Giải Toán 11 Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học - Giải Bài Tập

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 11› Giải Bài Tập Toán 11› Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số› Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học Giải toán 11 Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học

• 
• 
• 
• 
• 

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC KIẾN THỨC CẢN BẢN PHÉP CHỨNG MINH BANG QUY NẠP GỒM HAI BƯỚC SAU Bùớc 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2. Giả thiết mệnh để đúng với một số tự nhiên bất kì n = k > 1 (giả thiết này dược gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n > p (p là một số tự nhiên đúng với n = p, ỏ' bước 2), ta giả thiết mệnh để đúng với số tự nhiên bất kì n = k > p và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Trường hợp thường gặp nhất là n = 1. . , 111 2 4 8 c) 12 + 22 + 32 +. . + n + (3n-1) = (1) 1 2n-1 (2) 2" “ 2n , n2 n(n + l)(2n + l) 6 (3) PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng với n e N’ ta có các đẳng thức: c^lải 1.4 Với n = 1, ta có 2 = -^-(đúng). Vậy (1) đúng với n = 1. 2 Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có: 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) = k-3k + 1) Ta phải chứng minh (1) đúng với 11 = k + 1, tức là phải chứng minh: 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) + (3k + 2) = + 4) . Thật vậy, ta có: 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) + (3k + 2) = k-(3k + + (3k + 2) 2 _ 3k2 + k + 6k + 4 3k2 + 7k + 4 (k + l)(3k + 4) 2 - 2 - 2 Vậy (1) đúng với mọi n - k +1 nên (1) đúng với mọi n e N*. 12-1 Với 11 = 1, ta có 4 = (đúng). Vậy (2) đúng với n = 1. 2 2 _ 111 1 2-1 Giả sử (2) đúng với n = k tức là ta có: T + — + 4 + ••• + K = —7— 2 4 8 2k 2k Ta chứng minh (2) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh 1 2k+1 1.1.1. .1 1 ■ + — + — + ... + —r- + 2 4 8 Thật vậy, ta có: 2k+1 -1 ok + 1 111 “4—— 4- — 4- ... 4 — 4- 2 4 8 2k 2k+1 1 1 2k -1 1 2k+1-2+l 2k+1 -1 2k + 2k+1 }k + l Vậy (2) đúng với n = k + 1 nên (2) đúng với mọi n e N*. c) Với n = 1 ta có l2 = 1.2.3 (đúng). Vậy (3) đúng với n = 1. , ,,,,, ,2 ,2 k(k +1)(2k +1) Giả sử (3) đúng với n = k thì là ta có: 1 + 22 + ...+ k2 = —- 4— 6 Ta chứng minh (3) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh -.2 r*2 ,2 ,1 , ,2 (k + l)(k + 2)(2k + 3) l2 + 22 + ... + k2 + (k + l)2 = 1 11—4-11 Thật vậy, ta có: l2 + 22 + ...+ k2 + (k+ l)2 k(k + l)(2k +1)+ 6(k +1)2 k(k + l)(2k +1) + (k + l)2 = i(k + l)(2k2 + k + 6k + 6) 6 = 4(k + l)(k + 2)(2k + 3) 6 Vậy (3) đúng với n = k + 1 nên (3) đúng với mọi n e 14*. Chứng minh rằng với n e N' ta có: n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 (1); 4" + 15n - 1 chia hết cho 9 (2); n3 + 11n chia hết cho 6 (3). ỐỊiải Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n. Với n = 1 tả có l3 + 3.12 + 5.1 = 9 : 3. Vậy (1) đúng với n = 1. Giả sử (1) đúng với n = k, tức là sk = k:i + 3k2 + 5k : 3. Vậy Sn : 3 với mọi n e N*. Đặt sn = 4" + 15n - 1. Với n = 1, ta CÓ Si = 18 : 9. Vậy (2) đúng với n = 1. Giả sử (2) đúng với n = k, tức là: sk = 4k + 15k - 1 : 9 => 4k + 15k - 1 - 9m (với m <= N*). Khi đó ta có: Sk+1 = 4k+1 + 15(k + 1) - 1 = 4.4k + 15k + 14 = 4(9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 45k + 18 - 9(4m - 5k + 2) : 9 Vậy (2) đúng với n = k + 1 nên (đúng với mọi n e N*). Đặt sn = n3 + lln với n = 1, ta có S] = 12 : 6. Vậy (3) đúng với n = 1. Giả sử (3) đúng với n = k, tức là sk = k3 + Ilk -6. Ta phải chứng minh Sk+1 : 6. Thật vậy: Sk+1 = (k + l)3 + ll(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + llk + 11 = k3 + llk + 3(k2 + k + 4) ỉ 6 (Vì sk : 6 và k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 : 2) Vậy (3) đúng với n = k + 1 nên (3) đúng với mọi n e N*. Chứng minh với mọi số tự nhiên n > 2 ta có các bất đẳng thức: 3" > 3n + 1 (1): 2"*' > 2n + 3 (2). ốịlài Với n = 2, ta có 32 > 3.2 + 1 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 2. Giả sử (1) đúng với n - k > 2, tức là 3k > 3k + 1 (*) Ta chứng minh (1) đúng với n = k +1, ta là chứng minh 3k+1 > 3(k + 1) + 1 (**) Thật vậy, từ (*) ta có 3k+1 = 3.3k > 3(3k + 1) Đế’ có (**) ta chứng minh: 3(3k + 1) > 3(k + 1) + 1 9k + 3 > 3k + 4 o 6k > 1 (luôn đúng với mọi k > 2) Vậy (1) đúng với n = k + 1 nên (1) đúng với mọi sô’ tự nhiên n > 2. Với n = 2 ta có 23 > 2.2 + 3 (đúng). Vậy (2) đúng với n = 2. Giả sử (2) đúng với n = k > 2, ta có 2k+1 > 2k + 3. Ta chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh: 2k+2 > 2k + 5. Thật vậy ta có: 2k+2 = 2.2k+1 > 2(2k + 3) = 4k + 6>2k + 5 với mọi k > 2 Vậy (2) đúng với n = k + 1 nên (2) đúng với mọi sô’ tự nhiên n > 2. 4. Cho tổng Sn = —7?+ 77^7+ ■■■-*■ , 1 . 1.2 2.3 n(n + l) với n 6 N*. Tinh s,, s2, s3. Dự đoán công thức tính tổng s„ và chứng minh bằng quy nạp. Ốịlảí a) Tacó:S, = = j; S2=^ + A- = l; S3=A + —+ -1 1.2 2.3 3 1.2+ 2.3 3.4 4 b) Dự đoán: Sn = (*) Chứng minh (*) bằng quy nạp với n e N* Với n = 1 ta có Si = . Vậy (*) đúng với n = 1 2 1 1 1 k Giả sử (*) đúng với n = k, tức là sk = - + -y— + ... + , -- = , 1.2 2.3 k(k + l) k + 1 Ta chứng minh (*) đúng với k + 1 tức là chứng minh Q 1 , 1 Sk+1 — "• 4- 4^ ... 4- 1.2 2.3 1 1 _k+1 k(k + 1) + (k + l)(k + 2) ■ k + 2 Thật vậy, ta có: Sk+1 = Sk + 1 k 1 k(k + 2) +1 (k + l)(k + 2) ■ k + 1 + (k + l)(k + 2) - (k + l)(k + 2) (k + 1)2 k + 1 - (k + l)(k + 2)'~ k + 2 Vậy (*) đúng với n = k + 1 nên (*) đúng với mọi n e N*. n(n-3) 5. Chứng minh sô' đường chéo cùa một đa giác lói n cạnh là . Ốịiải Với n = 4, ta có tứ giác. Thay n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: itva =2. Vậy khẳng định là đúng với n = 4. Giả sử đa giác lồi k cạnh (k > 4) có số đường k(k-3) chéo là (giả thiết quy nạp). Xét đa giác lồi k + 1 cạnh. Ta phải chứng minh công thức đúng với k + 1, nghĩa là phải chứng minh (k + l)[(k + 1) - 3] đa giác lồi k + 1 cạnh có số đường chéo là đường chéo Nô'i Aị và Ak, ta được đa giác k cạnh AịA2 ...Ak có -v —- 2 (giả thiết quy nạp). Nô'i Ak+1 với các đỉnh A2, A3, Ak_i, ta được thêm k - 2 đường chéo, ngoài ra A]Ak cũng là một đường chéo. Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là k(k-3) + k _ 2 + 1 = k2-k-2 = (k + l)[(k + 1) - 3] 2 + 2 2 Vậy khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh. Do đó số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là —( - 3) với mọi số tự ■ 2 nhiên n > 4. c. BÀI TẬP LÀM THÊM Chứng minh rằng với mọi n e z’ 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2; 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1)2 = n(n + 1)2; ox 1 . 1. .113 ox n + 1 n + 2 2n 24 n3 + 17n chia hết cho 6; 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2.

Các bài học tiếp theo

• Bài 2. Dãy số
• Bài 3. Cấp số cộng
• Bài 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• Bài 1. Giới hạn của dãy số
• Bài 2. Giới hạn của hàm số
• Bài 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm

Các bài học trước

• Ôn tập chương II
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 3. Nhị thức Niu-tơn
• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Bài 1. Quy tắc đếm
• Ôn tập chương I
• Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
• Bài 1. Hàm số lượng giác

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
• Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số(Đang xem)
• Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
• Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
• Giải Toán 11 Hình Học
• Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
• Giải bài tập Hình học 11

Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số

• Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• Bài 1. Hàm số lượng giác
• Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
• Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Ôn tập chương I
• Chương II. Tổ hợp - Xác suất
• Bài 1. Quy tắc đếm
• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Bài 3. Nhị thức Niu-tơn
• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Ôn tập chương II
• Chương III. Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân
• Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học(Đang xem)
• Bài 2. Dãy số
• Bài 3. Cấp số cộng
• Bài 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• Chương IV. Giới hạn
• Bài 1. Giới hạn của dãy số
• Bài 2. Giới hạn của hàm số
• Bài 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• Chương V. Đạo hàm
• Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
• Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
• Bài 4. Vi phân
• Bài 5. Đạo hàm cấp hai
• Ôn tập chương V
• Ôn tập cuối năm