KHÔNG GIAN MÊTRIC - Tập Compact, Không Gian Compact.pdf

Tải bản đầy đủ (.pdf) (7 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Luận Văn - Báo Cáo
>>
3. Công nghệ thông tin

KHÔNG GIAN MÊTRIC - Tập compact, không gian compact.pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (139.45 KB, 7 trang )

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH ToánPhần 1. Không gian metric§4. Tập compact, không gian compact(Phiên bản đã chỉnh sửa)PGS TS Nguyễn Bích HuyNgày 20 tháng 12 năm 2004Tóm tắt lý thuyết1 Định nghĩaCho các không gian metric (X, d)1. Một họ {Gi: i ∈ I} các tập con của X được gọi là một phủ của tập A ⊂ X nếu A ⊂i∈IGiNếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ là hữu hạn.Nếu mọi Gilà tập mở thì ta nói phủ là phủ mở.2. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu từ mỗi phủ mở của A ta luôn có thể lấy ra đượcmột phủ hữu hạn.3. Tập A được gọi là compact tương đối nếu A là tập compact.12 Các tính chất2.1 Liên hệ với tập đóngNếu A là tập compact trong không gian metric thì A là tập đóng.Nếu A là tập compact, B ⊂ A và B đóng thì B là tập compact.2.2 Hệ có tâm các tập đóngHọ {Fi: i ∈ I} các tập con của X được gọi là họ có tâm nếu với mọi tập con hữu hạn J ⊂ Ithìi∈JFi= ∅.Định lí 1. Các mệnh đề sau là tương đương:1. X là không gian compact.2. Mọi họ có tâm các tập con đóng của X đều có giao khác ∅.Định lí 2. Giả sử f : X → Y là ánh xạ liên tục và A ⊂ X là tập compact. Khi đó, f(A) làtập compact.Hệ quả. Nếu f : X → R là một hàm liên tục và A ⊂ X là tập compact thì f bị chặn trên Avà đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên A, nghĩa là:∃x1, x2∈ A : f(x1) = inf f(A), f(x2) = sup f(A)Định lí 3 (Weierstrass). Trong không gian metric X, các mệnh đề sau là tương đương:1. Tập A ⊂ X là compact.2. Từ mỗi dãy {xn} ⊂ A có thể lấy ra một dãy con hội tụ về phần tử thuộc A.2.3 Tiêu chuẩn compact trong RnTrong không gian Rn(với metric thông thường), một tập A là compact khi và chỉ khi nó đóngvà bị chặn.2.4 Tiêu chuẩn compact trong C[a,b]Định nghĩa. Cho tập A ⊂ C[a,b].21. Tập A được gọi là bị chặn từng điểm trên [a, b] nếu với mọi t ∈ [a, b] tồn tại số Mt> 0sao cho |x(t)| ≤ Mt, ∀x ∈ A.Tập A được gọi là bị chặn đều trên [a, b] nếu tồn tại số M > 0 sao cho|x(t)| ≤ M, ∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ A.2. Tập A gọi là đồng liên tục tục trên [a, b] nếu với mọi ε > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho vớimọi t, s ∈ [a, b] mà |t − s| < δ và với mọi x ∈ A thì ta có |x(t) − x(s)| < ε.Ví dụ. Giả sử A ⊂ C[a,b]là tập các hàm x = x(t) có đạo hàm trên (a, b) và |x(t)| ≤ 2, ∀t ∈ (a, b).• Tập A là liên tục đồng bậc. Thật vậy, do định lý Lagrange ta có|x(t) − x(s)| = |x(c)(t − s)| ≤ 2.|t − s|Do đó, cho trước ε > 0, ta chọn δ =ε2thì có:∀x ∈ A, ∀t, s ∈ [a, b], |t − s| < δ ⇒ |x(t) − x(s)| < ε• Nếu thêm giả thiết A bị chặn tại điểm t0∈ [a, b] thì A bị chặn đều trên [a, b]. Thật vậy|x(t)| ≤ |x(t) − x(t0)| + |x(t0)| = |x(c).(t − t0)| + |x(t0)|≤ 2(b − a) + Mt0∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ AĐịnh lí 4 (Ascoli - Arzela). Tập A ⊂ C[a,b](với metric hội tụ đều) là compact tương đối khivà chỉ khi A bị chặn từng điểm và đồng liên tục trên [a, b].Bài tậpBài 1. 1. Cho X là không gian metric compact, {Fn} là họ các tập đóng, khác rỗng, thỏamãn Fn⊃ Fn+1(n = 1, 2, . . . ). Chứng minh∞n=1Fn= ∅2. Giả sử {Fn} là họ có tâm các tập đóng, bị chặn trên R. Chứng minh∞n=1Fn= ∅Giải. 1. Ta chứng minh {Fn} là họ có tâm. Nếu J ∈ N là tập hữu hạn, ta đặt n0= max Jthì sẽ cón∈JFn= Fn0= ∅Ghi chú. Dạng khác của câu 1) là: Cho F1là tập compact, Fn(n ≥ 2) là các tập đóngkhác ∅ và F1⊃ F2⊃ · · · . Khi đó∞n=1Fn= ∅32. Ta xây dựng dãy tập hợp {Kn} như sau:K1= F1, Kn=nk=1Fk(n ≥ 2)Thế thì ta có• Kncompact, Kn= ∅ (do họ {Fn} có tâm)• F1⊃ F2⊃ · · · ,∞n=1Kn=∞n=1FnDo đó, theo ghi chú trên ta có∞n=1Kn= ∅Bài 2. Cho X là không gian compact và f : X → R liên tục. Chứng minh f bị chặn trên Xvà đạt giá trị nhỏ nhất.Giải. Đặt a = inf f(x), ta có a ≥ −∞ (ta hiểu cận dưới đúng của tập không bị chặn dưới là−∞). Ta luôn có thể tìm được dãy số {an} sao cho an> an+1, lim an= a. Ta đặt Fn= {x ∈X : f(x) ≤ an} (n ≥ 1), ta có• Fnlà tập đóng (do Fn= f−1((−∞, an]))• Fn= ∅ (do an> a = inf f(X)• Fn⊃ Fn+1(do an> an+1)Do đó, theo bài 1) thì tồn tại x0∈∞n=1Fn. Ta cóf(x0) ≤ ann = 1, 2, . . .⇒ f (x0) ≤ aVậy f(x0) = a, nói riêng a = −∞. Ta có đpcm.Bài 3. Cho không gian metric (X, d) và A, B là các tập con khác ∅ của X. Ta định nghĩad(A, B) = infx∈A,y∈Bd(x, y)1. Giả sử A, B là các tập compact, chứng minh tồn tại x0∈ A, y0∈ B sao chod(A, B) = d(x0, y0)2. Giả sử A đóng, B compact và A ∩ B = ∅, chứng minh d(A, B) > 0.Nêu ví dụ chứng tỏ kết luận không đúng nếu thay giả thiết B compact bằng B đóng.4Giải. 1. Tồn tại các dãy {xn} ⊂ A, {yn} ⊂ B sao cho lim d(xn, yn) = d(A, B). Do Acompact nên {xn} có dãy con {xnk}khội tụ về một phần tử x0∈ A. Xét dãy con tươngứng {ynk}kcủa {yn}. Do B compact nên {ynk}kcó dãy con {ynki}ihội tụ về một phầntử y0∈ B.Ta có:• limi→∞xnki= x0(vì là dãy con của {xnk})• limi→∞d(xnki, ynki) = d(A, B) (vì là dãy con của {d(xn, yn)})• limi→∞d(xnki, ynki) = d(x0, y0) (hệ quả của bđt tứ giác)Do đó, d(x0, y0) = d(A, B)2. • Giả sử trái lại, d(A, B) = 0. Khi đó, ta tìm được các dãy {xn} ⊂ A, {yn} ⊂ B saocho lim d(xn, yn) = 0.Do B compact nên {yn} có dãy con {ynk}khội tụ về y0∈ B. Từd(xnk, y0) ≤ d(xnk, ynk) + d(ynk, y0)ta suy ra limk→∞xnk= y0Do A là tập đóng, {xnk} ⊂ A nên ta suy ra y0∈ A, mâu thuẫn với giả thiếtA ∩ B = ∅.• Trong R2ta xét metric thông thường và đặtA = {(t, 0) : t ∈ R},B =t,1t: t > 0Ta có A, B là các tập đóng, A ∩ B = ∅Đặt x = (t, 0), y =t,1t(t > 0)Ta có d(x, y) =1t→ 0 (t → +∞)Do đó, d(A, B) = 0Bài 4. Cho không gian metric (X, d) và A ⊂ X, là tập compact, V là tập mở chứa A. Ta kýhiệu B(A, ε) := {x ∈ X : d(x, A) < ε}Chứng minh tồn tại số ε > 0 sao cho B(A, ε) ⊂ V .Giải. • Cách 1Do A ⊂ V và V là tập mở nên ∀x ∈ A, ∃rx> 0 : B(x, 2rx) ⊂ V5

Tài liệu liên quan

• KHÔNG GIAN MÊTRIC - Tập compact, không gian compact.pdf
  • 7
  • 12
  • 218
• Bao lồi hữu tỉ và không gian các đồng cấu phức của các đại số đều trên các tập compact trong c
  • 37
  • 351
  • 0
• Nhóm tôpô sinh bởi một tập compact
  • 26
  • 422
  • 0
• Về ánh xạ đóng và tập compact
  • 37
  • 438
  • 1
• Tài liệu Toán ứng dụng - chương 4: Không gian vecto pdf
  • 51
  • 985
  • 17
• Tài liệu Chương 4. KHÔNG GIAN EUCLIDE pdf
  • 4
  • 793
  • 6
• Làm sao để kiềm chế cơn nóng giận không quát trẻ pdf
  • 3
  • 509
  • 0
• Linh hoạt trong không gian nhỏ pdf
  • 12
  • 415
  • 0
• Nhà vườn hiện đại tràn ngập không gian xanh pdf
  • 8
  • 416
  • 1
• Nhà 3 tầng đẹp với không gian mở pdf
  • 9
  • 373
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(139.45 KB - 7 trang) - KHÔNG GIAN MÊTRIC - Tập compact, không gian compact.pdf Tải bản đầy đủ ngay ×