Toán 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

Đăng nhập Đăng kí Đăng nhập Đăng kí Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi Trang chủ Lớp 11 Toán Lớp 11 SGK Cũ Chương 3: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Chương 3: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân

Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Toán 11 Bài 2: Dãy số

Toán 11 Bài 3 :Cấp số cộng

Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Toán 11 Ôn tập chương 3 Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Lý thuyết Bài tập Mục lục

1. Tóm tắt lý thuyết

Nội dung phương pháp quy nạp toán học

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 1 chương 3 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm về Phương pháp quy nạp toán học

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về Phương pháp quy nạp toán học

4. Hỏi đáp về bài 1 chương 3 giải tích 11

Tóm tắt bài

Nội dung phương pháp quy nạp toán học:

Cho \({n_0}\) là một số nguyên dương và \(P(n)\) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0}\). Nếu

(1)  \(P({n_0})\) là đúng và

(2)  Nếu \(P(k)\) đúng, thì \(P(k + 1)\)cũng đúng với mọi số tự nhiên \(k \ge {n_0}\);

thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên\(n \ge {n_0}\) .

Khi ta bắt gặp bài toán:

Chứng minh mệnh đề \(P(n)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0},\)\({n_0} \in \mathbb{N}\) ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau

Bước 1: Kiểm tra \(P({n_0})\) có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai

Bước 2: Với \(k \ge {n_0}\), giả sử \(P(k)\) đúng ta cần chứng minh \(P(k + 1)\) cũng đúng.

Kết luận:  \(P(n)\) đúng với \(\forall n \ge {n_0}\).

Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề \(P(k)\) đúng gọi là giả thiết quy nạp.

Vấn đề 1: Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức - Bất đẳng thức

Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức \(P(n) = Q(n)\) (hoặc \(P(n) > Q(n)\)) đúng với \(\forall n \ge {n_0},{\rm{ }}{n_0} \in \mathbb{N}\) ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính \(P({n_0}),{\rm{ }}Q({n_0})\) rồi chứng minh \(P({n_0}) = Q({n_0})\)

Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k);{\rm{ }}k \in \mathbb{N},k \ge {n_0}\), ta cần chứng minh

\(P(k + 1) = Q(k + 1)\).

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:

\(1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Hướng dẫn:

Đặt \({A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\)

Với n=1, ta có: \(1 = \frac{{1.(1 + 1)}}{2} = 1\) (đúng)

Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:

\({A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\) (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\)

Ta có: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{n(n + 1)}}{2} + (n + 1)\) 

\(\Leftrightarrow {A_{n + 1}} = \,\frac{{n(n + 1) + 2(n + 1)}}{2} = \frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\) ( điều phải chứng minh).

Vậy \(1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).

 

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:

\(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\)

Hướng dẫn:

Đặt \({A_n} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\) 

Với n= 1: \({(2.1 - 1)^2} = \frac{{1.({{4.1}^2} - 1)}}{3} = 1\) (đúng)

Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:

\(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\) (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh: 

\({A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)

Ta có: \(VT = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}\) 

Theo giả thiết quy nạp ở trên: \(VT = \frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}\)

= \(\frac{{4{n^3} - n + 3{{(2n + 1)}^2}}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} - n + 12{n^2} + 12n + 3}}{3}\)

\(= \frac{{4{n^3} + 12{n^2} + 11n + 3}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} + 4{n^2} + \,8{n^2} + 8n + 3n + 3}}{3}\)

\(VT = \frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\) (1)

Ta lại có: \({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)

\(= \,\frac{{(n + 1)[4({n^2} + 2n + 1) - 1]}}{3}\,\)

\(= \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 4 - 1)}}{3}\,\)

\({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\,\) (2)

Từ (1) và (2): \({A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)

Vậy \(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).

 

Ví dụ 3:

Chứng mình với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Lời giải:

Đặt \(P(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n\) : tổng n số tự nhiên đầu tiên : \(Q(n) = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Ta cần chứng minh \(P(n) = Q(n){\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N},n \ge 1\).

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(P(1) = 1,{\rm{ }}Q(1) = \frac{{1(1 + 1)}}{2} = 1\)

\( \Rightarrow P(1) = Q(1) \Rightarrow (1)\) đúng với \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k)\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:

\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)  (1)

Ta cần chứng minh \(P(k + 1) = Q(k + 1)\), tức là:

\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)  (2)

Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1)\) 

                             \( = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\)       (Do đẳng thức (1))

                            \( = (k + 1)(\frac{k}{2} + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2} = VP(2)\)

Vậy đẳng thức cho  đúng với mọi \(n \ge 1\).

 

Ví dụ 4:

Chứng minh với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = {n^2}\)

Lời giải:

\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có \({\rm{VT}} = 1,{\rm{ VP}} = {1^2} = 1\)

Suy ra \(VT = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).

\( \bullet \) Giả sử đẳng thức cho  đúng với \(n = k\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:

\(1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = {k^2}\)  (1)

Ta cần chứng minh đẳng thức cho  đúng với \(n = k + 1\), tức là:

\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = {\left( {k + 1} \right)^2}\)  (2)

Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1) + (2k + 1)\) 

                             \( = {k^2} + (2k + 1)\)       (Do đẳng thức (1))

                            \( = {(k + 1)^2} = VP(1.2)\)

Vậy đẳng thức cho  đúng với mọi \(n \ge 1\).

 

Vấn đề 2: Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học

Ví dụ 5:

Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) :

\({n^3} + 2n\) chia hết cho 3.

Hướng dẫn:

Đặt \({A_n} = {n^3} + 2n\)

Với n= 1: \({A_n} = 1 + 2 = 3\, \vdots \,3\)

Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:

\({A_n} = {n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh: 

\({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Ta có: \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\, = \,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2\)

\(= \,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1)\)

Theo giả thiết quy nạp: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) 

Đồng thời: \(3({n^2} + n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Vậy \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Kết luận: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\)

 

Ví dụ 6:

Cho \(n\) là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: \({a_n} = {16^n}-15n-1 \vdots 225\)

Hướng dẫn:

\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có: \({a_1} = 0 \Rightarrow {a_1} \vdots 225\).

\( \bullet \) Giả sử \({a_k} = {16^k} - 15k - 1 \vdots 225\), ta chứng minh

\({a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 \vdots 225\)

Thậ vậy: \({a_{k + 1}} = {16.16^k} - 15k - 16 = {16^k} - 15k - 1 - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)

                      \( = {a_k} - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)

Vì \({16^k} - 1 = 15.\left( {{{16}^{k - 1}} + {{16}^{k - 2}} + ... + 1} \right) \vdots 15\) và \({a_k} \vdots 225\)

Nên ta suy ra \({a_{k + 1}} \vdots 225\). Vậy bài toán được chứng minh.

 

Ví dụ 7:

Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi \((n \ge 3)\) bằng \((n - 2){180^0}\).

Lời giải:

\( \bullet \) Với \(n = 3\) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\)

\( \bullet \) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với \(k < n\), ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là \(\left( {k - 1} \right){180^0}\) và \(\left( {n - k - 1} \right){180^0}\).

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là \((k - 1 + n - k - 1){180^0} = (n - 2){180^0}\)

Suy ra mệnh đề đúng với mọi \(n \ge 3\).

3. Luyện tập Bài 1 chương 3 giải tích 11

Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào? 

3.1 Trắc nghiệm về Phương pháp quy nạp toán học

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Chứng minh mệnh đề " \(\forall n \in {N^ * }\)ta luôn có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)" bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?

  • A. n=0
  • B. n=1
  • C. n=2
  • D. n=3

• Câu 2:

  Chứng minh mênh đề " \(\forall n \in N,n \ge 3\) ta luôn có \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\)" bằng phương pháp quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị nào của n?

  • A. n=0
  • B. n=1
  • C. n=2
  • D. n=3

• Câu 3:

  Với gá trị nào của số tự nhiên n, ta có \({2^n} > 2n + 1\)?

  • A. \(n \in N\)
  • B. \(1 \le n \le 9\)
  • C. \(n \ge 2\)
  • D. \(n \ge 3\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Phương pháp quy nạp toán học

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 3.5 trang 107 SBT Toán 11

Bài tập 3.6 trang 107 SBT Toán 11

Bài tập 3.7 trang 107 SBT Toán 11

Bài tập 3.8 trang 108 SBT Toán 11

Bài tập 1 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 2 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 3 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 6 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 7 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 8 trang 100 SGK Toán 11 NC

4. Hỏi đáp về bài 1 chương 3 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 11

Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!

Nguồn : ADMIN :)) Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi Đọc truyện chữ Nghe truyện audio Công thức nấu ăn Hỏi nhanh

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK