(PDF) Tập Compact Giải Tich | Dep Phan

Tập compact Giải tichDep Phan

Trong không gian metric, Định lý Eberlein–Šmulian khẳng định các khái niệm tập compact và tập compact dãy trùng nhau cũng như tập compact điểm giới hạn, cụ thể: + tập compact (Lindelöf compactness) là tập mà mọi phủ mở của nó đều trích ra được một phủ con hữu hạn; + tập compact dãy (Sequential compactness) là tập mà mọi dãy vô hạn bất kỳ gồm các phần tử thuộc vào tập này đều có thể trích ra một dãy con hội tụ đến một điểm trong tập ban đầu; + tập compact điểm giới hạn (Limit point compactness) là tập mà mọi tập con vô hạn bất kỳ của tập ban đầu đều có điểm giới hạn. Các khái niệm compact trên có điểm gần giống với Tiên đề Cận dưới đúng trong tập số thực. Chúng đều khó hình dung cụ thể nhưng khá hữu hiệu trong các chứng minh chỉ ra sự tồn tại một cách lý thuyết, chẳng hạn trong việc chứng minh hàm liên tục trên tập compact đạt giá trị nhỏ nhất hay chứng minh sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng vào chính nó (trong không gian hữu hạn chiều). Câu hỏi đặt ra: làm thế nào nhận dạng dễ dàng tập compact trong các trường hợp cụ thể? Trong trường hợp không gian hữu hạn chiều, như đường thẳng thực, mặt phẳng phức, v.v, một tập là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn. Tính chất đóng và bị chặn khá dễ kiểm chứng hay nhận dạng. Trong trường hợp không gian vô hạn chiều, tập compact là đóng và bị chặn. Nhưng điều ngược lại không đúng, chẳng hạn hình cầu đóng trong không gian định chuẩn vô hạn chiều là không compact. Cụ thể hơn nữa, trong không gian dãy , dãy là dãy vô hạn và không có dãy con nào Cauchy vì khi. Vậy trong không gian khi nào một tập là compact? Ngoài tính đóng và bị chặn nó còn cần thêm điều kiện gì? Khi , tập là tập compact khi và chỉ khi các điều kiện sau xảy ra + đóng và bị chặn, + Điều kiện bị chặn và

See full PDFdownloadDownload PDF