulassen. Eine ausführliche Besprechung folgt in den nächsten Abschnitten.
Wertemenge
Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.
Bei Potenzfunktionen hängt die Wertemenge davon ab, welche Werte wir für den Exponenten zulassen. Eine ausführliche Besprechung folgt in den nächsten Abschnitten.
Potenzfunktionen mit positiven Exponenten
In diesem Abschnitt untersuchen wir folgende Funktionen: $f(x) = x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$.
Die Graphen von Potenzfunktionen heißen Parabeln $n$-ter Ordnung, wenn der Exponent $n$ positiv und $n > 1$ ist.
Sonderfall: Für $n = 1$ ist der Graph der Potenzfunktion eine Gerade (Lineare Funktionen).
Beispiel 1
Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ ist eine Parabel 2. Ordnung.
Beispiel 2
Der Graph der Funktion $f(x) = x^3$ ist eine Parabel 3. Ordnung.
Die Eigenschaften der Funktionen unterscheiden sich danach, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind.
Gerade Exponenten
Beispiel 3
Als Beispiele dienen die Funktionen $f(x) = x^2$ und $f(x) = x^4$.
Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} x & -1{,}5 & {\color{blue}-1} & -0{,}5 & {\color{blue}0} & 0{,}5 & {\color{blue}1} & 1{,}5 \\ \hline x^2 & 2{,}25 & {\color{blue}1} & 0{,}25 & {\color{blue}0} & 0{,}25 & {\color{blue}1} & 2{,}25 \\ \hline x^4 & 5{,}0625 & {\color{blue}1} & 0{,}0625 & {\color{blue}0} & 0{,}0625 & {\color{blue}1} & 5{,}0625 \end{array} $$
Die Abbildung zeigt den Graphen der
Potenzfunktion $f(x) = x^2$(= Parabel 2. Ordnung)
Potenzfunktion $f(x) = x^4$(= Parabel 4. Ordnung)
Ungerade Exponenten
Beispiel 4
Als Beispiele dienen die Funktionen $f(x) = x^3$ und $f(x) = x^5$.
Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} x & -1{,}5 & {\color{blue}-1} & -0{,}5 & {\color{blue}0} & 0{,}5 & {\color{blue}1} & 1{,}5 \\ \hline x^3 & -3{,}375 & {\color{blue}-1} & -0{,}125 & {\color{blue}0} & 0{,}125 & {\color{blue}1} & 3{,}375 \\ \hline x^5 & -7{,}59375 & {\color{blue}-1} & 0{,}03125 & {\color{blue}0} & 0{,}03125 & {\color{blue}1} & 7{,}59375 \end{array} $$
Die Abbildung zeigt den Graphen der
Potenzfunktion $f(x) = x^3$(= Parabel 3. Ordnung)
Potenzfunktion $f(x) = x^5$(= Parabel 5. Ordnung)
Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (1)
Potenzfunktionen mit positiven ganzzahligen Exponenten haben folgende Eigenschaften:
| $\boldsymbol{f(x) = x^n}$$\text{mit } \boldsymbol{n \in \mathbb{N}}$ | $\boldsymbol{n}$ gerade | $\boldsymbol{n}$ ungerade |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ | $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ |
| Wertemenge | $\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}_{0}$ | $\mathbb{W} = \mathbb{R}$ |
| Graph | Parabel $n$-ter Ordnung | Parabel $n$-ter Ordnung |
| Symmetrie | achsensymmetrisch(zur $y$-Achse) | punktsymmetrisch(zum Koordinatenursprung) |
| GemeinsamePunkte | $(-1|1)$, $(0|0)$, $(1|1)$ | $(-1|{-1})$, $(0|0)$, $(1|1)$ |
| Monotonie | $x < 0$: streng monoton fallend$x > 0$: streng monoton steigend | streng monton steigend |
Potenzfunktionen mit negativen Exponenten
In diesem Abschnitt untersuchen wir folgende Funktionen: $f(x) = x^{-n}$ mit $n \in \mathbb{N}$.
Die Graphen von Potenzfunktionen heißen Hyperbeln $n$-ter Ordnung, wenn der Exponent negativ ist.
Beispiel 5
Der Graph der Funktion $f(x) = x^{-2}$ ist eine Hyperbel 2. Ordnung.
Beispiel 6
Der Graph der Funktion $f(x) = x^{-3}$ ist eine Hyperbel 3. Ordnung.
Die Eigenschaften der Funktionen unterscheiden sich danach, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind.
Gerade Exponenten
Beispiel 7
Als Beispiele dienen die Funktionen $f(x) = x^{-2}$ und $f(x) = x^{-4}$.
Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c} x & -1{,}5 & {\color{blue}-1} & -0{,}5 & 0{,}5 & {\color{blue}1} & 1{,}5 \\ \hline x^{-2} & 0{,}\bar{4} & {\color{blue}1} & 4 & 4 & {\color{blue}1} & 0{,}\bar{4} \\ \hline x^{-4} & \approx 0{,}1975 & {\color{blue}1} & 16 & 16 & {\color{blue}1} & \approx 0{,}1975 \end{array} $$
Die Abbildung zeigt den Graphen der
Potenzfunktion $f(x) = x^{-2}$(= Hyperbel 2. Ordnung)
Potenzfunktion $f(x) = x^{-4}$(= Hyperbel 4. Ordnung)
Ungerade Exponenten
Beispiel 8
Als Beispiele dienen die Funktionen $f(x) = x^{-3}$ und $f(x) = x^{-5}$.
Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c} x & -1{,}5 & {\color{blue}-1} & -0{,}5 & 0{,}5 & {\color{blue}1} & 1{,}5 \\ \hline x^{-3} & \approx -0{,}2963 & {\color{blue}-1} & -8 & 8 & {\color{blue}1} & \approx 0{,}2963 \\ \hline x^{-5} & \approx -0{,}1317 & {\color{blue}-1} & -32 & 32 & {\color{blue}1} & \approx 0{,}1317 \end{array} $$
Die Abbildung zeigt den Graphen der
Potenzfunktion $f(x) = x^{-3}$(= Hyperbel 3. Ordnung)
Potenzfunktion $f(x) = x^{-5}$(= Hyperbel 5. Ordnung)
Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (2)
Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten haben folgende Eigenschaften:
| $\boldsymbol{f(x) = x^{-n}}$$\text{mit } \boldsymbol{n \in \mathbb{N}}$ | $\boldsymbol{n}$ gerade | $\boldsymbol{n}$ ungerade |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{0\}$ | $\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{0\}$ |
| Wertemenge | $\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}$ | $\mathbb{W} = \mathbb{R}\setminus\{0\}$ |
| Graph | Hyperbel $n$-ter Ordnung | Hyperbel $n$-ter Ordnung |
| Symmetrie | achsensymmetrisch(zur $y$-Achse) | punktsymmetrisch(zum Koordinatenursprung) |
| GemeinsamePunkte | $(-1|1)$, $(1|1)$ | $(-1|{-1})$, $(1|1)$ |
| Monotonie | $x < 0$: streng monoton steigend$x > 0$: streng monoton fallend | streng monoton fallend |
| Asymptoten* | $x$-Achse, $y$-Achse | $x$-Achse, $y$-Achse |
* Wenn sich der Graph einer Funktion immer mehr einer Gerade nähert (an eine Gerade anschmiegt), ohne sie zu schneiden, nennt man diese Gerade Asymptote.
Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
In diesem Kapitel haben wir uns auf Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten beschränkt. Wenn wir auch rationale Exponenten zulassen, kommen auch Brüche als Exponenten in Frage.
Laut den Potenzgesetzen gilt für Potenzen mit rationalen Exponenten:
$$ x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} $$
Bei $\sqrt[n]{x^m}$ handelt es sich um die n-te Wurzel aus x hoch m.
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Wurzelfunktionen.
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