Xemtailieu Tải về Toán tử compact trong không gian banach
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HỒNG UYỂN TOÁN TỬ COMPACT TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học Th.s HOÀNG NGỌC TUẤN Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành được khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận. Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn – Th.S Hoàng Ngọc Tuấn đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vẫn đề trình bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Uyển LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Th.S Hoàng Ngọc Tuấn. Đây là đề tài độc lập không trùng lặp với đề tài của các tác giả khác. Trong khi nghiên cứu hoàn thành bài khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Uyển Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 2. Toán tử compact trong không gian Banach . . . . . . . . . . 12 2.1. Định lý Schauder và Định lý thay phiên Fredholm. . . . . . . . . . 12 2.2. Lý thuyết phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán học cơ bản và toán học ứng dụng. Nội dung của nó rất phong phú, đa dạng. Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó có thể đi sâu nghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích hàm. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm Toán và trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy giáo – Th.S Hoàng Ngọc Tuấn em xin mạnh dạn trình bày những kiến thức của mình về đề tài “Toán tử compact trong không gian Banach”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của bài khóa luận này là tìm hiểu về toán tử compact trong không gian Banach. 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về toán tử compact trong không gian Banach bao gồm các định nghĩa và tính chất của nó. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo. Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất. 1 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Toán tử compact trong không gian Banach. Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Uyển 2 CHƯƠNG 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Metric Định nghĩa 1.1. Ta gọi là không gian metric một tập hợp X 6= 0/ cùng với một ánh xạ d từ tích Đề - các X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các tiên đề sau đây: (i) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồng nhất); (ii) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = (y, x), (tiên đề đối xứng); (iii) (∀x, y, z ∈ X)d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác). Ánh xạ d được gọi là metric trong X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm. Không gian metric được kí hiệu là M = (X, d). Định nghĩa 1.2. Cho không gian metric M = (X, d), dãy điểm (xn ) ⊂ X, điểm x0 ∈ X. Dãy điểm (xn ) gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian Mkhi n → ∞ nếu (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N ∗ ) (∀n ≥ n0 ) d(xn , x0 ) < ε, kí hiệu : lim xn = x0 hay xn → x0 (n → ∞). n→∞ Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy (xn ) trong không gian M. Định nghĩa 1.3. Cho không gian metric M = (X, d). Ta gọi là lân cận của điểm x ∈ X trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r > 0 nào đấy. Định nghĩa 1.4. Cho không gian metric M = (X, d) và tập A ⊂ X. Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong 3 của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A. Tập A gọi là tập đóng trong không gian M, nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ / A thì tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A. Định nghĩa 1.5. Cho không gian metric M = (X, d). Tập K ⊂ X gọi là tập compact trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K. Tập K gọi là tập compact tương đối trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X). Định nghĩa 1.6. Cho không gian metric M = (X, d). Không gian M gọi là không gian compact, nếu tập X là tập compact trong M. Định lý 1.1. (Azela - Ascoli) Cho X là một không gian metric compact và Y là một không gian metric. Khi đó một tập hợp con F của C(X,Y ) là compact khi và chỉ khi nó liên tục đồng bậc, bị chặn từng điểm và đóng. Trong đó C(X,Y ) là không gian metric với phần tử là tất cả các hàm liên tục từ X tới Y và metric được xác định bởi công thức: d( f , g) = max d ( f (x), g(x)) X Tập con F được gọi là bị chặn từng điểm nếu với mọi x ∈ X tập hợp { f (x) : f ∈ F} là bị chặn trong Y . Tập F được gọi là liên tục đồng bậc trên X nếu: ∀x0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ > 0 ∀ f ∈ F, ∀x ∈ X : d(x, x0 ) < δ ⇒ d( f (x), f (x0 )) < ε. 1.2. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.7. Cho X là không gian vectơ trên trường K (K=R hoặc C). Ánh xạ k.k : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu 4 (i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X; (ii) [kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0; (iii) kλ xk = |λ | kxk với mọi x ∈ X với mọi λ ∈ K; Một không gian vectơ với một chuẩn (X, k.k) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn (hay là một không gian định chuẩn). Định lý 1.2. Cho (X, k.k). Đặt d(x, y) = kx − yk ∀x, y ∈ X. Khi đó, d là metric trên X. Từ định lý trên suy ra một không gian định chuẩn có thể trở thành không gian metric (với metric định nghĩa như trong định lý). Do đó những khái niệm và tính chất đã có trong không gian metric thì cũng có trong không gian định chuẩn. Một không gian Banach là một không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) là đủ trong metric chính tắc được xác định bởi d(x, y) = kx − yk với x, y ∈ X. Mệnh đề 1.1. Cho Y là không gian con của không gian Banach X. Y là một không gian Banach khi và chỉ khi Y là đóng trong X. Định nghĩa 1.8. Cho p ∈ [1,∞). Không gian `np được xác định không gian vectơ K n n – chiều, với chuẩn kí hiệu với x = (x1 , ..., xn ) ∈ `np n kxk p = ∑ |xi | !1 p p i=1 Mệnh đề 1.2. (Riesz) Cho X là một không gian định chuẩn. Nếu Y là một không gian con đóng thực sự của X thì với mọi ε > 0 tồn tại x ∈ SX := {x ∈ X : kxk = 1} sao cho dist(x,Y ) ≥ 1 − ε. Định lý 1.3. Cho X là một không gian định chuẩn. X là hữu hạn chiều khi và chỉ khi hình cầu đơn vị BX của X là compact. Định nghĩa 1.9. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K (K là trường số thực R hoặc trường số phức C). Một ánh xạ T : X → Y được gọi 5 là tuyến tính, nếu 0 0 0 (i) ∀x, x ∈ X : T (x + x ) = T x + T x ; (ii) ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K : T λ x = λ T x. Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y = K thì toán tử T thường gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.10. Cho X, Y là không gian định chuẩn, và cho T là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . T được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu T (BX ) bị chặn trong Y . Ta xác định chuẩn của T là: kT k = sup {kT (x)kY ; x ∈ BX } . Kí hiệu B(X,Y ) là không gian của các toán tử tuyến tính từ X vào Y . Trong trường hợp X = Y , ta đặt B(X) = B(X, X). Định lý 1.4. Cho T : X → Y là toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, T liên tục khi và chỉ khi T bị chặn. Do đó, ta dùng các thuật ngữ liên tục và bị chặn thay thế cho nhau khi nói về các toán tử tuyến tính. Định lý 1.5. Cho Y là không gian con của không gian Banach X. Nếu dim(Y ) = n, thì tồn tại một phép chiếu P của X vào Y sao cho kPk ≤ n. Định nghĩa 1.11. Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ B(X,Y ) – không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ T : X → Y . Ta định nghĩa toán tử đối ngẫu (hay được gọi là liên hợp) T ∗ ∈ B(Y ∗ , X ∗ ) với f ∈ Y ∗ , T ∗ ( f ) : x 7→ f (T (x)). Mệnh đề 1.3. Cho A, B là tập hợp compact trong không gian Banach X. Khi đó, A + B là compact. Mệnh đề 1.4. B(`2 ) chứa một tập con đẳng cự với `∞ và do đó nó không tách được. 6 Định nghĩa 1.12. Một không gian con Y của không gian Banach X được gọi là bù được trong X nếu tồn tại một phép chiếu tuyến tính bị chặn của X lên Y . Mệnh đề 1.5. Cho Y là không gian con đóng của không gian Banach. Y là bù được trong X khi và chỉ khi tồn tại phần bù tôpô của Y trong X. Định nghĩa 1.13. Dãy {xn } trong không gian Banach X gọi là : (i) Bị chặn dưới nếu inf kxn k > 0 (ii) Bị chặn trên nếu sup kxn k < ∞ (iii) Chuẩn hóa nếu kxn k = 1 với mọi n. Định nghĩa 1.14. Cho không gian tuyến tính X và k.k1 , k.k2 là hai chuẩn trên X. Hai chuẩn k.k1 và k.k2 được gọi là tương đương nếu tồn tại hai số dương α, β sao cho: αkxk1 ≤ kxk2 ≤ β kxk1 ∀x ∈ X. Định lý 1.6. Nếu k.k1 , k.k2 là tương đương thì cùng xác định một sự hội tụ với một dãy bất kì, nghĩa là: lim kx − xn k1 = 0 ⇔ lim kx − xn k2 = 0. n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.15. 1. Tập E ⊂ X được gọi là trù mật trong X nếu E = X. 2. Không gian định chuẩn X gọi là không gian tách được nếu tồn tại một tập đếm được, trù mật trong X. Định lý 1.7. (Hahn - Banach) Cho X là một không gian vectơ và p là một hàm giá trị thực trên X thỏa mãn:∀x, y ∈ X, ∀a, b ∈ C, |a| + |b| = 1 ⇒ p(ax + by) ≤ |a| p(x) + |b| p(y). Lấy λ là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con Y của X và giả sử λ thỏa mãn ∀x ∈ Y, |λ (x)| ≤ p(x). Khi đó, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính ϕ trên X sao cho: ∀x ∈ X, |ϕ(x)| ≤ p(x) và ∀x ∈ Y, ϕ(x) = λ (x). 7 Định lý 1.8. (Nguyên lí bị chặn đều) Cho X là một không gian Banach và Y là một không gian tuyến tính định chuẩn. Lấy {T γ}γ∈Γ là một họ các toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ X vào Y . Khi đó (∀x ∈ X; sup Tγ (x) Y < ∞) ⇒ γ∈Γ sup Tγ < ∞. Định lý 1.9. (Nguyên lí ánh xạ mở) Cho T : X → Y là một toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Banach X lên không gian Banach Y . Khi đó: T (U) = {T (x) : x ∈ U} là tập mở trong Y khi U là tập mở trong X. Định lý 1.10. (Nguyên lí ánh xạ ngược) Một song ánh liên tục T : X → Y ánh xạ không gian Banach X lên không gian Banach Y có song ánh ngược T −1 : Y → X. Ví dụ Giả sử E ⊂ R. Với 1 ≤ p < ∞, kí hiệu: Z p (P) L (E) = f : E → C : | f (x)| dx < ∞ E thì L p (E) là không gian Banach với chuẩn k f kL p = R p 1 p | f (x)| dx E 1.3. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.16. Cho không gian tuyến tính X trên trường F. Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Đềcác X × X vào F, kí hiệu h., .i thỏa mãn tiên đề: (i) (∀x, y ∈ X) hy, xi = hx, yi; (ii) (∀x, y, z ∈ X) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi ; (iii) (∀x ∈ X) hx, xi > 0 nếu x 6= θ (θ là kí hiệu phần tử không) hx, xi = 0 nếu x = θ . Nếu hx, yi = 0 thì x, y được gọi là trực giao. Khi đó ta viết x⊥y. 8 Nếu x ∈ X, ta đặt kxk = p hx, xi thì công thức này xác định một chuẩn trên X. Định nghĩa 1.17. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X và không gian Hilbert Y . Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu: (Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y. Toán tử liên hợp B thường kí hiệu là A∗ . Định nghĩa 1.18. Ta gọi một tập H 6= 0/ gồm những phần tử x, y, z, ... nào đó là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện: (i) H là không gian tuyến tính trên trường F (ii) H được trang bị một tích vô hướng (iii) H là không gian Banach với chuẩn kxk = p hx, xi, x ∈ H. Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H. Định nghĩa 1.19. Cho F là không gian con của không gian Hilbert H. Tập hợp F ⊥ = {h ∈ H; h⊥F} được gọi là phần bù trực giao của F trong H. Định lý 1.11. Cho F là không gian con của không gian Hilbert H. Nếu F là đóng thì F + F ⊥ = H. Do đó, T : F ⊕ F ⊥ → H được định nghĩa bởi T (x, y) = x + y là một phép đẳng cấu của F ⊕ F ⊥ lên H. Định nghĩa 1.20. Cho H là không gian Hilbert và S ⊂ H. S được gọi là tập hợp trực chuẩn nếu (s1 , s2 ) = 0 với bất kì s1 6= s2 ∈ S và (s, s) = 1 với mọi s ∈ S. Tập hợp trực chuẩn lớn nhất trong H được gọi là một cơ sở trực chuẩn của H. Định lý 1.12. Mọi không gian Hilbert đều có một cơ sở trực chuẩn. 9 Định lý 1.13. Mọi không gian Hilbert H vô hạn chiều tách được đều có một cơ sở trực chuẩn {ei }∞ i=1 . Hơn nữa, nếu {ei }∞ i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H, thì với mọi x ∈ H ∞ x = ∑ (x, ei )ei i=1 Số (x, ei ) được gọi là hệ số Fourier và x = ∑ (x, ei )ei được gọi là khai triển Fourier của x hoặc chuỗi Fourier với x. Mệnh đề 1.6. Cho {ei }∞ i=1 là một tập hợp trực chuẩn trong không gian Hilbert H và x ∈ H ∞ (i) ∑ |(x, ei )|2 ≤ kxk2 (Bất đẳng thức Bessel) i=1 ∞ 2 2 (ii) Nếu {ei }∞ i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H, thì kxk = ∑ |(x, ei )| i=1 (Bất đẳng thức Parseval) (iii) Nếu bất đẳng thức Parserval luôn đúng với mọi x ∈ H thì {ei }∞ i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H ∞ (iv) Nếu span({ei }∞ i=1 ) = H, thì {ei }i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H. Mệnh đề 1.7. Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ B(X,Y ). Nếu có δ > 0 sao cho kT (x)k ≥ δ kxk với mọi x ∈ X, thì T (X) là đóng trong Y . Hơn nữa, T là một phép đẳng cấu từ X vào Y . Mệnh đề 1.8. Cho Y là không gian con đóng của không gian Banach X. Nếu x0 ∈ / Y, thì có f ∈ SX ∗ sao cho f (x) = 0 với mọi x ∈ Y, và f (x0 ) = dist(x0 ,Y ). Định lý 1.14. Cho H là không gian Hilbert. Với mọi f ∈ H ∗ , tồn tại duy nhất a ∈ H, sao cho f (x) = 0 với mọi x ∈ H. Ánh xạ f 7→ a là liên hợp tuyến tính đẳng cự của H ∗ vào trong H. Ví dụ 1. L p (E) là không gian Hilbert khi p = 2 và tích vô hướng được xác định bởi h f , gi = R E f (x)g(x) dx Khi p 6= 2 thì L p (E) không là không gian Hilbert. 10 2. p = 2 thì ` p là không gian Hilbert với tích vô hướng ∞ h(an ), (bn )i = ∑ an bn n=1 p 6= 2 thì L p (E) không là không gian Hilbert. Định nghĩa 1.21. Cho {xn } là một dãy trong không gian Hilbert H (i) {xn } là dãy trực giao nếu hxn , xm i = 0 khi m 6= n (ii) {xn } là dãy trực chuẩn nếu hxm , xn i = δmn , nghĩa là, {xn } trực giao và kxk = 1 với mọi n ∞ (iii) {xn } là cơ sở của H nếu ∀x ∈ H đều có thể viết x = ∑ cn xn với n=1 cách chọn các vô hướng cn là duy nhất (iv) Dãy {xn } cơ sở trực chuẩn nếu nó vừa là dãy trực chuẩn vừa là cơ sở. Trong trường hợp này, sự biểu diễn duy nhất của x ∈ H theo cơ sở này là x = ∑ hx, xn i xn . Ví dụ Lấy H = `2 và xác định dãy en = (δmn )∞ m=1 = (0, . . . ,0, 1, 0. . . ) trong đó số 1 ở vị trí thứ n. Khi đó {en } là cơ sở trực chuẩn của `2 , thường gọi là cơ sở chính tắc. Định lý 1.15. Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi không gian đó là tách được. Định nghĩa 1.22. Cho S là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Toán tử S∗ ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp của toán tử S nếu: hSx, yi = hx, S∗ yi , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y. 11 CHƯƠNG 2 Toán tử compact trong không gian Banach 2.1. Định lý Schauder và Định lý thay phiên Fredholm. Định nghĩa 2.1. Cho X và Y là không gian Banach. T ∈ B(X,Y ) được gọi là một toán tử compact nếu T (BX ) là compact trong Y . Không gian của tất cả các toán tử compact từ X vào Y với chuẩn được tạo thành từ B(X,Y ) được kí hiệu là κ(X,Y ). Nếu X = Y , thì viết κ(X) thay cho κ(X, X). T ∈ B(X,Y ) được gọi là một toán tử có hạng hữu hạn hoặc một toán tử hữu hạn chiều nếu dim(T (x)) < ∞. Bởi F(X,Y ) ta kí hiệu không gian của tất cả các toán tử hữu hạn chiều từ X vào Y với chuẩn được tạo thành từ B(X,Y ). Nếu f ∈ SX∗ và f không đạt được chuẩn của nó trên BX thì f (BX ) = (-1,1). Do đó ta có f ∈ κ(X,R), nhưng f (BX ) không phải là compact. Bởi vậy, bao đóng T (BX ) trong định nghĩa của toán tử compact không thể bỏ được. Mệnh đề 2.1. Cho X, Y là không gian Banach. Khi đó F(X,Y ) là không gian con của κ(X,Y ). κ(X,Y ) là không gian con đóng của B(X,Y ), và đó là một không gian Banach. 12 Chứng minh. Vì (T1 + T2 )(X) ⊂ T1 (X) + T2 (X), F(X,Y ) là không gian con của B(X,Y ). Nếu T là một toán tử có hạng hữu hạn, thì T (BX ) là tập hợp bị chặn trong không gian đóng hữu hạn chiều T (X), và do đó T (BX ) là compact. Đối với T1 , T2 ta có (αT1 + β T2 )(BX ) ⊂ αT1 (BX ) + β T2 (BX ) ⊂ αT1 (BX ) + β T2 (BX ) và nếu Ti compact, vế phải là tập hợp compact (Mệnh đề 1.3). Do đó, κ(X,Y ) là không gian con của B(X,Y ). Ta sẽ chứng tỏ nó là đóng. Xét Tn ∈ κ(X,Y ) sao cho lim(Tn ) = T trong κ(X,Y ). Để chứng tỏ rằng T là toán tử compact, cho ε > 0, ta tìm một ε - lưới hữu hạn với T (BX ). Đầu tiên, chú ý rằng Tn → T trong B(X,Y ) có nghĩa là lim (Tn (x)) = T (x) không n→∞ đổi với x ∈ BX . Do đó, tồn tại n0 sao cho kTn (x) − T (x)k < ε/2 để x ∈ BX và n ≥ n0 . Vì Tn0 (BX ) bị chặn hoàn toàn trong Y nên ε/2 – lưới hữu hạn F trong Tn0 (BX ). Ta có ε hữu hạn trong T (BX ). Thật vậy, cho x ∈ BX , ta tìm được y ∈ F sao cho Tn0 (x) − y < ε/2. Khi đó kT (x) − yk ≤ T (x) − Tn0 (x) + Tn (x) − y < ε. Bởi vậy, T là toán tử compact. 0 Chú ý rằng nếu X là vô hạn chiều, thì không có phép đẳng cấu từ X vào Y là toán tử compact theo Định lý 1.3. Đặc biệt, toán tử đồng nhất IX trong không gian Banach vô hạn chiều X không bao giờ là compact. Bổ đề 2.1. Cho X, Y là không gian Banach và T , T1 , T2 ... ∈ B(X,Y ). Nếu lim(Tn (x)) = T (x) với mọi x ∈ X, thì với mỗi tập hợp compact K trong X ta có Tn (x) → T (x) đều trên K. Chứng minh. Ngược lại, giả sử có một tập hợp compact K trong X, ε > 0, một dãy con của {Tn } (kí hiệu {Tn }) và xn ∈ K sao cho kTn (xn ) − T (xn )k ≥ ε. Vì {xn } ⊂ K nên ta giả sử xn → x với x ∈ K. Theo nguyên lí bị chặn đều 13 ta có M = sup{kT k , kT1 k , kT2 k , ...} < ∞. Do đó k(Tn − T )(xn )k ≤ k(Tn − T )(x)k + k(Tn − T )(xn − x)k ≤ k(Tn − T )(xn )k + kTn − T k . kxn − xk ≤ k(Tn − T )(x)k + 2M. kxn − xk → 0, mâu thuẫn với kTn (xn ) − T (xn )k ≥ ε. Định nghĩa 2.2. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn vô hạn chiều. Một dãy {ei }∞ i=1 trong X được gọi là một cơ sở Schauder của X nếu với mọi x ∈ X thì tồn tại dãy vô hướng (ai )∞ i=1 được gọi là tọa độ của x sao ∞ cho x = ∑ ai ei . i=1 Mệnh đề 2.2. ([6]) Cho X là không gian Banach với cơ sở Schauder. Thế thì B(X) F(X) = κ(X). Chứng minh. Giả sử Pn là phép chiếu chính tắc được liên kết với cơ sở Schauder {ei }. Với mỗi x ∈ X, ta có lim(Pn (x)) = x = IX (x), khi đó IX là toán tử đồng nhất trong X. Cho T ∈ κ(X), ta thấy rằng có có các toán tử hữu hạn chiều Pn ◦ T hội tụ đến T trong B(X). Tiếp theo, ta phải chứng tỏ rằng (Pn − IX )(T (x)) hội tụ đều đến 0 trong BX ; tức là, (Pn − IX ) hội tụ đều đến 0 trong T (BX ). Điều này được suy ra từ Bổ đề 2.1 vì T (BX ) là compact. Không phải mọi không gian đều có tính chất này. Vì không gian của toán tử compact là đóng nên ta có F(X,Y ) ⊂ κ(X,Y ) với X, Y là các không gian Banach. Không gian Banach Y được gọi là có tính chất xấp xỉ (A.P) nếu trong mọi không gian Banach X ta có F(X,Y ) = κ(X,Y ). Một thay đổi nhỏ trong chứng minh định lí trước chứng tỏ rằng c0 và ` p , p ∈ [1,∞), có A.P. Mệnh đề 2.3. Cho X là không gian Banach với cơ sở Schauder. Nếu X ∗ là tách được, thì κ(X,Y ) là tách được. 14 Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng tỏ rằng tập các toán tử một chiều là tập hợp con trong κ(X). Chọn một tập hợp trù mật đếm được{ fi } trong X ∗ và một tập hợp trù mật đếm được {xn } trong X. Khi đó dãy các toán tử Ti,n : x 7→ fi (x)xn là trù mật trong tập hợp các toán tử một chiều trên X. Thật vậy, giả sử T là một toán tử một chiều không tầm thường trên X có dạng T (x) = f (x) e, khi đó f ∈ X ∗ , e ∈ X. Cho ε > 0, chọn fi sao cho k f − fi k ≤ ε/ kek và xn sao cho ke − xn k < ε/(k f k + ε/ kek). Với kxk ≤ 1, ta có k f (x)e − fi (x)xn k ≤ kek . k f − fi k . kxk + k fi k . ke − xn k . kxk ε ε ε ≤ kek + (k f k + ) < 2ε. kek kek k f k + ε/ kek Do đó kTi,n − T k < 2ε. Vì không gian sinh bởi các toán tử một chiều là F(X), không gian này là tách được. Từ K(X) = F(X) ta có κ(X) là tách được. Ta đã có B(`2 ) là không tách được (Mệnh đề 1.4). w Mệnh đề 2.4. Cho X, Y là không gian Banach và T ∈ κ(X,Y ). Nếu xn → x trong X, thì T (xn ) → T (x) trong Y . Một toán tử thỏa mãn kết luận của Mệnh đề 2.4 được gọi là toán tử liên tục đầy đủ. Do đó, mọi toán tử compact là liên tục đầy đủ. Ví dụ của toán tử đồng nhất trên `1 chứng tỏ rằng chiều ngược lại của định lí không đúng trong trường hợp tổng quát. w Chứng minh. Nếu xn → x thì {xn } yếu và do đó chuẩn bị chặn, và ta giả sử w x, xn ∈ BX . Ta có T (xn ) → T (x) bởi tính w - w - liên tục của T . Tuy nhiên, T (BX ) là không gian compact trong tôpô chuẩn, nên tôpô yếu là yếu hơn và Hausdorff; từ đó hai tôpô này trùng nhau trên T (BX ). Do đó, T (xn ) → T (x). 15 Ví dụ Giả sử X = L2 [0, 1] và K ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1]). Kí hiệu toán tử T từ L2 [0, 1] vào L2 [0, 1] bởi T (x) : t 7→ Z1 K(t, s)x(s)ds. 0 Thật vậy, T (x) ∈ L2 [0, 1] khi x ∈ L2 [0, 1]: Z1 kT (x)kL2 = 0 2 12 Z1 K(s,t)x(s) ds dt 0 ≤ Z1 Z1 0 0 ≤ Z1 0 2 21 |K(s,t)| |x(s)| ds dt Z1 |K(s,t)|2 ds 0 1 = x2 (s) ds 0 1 2 |x(s)|2 ds dt 0 Z1 Z1 2 Z1 Z1 0 1 2 |K(s,t)|2 ds dt < ∞. 0 1 Do đó cũng có T ∈ B(L2 [0, 1]) và kT k ≤ R R1 |K(s,t)|2 ds dt 12 . 0 0 Ta sẽ chứng tỏ rằng T là toán tử compact. Đầu tiên, ta chứng tỏ rằng nếu T là liên tục trên [0, 1] × [0, 1], thì T ánh xạ L2 [0, 1] vào C[0, 1]. Theo sự liên tục của K, ta có M = sup { |K(s,t)| ; (s,t) ∈ [0, 1] × [0, 1]} < ∞ và từ x ∈ BL2 16 Tải về bản full