Potenzfunktionen - Einführung - Matheretter

Potenzfunktionen - Einführung

Lesezeit: 13 min Matheretter

Video Einführung Potenzfunktionen Einführung Potenzfunktionen

Potenzfunktionen haben Funktionsgleichungen der Form f(x) = a·xn, wobei n ∈ ℤ und a ∈ ℝ.

Je nach Exponent n und Vorfaktor a ergeben sich verschiedene Eigenschaften, die im Folgenden in der Übersicht dargestellt sind.

Um die Inhalte verstehen zu können, erinnern wir uns, wie die Symmetrie funktioniert, was Monotonie ist, was Definitionbereich und Wertebereich sind.

Positiver gerader Exponent n (n ≥ 1)

Video Graphen von Potenzfunktionen Graphen von Potenzfunktionen

Beispiel: Graph von f(x) = x4

Graph öffnen

Symmetrie	achsensymmetrisch zur y-Achse
Monotonie	streng monoton fallend für x ∈ ℝ0- und streng monoton steigend für x ∈ ℝ0+
Definitionsmenge	D = ℝ
Wertebereich	W = ℝ0+
Gemeinsame Punkte	(-1|+1), (0|0), (1|1), wenn a=1

Positiver ungerader Exponent n (n ≥ 1)

Beispiel: Graph von f(x) = x5

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Symmetrie	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotonie	streng monoton steigend für x ∈ ℝ
Definitionsmenge	D = ℝ
Wertebereich	W = ℝ
Gemeinsame Punkte	(-1|-1), (0|0), (1|1), wenn a=1

Gegenüberstellung: Positive Exponenten

Potenzfunktionen: f(x) = a·xn mit positivem Exponenten (n ≥ 1) n ∈ ℕ, a = 1

Exponent n gerade	Exponent n ungerade
Beispielgraph
Symmetrie	symmetrisch zur y-Achse	punktsymmetrisch zum Ursprung
Monotonie	streng fallend für \( x ∈ ℝ^{-}_{0} \) streng steigend für \( x ∈ ℝ^{+}_{0} \)	streng steigend für x ∈ ℝ
Definitionsmenge	D = ℝ	D = ℝ
Wertebereich	\( W = ℝ^{+}_{0} \)	W = ℝ
Gemeinsame Punkte	(-1|+1), (0|0), (1|1), wenn a=1	(-1|-1), (0|0), (1|1), wenn a=1

Negativer gerader Exponent n (n ≤ -1)

Video Potenzfunktionen mit negativen Exponenten Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Beispiel: Graph von f(x) = x-2

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Symmetrie	achsensymmetrisch zur y-Achse
Monotonie	streng monoton steigend für x ∈ ℝ- und streng monoton fallend für x ∈ ℝ+
Definitionsmenge	D = ℝ \ {0}
Wertebereich	W = ℝ+
Gemeinsame Punkte	(-1|+1), (1|1), wenn a=1
Definitionslücke	bei x = 0

Negativer ungerader Exponent n (n ≤ -1)

Beispiel: Graph von f(x) = x-1

Graph öffnen

Symmetrie	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotonie	streng monoton fallend für x ∈ ℝ \ {0}
Definitionsmenge	D = ℝ \ {0}
Wertebereich	W = ℝ \ {0}
Gemeinsame Punkte	(-1|-1), (1|1), wenn a=1
Definitionslücke	bei x = 0

Gegenüberstellung: Negative Exponenten

Potenzfunktionen: f(x) = a·xn mit negativem Exponenten (n ≤ -1) n ∈ ℤ, a > 0

Exponent n gerade	Exponent n ungerade
Beispielgraph
Symmetrie	symmetrisch zur y-Achse	punktsymmetrisch zum Ursprung
Monotonie	streng steigend für x ∈ ℝ- streng fallend für x ∈ ℝ+	streng fallend für x ∈ ℝ \ {0}
Definitionsmenge	D = ℝ \ {0}	D = ℝ \ {0}
Wertebereich	W = ℝ+	W = ℝ \ {0}
Gemeinsame Punkte	(-1|+1), (1|1)	(-1|-1), (1|1)

Polynomfunktionen sind aus Potenzfunktionen zusammengesetzt. Zum Beispiel besteht die Polynomfunktion f(x) = 3·x4 + 2·x3 + x - 2 aus mehreren Potenzfunktionen (3·x4 und 2·x3 und x1 sowie -2·x0).

Nächstes Kapitel: Was ist eine Hyperbel?

Kapitelübersicht:

1. Potenzfunktionen - Einführung
2. Was ist eine Hyperbel?
3. Gleichung der Potenzfunktion aus 2 Punkten bestimmen
4. Schnittpunkt von zwei Potenzfunktionen
5. Potenzfunktion: x-Wert bestimmen