Hệ Thức Euler | CMaths

Có thể bạn quan tâm

Bài1. (Phương tích của trọng tâm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( O;R \right)$ . $G$ là trọng tâm tam giác, $BC=a,CA=b,AB=c$ . Đường thẳng $AG$ giao với $\left( O \right)$ . tại điểm thứ hai $A'$ .

a) Tính $GA.GA'$ theo $a,b,c$ .

b) Chứng minh rằng ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 9{{R}^{2}}$ .

c) Biết ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=9{{R}^{2}}$ . Tam giác $ABC$ có gì đặc biệt?

Bài 2. (Phương tích của trực tâm) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( O;R \right)$ . $H$ là trực tâm tam giác, $BC=a,CA=b,AB=c$ .

a) Chứng minh rằng $HA=2R.\cos A$ .

b) Chứng minh rằng $O{{H}^{2}}={{R}^{2}}\left( 1-8\cos A.\cos B.\cos C \right)$ , từ đó suy ra BĐT $\cos A.\cos B.\cos C\le \frac{1}{8}$ .

c) Chứng minh các kết quả vẫn đúng trong trường hợp tam giác không nhọn.

Bài 3. (Hệ thức Euler) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $\left( O;R \right)$ và ngoại tiếp $\left( I;r \right)$ .

a) Chứng minh rằng $IA=\frac{r}{\sin \frac{A}{2}}$ .

b) Chứng minh rằng $O{{I}^{2}}={{R}^{2}}-2Rr$ .

c) Nếu $R=2r$ thì tam giác $ABC$ có gì đặc biệt?

Bài 4. Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A,B$ . $M$ là trung điểm của $AB$ . Các đường cao $AH,BK$ của các tam giác $AMD,BMC$ cắt nhau tại $N$ . Chứng minh $MN\bot CD$ . Bài 5. Cho tam giác $ABC$ , một đường tròn cắt cạnh $BC$ tại ${{A}_{1}},{{A}_{2}}$ , cắt cạnh $CA$ tại ${{B}_{1}},{{B}_{2}}$ , cắt cạnh $AB$ tại ${{C}_{1}},{{C}_{2}}$ . Chứng minh rằng $A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ đồng quy khi và chỉ khi $A{{A}_{2}},B{{B}_{2}},C{{C}_{2}}$ đồng quy. Bài 6. Cho đường tròn $\left( O \right)$ và điểm $I$ cố định nằm trong đường tròn, $I$ khác $O$ . Một đường thẳng quay quanh $I$ , cắt $\left( O \right)$ tại $A$ và $B$ . Các tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $A,B$ cắt nhau tại $M$ . Chứng minh rằng $M$ chạy trên một đường thẳng cố định. Bài 7. Cho đường tròn $\left( O \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại điểm $H$ . Hai điểm $M,N$ di động trên $d$ sao cho $\overline {HM} .\overline {HN} =-k^2$ ,( $k\ne 0$ cho trước). Từ $M,N$ kẻ tiếp tuyến $MA,NB$ của $\left( O \right)$ với $A,B$ khác $H$ .

a) Chứng minh rằng đường tròn $\left( OMN \right)$ luôn đi qua 2 điểm cố định.

b) Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 8. Cho $AB,AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ với $B,C$ thuộc $\left( O \right)$ . Lấy điểm $M$ bất kì trên $AC$ ( $M,A$ khác phía so với $C$ ). Giả sử $\left( O \right)$ cắt đường tròn $\left( ABM \right)$ tại điểm thứ hai $P,Q$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống $MB$ . Chứng minh rằng $\widehat{MPQ}=2\widehat{AMB}$ . Bài 9. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $\left( O;R \right)$ . Gọi $P,Q,M$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $AB$ và $DC$ , $AD$ và $BC$ , $AC$ và $BD$ . Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OPQ,OMP,OMQ$ bằng nhau.