Toán 11 Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học - Hoc247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 11 Chương 3: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm21 BT SGK 100 FAQ

Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào?

ATNETWORK YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

Nội dung phương pháp quy nạp toán học

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 1 chương 3 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm về Phương pháp quy nạp toán học

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về Phương pháp quy nạp toán học

4. Hỏi đáp về bài 1 chương 3 giải tích 11

Tóm tắt lý thuyết

*Nội dung phương pháp quy nạp toán học:

- Cho \({n_0}\) là một số nguyên dương và \(P(n)\) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0}\). Nếu

+ \(P({n_0})\) là đúng

+ Nếu \(P(k)\) đúng, thì \(P(k + 1)\) cũng đúng với mọi số tự nhiên \(k \ge {n_0}\); thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên\(n \ge {n_0}\) .

- Khi ta bắt gặp bài toán:

- Chứng minh mệnh đề \(P(n)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0},\)\({n_0} \in \mathbb{N}\) ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau:

+ Bước 1: Kiểm tra \(P({n_0})\) có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai

+ Bước 2: Với \(k \ge {n_0}\), giả sử \(P(k)\) đúng ta cần chứng minh \(P(k + 1)\) cũng đúng.

- Kết luận: \(P(n)\) đúng với \(\forall n \ge {n_0}\).

- Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề \(P(k)\) đúng gọi là giả thiết quy nạp.

Bài tập minh họa

*Vấn đề 1: Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức - Bất đẳng thức

- Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức \(P(n) = Q(n)\) (hoặc \(P(n) > Q(n)\)) đúng với \(\forall n \ge {n_0},{\rm{ }}{n_0} \in \mathbb{N}\) ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Tính \(P({n_0}),{\rm{ }}Q({n_0})\) rồi chứng minh \(P({n_0}) = Q({n_0})\)

+ Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k);{\rm{ }}k \in \mathbb{N},k \ge {n_0}\), ta cần chứng minh

\(P(k + 1) = Q(k + 1)\).

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:

\(1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Hướng dẫn:

Đặt \({A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\)

Với n=1, ta có: \(1 = \frac{{1.(1 + 1)}}{2} = 1\) (đúng)

Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:

\({A_n} = 1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\) (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\)

Ta có: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = \,\frac{{n(n + 1)}}{2} + (n + 1)\)

\(\Leftrightarrow {A_{n + 1}} = \,\frac{{n(n + 1) + 2(n + 1)}}{2} = \frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\) ( điều phải chứng minh).

Vậy \(1 + 2 + ... + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:

\(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\)

Hướng dẫn:

Đặt \({A_n} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\)

Với n= 1: \({(2.1 - 1)^2} = \frac{{1.({{4.1}^2} - 1)}}{3} = 1\) (đúng)

Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:

\(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\) (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh:

\({A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)

Ta có: \(VT = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}\)

Theo giả thiết quy nạp ở trên: \(VT = \frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3} + \,{[2(n + 1) - 1]^2}\)

= \(\frac{{4{n^3} - n + 3{{(2n + 1)}^2}}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} - n + 12{n^2} + 12n + 3}}{3}\)

\(= \frac{{4{n^3} + 12{n^2} + 11n + 3}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} + 4{n^2} + \,8{n^2} + 8n + 3n + 3}}{3}\)

\(VT = \frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\) (1)

Ta lại có: \({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)

\(= \,\frac{{(n + 1)[4({n^2} + 2n + 1) - 1]}}{3}\,\)

\(= \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 4 - 1)}}{3}\,\)

\({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\,\) (2)

Từ (1) và (2): \({A_{n + 1}} = 1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} + \,{[2(n + 1) - 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} - 1]}}{3}\,\)

Vậy \(1 + 3 + ... + {(2n - 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} - 1)}}{3}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).

Ví dụ 3:

Chứng mình với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Lời giải:

Đặt \(P(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n\) : tổng n số tự nhiên đầu tiên : \(Q(n) = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Ta cần chứng minh \(P(n) = Q(n){\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N},n \ge 1\).

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(P(1) = 1,{\rm{ }}Q(1) = \frac{{1(1 + 1)}}{2} = 1\)

\( \Rightarrow P(1) = Q(1) \Rightarrow (1)\) đúng với \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k)\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:

\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\) (1)

Ta cần chứng minh \(P(k + 1) = Q(k + 1)\), tức là:

\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\) (2)

Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1)\)

\( = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\) (Do đẳng thức (1))

\( = (k + 1)(\frac{k}{2} + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2} = VP(2)\)

Vậy đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).

Ví dụ 4:

Chứng minh với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 3 + 5 + ... + 2n - 1 = {n^2}\)

Lời giải:

\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có \({\rm{VT}} = 1,{\rm{ VP}} = {1^2} = 1\)

Suy ra \(VT = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).

\( \bullet \) Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:

\(1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = {k^2}\) (1)

Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là:

\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = {\left( {k + 1} \right)^2}\) (2)

Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1) + (2k + 1)\)

\( = {k^2} + (2k + 1)\) (Do đẳng thức (1))

\( = {(k + 1)^2} = VP(1.2)\)

Vậy đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).

Vấn đề 2: Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học

Ví dụ 5:

Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) :

\({n^3} + 2n\) chia hết cho 3.

Hướng dẫn:

Đặt \({A_n} = {n^3} + 2n\)

Với n= 1: \({A_n} = 1 + 2 = 3\, \vdots \,3\)

Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:

\({A_n} = {n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh:

\({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Ta có: \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\, = \,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2\)

\(= \,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1)\)

Theo giả thiết quy nạp: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\)

Đồng thời: \(3({n^2} + n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Vậy \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)

Kết luận: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\)

Ví dụ 6:

Cho \(n\) là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: \({a_n} = {16^n}-15n-1 \vdots 225\)

Hướng dẫn:

\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có: \({a_1} = 0 \Rightarrow {a_1} \vdots 225\).

\( \bullet \) Giả sử \({a_k} = {16^k} - 15k - 1 \vdots 225\), ta chứng minh

\({a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} - 15(k + 1) - 1 \vdots 225\)

Thậ vậy: \({a_{k + 1}} = {16.16^k} - 15k - 16 = {16^k} - 15k - 1 - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)

\( = {a_k} - 15\left( {{{16}^k} - 1} \right)\)

Vì \({16^k} - 1 = 15.\left( {{{16}^{k - 1}} + {{16}^{k - 2}} + ... + 1} \right) \vdots 15\) và \({a_k} \vdots 225\)

Nên ta suy ra \({a_{k + 1}} \vdots 225\). Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 7:

Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi \((n \ge 3)\) bằng \((n - 2){180^0}\).

Lời giải:

\( \bullet \) Với \(n = 3\) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\)

\( \bullet \) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với \(k < n\), ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là \(\left( {k - 1} \right){180^0}\) và \(\left( {n - k - 1} \right){180^0}\).

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là \((k - 1 + n - k - 1){180^0} = (n - 2){180^0}\)

Suy ra mệnh đề đúng với mọi \(n \ge 3\).

3. Luyện tập Bài 1 chương 3 giải tích 11

Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán hay nhưng để làm quen các em sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào?

3.1 Trắc nghiệm về Phương pháp quy nạp toán học

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Chứng minh mệnh đề " \(\forall n \in {N^ * }\)ta luôn có \(1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)" bằng phươg pháp quy nạp toán học, bước 1 ta kiểm tra với giá trị nào của n?

  • A. n=0
  • B. n=1
  • C. n=2
  • D. n=3

• Câu 2:

  Chứng minh mênh đề " \(\forall n \in N,n \ge 3\) ta luôn có \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\)" bằng phương pháp quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị nào của n?

  • A. n=0
  • B. n=1
  • C. n=2
  • D. n=3

• Câu 3:

  Với gá trị nào của số tự nhiên n, ta có \({2^n} > 2n + 1\)?

  • A. \(n \in N\)
  • B. \(1 \le n \le 9\)
  • C. \(n \ge 2\)
  • D. \(n \ge 3\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Phương pháp quy nạp toán học

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3.1 trang 107 SBT Toán 11

Bài tập 3.2 trang 107 SBT Toán 11

Bài tập 3.3 trang 107 SBT Toán 11

Bài tập 3.4 trang 107 SBT Toán 11

Bài tập 3.5 trang 107 SBT Toán 11

Bài tập 3.6 trang 107 SBT Toán 11

Bài tập 3.7 trang 107 SBT Toán 11

Bài tập 3.8 trang 108 SBT Toán 11

Bài tập 1 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 2 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 3 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 4 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 5 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 6 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 7 trang 100 SGK Toán 11 NC

Bài tập 8 trang 100 SGK Toán 11 NC

4. Hỏi đáp về bài 1 chương 3 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Toán 11 Bài 2: Dãy số Toán 11 Bài 3 :Cấp số cộng Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân Toán 11 Ôn tập chương 3 Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

Toán 11

Toán 11 Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo

Toán 11 Cánh Diều

Giải bài tập Toán 11 KNTT

Giải bài tập Toán 11 CTST

Trắc nghiệm Toán 11

Ngữ văn 11

Ngữ Văn 11 Kết Nối Tri Thức

Ngữ Văn 11 Chân Trời Sáng Tạo

Ngữ Văn 11 Cánh Diều

Soạn Văn 11 Kết Nối Tri Thức

Soạn Văn 11 Chân Trời Sáng Tạo

Văn mẫu 11

Tiếng Anh 11

Tiếng Anh 11 Kết Nối Tri Thức

Tiếng Anh 11 Chân Trời Sáng Tạo

Tiếng Anh 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tiếng Anh 11 KNTT

Trắc nghiệm Tiếng Anh 11 CTST

Tài liệu Tiếng Anh 11

Vật lý 11

Vật lý 11 Kết Nối Tri Thức

Vật Lý 11 Chân Trời Sáng Tạo

Vật lý 11 Cánh Diều

Giải bài tập Vật Lý 11 KNTT

Giải bài tập Vật Lý 11 CTST

Trắc nghiệm Vật Lý 11

Hoá học 11

Hoá học 11 Kết Nối Tri Thức

Hoá học 11 Chân Trời Sáng Tạo

Hoá Học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Hoá 11 KNTT

Giải bài tập Hoá 11 CTST

Trắc nghiệm Hoá học 11

Sinh học 11

Sinh học 11 Kết Nối Tri Thức

Sinh Học 11 Chân Trời Sáng Tạo

Sinh Học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Sinh học 11 KNTT

Giải bài tập Sinh học 11 CTST

Trắc nghiệm Sinh học 11

Lịch sử 11

Lịch Sử 11 Kết Nối Tri Thức

Lịch Sử 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập Sử 11 KNTT

Giải bài tập Sử 11 CTST

Trắc nghiệm Lịch Sử 11

Địa lý 11

Địa Lý 11 Kết Nối Tri Thức

Địa Lý 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập Địa 11 KNTT

Giải bài tập Địa 11 CTST

Trắc nghiệm Địa lý 11

GDKT & PL 11

GDKT & PL 11 Kết Nối Tri Thức

GDKT & PL 11 Chân Trời Sáng Tạo

Giải bài tập KTPL 11 KNTT

Giải bài tập KTPL 11 CTST

Trắc nghiệm GDKT & PL 11

Công nghệ 11

Công nghệ 11 Kết Nối Tri Thức

Công nghệ 11 Cánh Diều

Giải bài tập Công nghệ 11 KNTT

Giải bài tập Công nghệ 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Công nghệ 11

Tin học 11

Tin học 11 Kết Nối Tri Thức

Tin học 11 Cánh Diều

Giải bài tập Tin học 11 KNTT

Giải bài tập Tin học 11 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tin học 11

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 11

Tư liệu lớp 11

Xem nhiều nhất tuần

Đề thi HK1 lớp 11

Đề thi giữa HK1 lớp 11

Đề thi HK2 lớp 12

Đề thi giữa HK2 lớp 11

Tôi yêu em - Pu-Skin

Video bồi dưỡng HSG môn Toán

Đề cương HK1 lớp 11

Công nghệ 11 Bài 16: Công nghệ chế tạo phôi

Chí Phèo

Cấp số cộng

Văn mẫu và dàn bài hay về bài thơ Đây thôn Vĩ Dạ

Cấp số nhân

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>