Tập Compact | Giải Tích

Trang chủ » Cách Chứng Minh Tập Compact » Tập Compact | Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Trong không gian metric, Định lý Eberlein–Šmulian khẳng định các khái niệm tập compact và tập compact dãy trùng nhau cũng như tập compact điểm giới hạn, cụ thể:

+ tập compact (Lindelöf compactness) là tập mà mọi phủ mở của nó đều trích ra được một phủ con hữu hạn;

+ tập compact dãy (Sequential compactness) là tập mà mọi dãy vô hạn bất kỳ gồm các phần tử thuộc vào tập này đều có thể trích ra một dãy con hội tụ đến một điểm trong tập ban đầu;

+ tập compact điểm giới hạn (Limit point compactness) là tập mà mọi tập con vô hạn bất kỳ của tập ban đầu đều có điểm giới hạn.

Các khái niệm compact trên có điểm gần giống với Tiên đề Cận dưới đúng trong tập số thực. Chúng đều khó hình dung cụ thể nhưng khá hữu hiệu trong các chứng minh chỉ ra sự tồn tại một cách lý thuyết, chẳng hạn trong việc chứng minh hàm liên tục trên tập compact đạt giá trị nhỏ nhất hay chứng minh sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng vào chính nó (trong không gian hữu hạn chiều). Câu hỏi đặt ra: làm thế nào nhận dạng dễ dàng tập compact trong các trường hợp cụ thể?

Trong trường hợp không gian hữu hạn chiều, như đường thẳng thực, mặt phẳng phức, v.v, một tập là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn. Tính chất đóng và bị chặn khá dễ kiểm chứng hay nhận dạng.

Trong trường hợp không gian vô hạn chiều, tập compact là đóng và bị chặn. Nhưng điều ngược lại không đúng, chẳng hạn hình cầu đóng trong không gian định chuẩn vô hạn chiều là không compact. Cụ thể hơn nữa, trong không gian dãy \ell_p(\mathbb N, \mathbb R), 1\le p\le +\infty, dãy e_n=(x_1, x_2, \dots, x_k, \dots), x_k=\delta_{kn} là dãy vô hạn và không có dãy con nào Cauchy vì ||e_n-e_m||_p\ge 1 khi n\not=m.

Vậy trong không gian \ell_p(\mathbb N, \mathbb R), khi nào một tập là compact? Ngoài tính đóng và bị chặn nó còn cần thêm điều kiện gì?

Khi 1\le p<+\infty, tập A\subset \ell_p(\mathbb N, \mathbb R) là tập compact khi và chỉ khi các điều kiện sau xảy ra

+ A đóng và bị chặn,

+ \lim\limits_{N\to\infty} \sup\limits_{x\in A} \sum\limits_{n=N}^\infty |x_n|^p=0.

Điều kiện bị chặn và

\lim\limits_{N\to\infty} \sup\limits_{x\in A} \sum\limits_{n=N}^\infty |x_n|^p=0

tương đương với tính hoàn toàn bị chặn (totally bounded).

Ngoài ra nó còn tương đương với điều kiện sau

+ tồn tại một hằng số dương C và một dãy số dương không giảm a_n, n=1, 2, \dots, thỏa mãn

-) \lim\limits_{n\to+\infty}a_n=+\infty,

-) \sum\limits_{n=1}^\infty a_n|x_n|^p<C, \forall x\in A.

Một ví dụ đơn giản về tập compact trong \ell_p(\mathbb N, \mathbb R) như sau.

Cho trước dãy \{b_n\}_{}^\infty\in\ell_p(\mathbb N, \mathbb R). Tập A gồm các dãy \{x_n\}_{n=1}^\infty thỏa mãn

|x_n|\le |b_n|, \forall n\in\mathbb N

là tập compact trong \ell_p(\mathbb N, \mathbb R).

Hay tập compact sau không có dạng trên.

Tập B gồm các dãy \{x_n\}_{n=1}^\infty thỏa mãn

\sum\limits_{n=1}^\infty n|x_n|^p\le 1.

Trong không gian \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R), tập đóng và bị chặn nào là tập compact?

Tôi chưa biết câu trả lời hoàn chỉnh cho câu hỏi này ngoại trừ điều kiện cần và đủ, như mọi không gian metric,

đóng + hoàn toàn bị chặn.

Một số câu trả lời khác.

Cho dãy dương \{b_n\}_{n=1}^\infty thỏa mãn \lim\limits_{n\to\infty}b_n=0.

Tập gồm các dãy \{x_n\}_{n=1}^\infty thỏa mãn |x_n|\le b_n là tập compact trong \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb Z).

Nếu ta định nghĩa chuẩn sau trên \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R) ||x||=\sup_{n\in\mathbb N}\dfrac{|x_n|}{2^n} thì tập đóng và bị chặn trong \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R) theo chuẩn cũ là tập compact theo chuẩn mới.

Ta cũng có tập đóng và bị chặn trong \ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R) là tập compact yếu*, nghĩa là

mọi dãy x^{(n)}, n=1, 2, \dots, trong tập này

đều có một dãy con x^{(n_k)}, k=1, 2, \dots hội tụ yếu* đến một dãy x\in\ell_\infty(\mathbb N, \mathbb R), hay chính xác \lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{j=1}^\infty (x^{(n_k)}_j -x_j)y_j=0, \forall \{y_j\}_{j=1}^\infty\in\ell_1(\mathbb N, \mathbb R).

Một kết quả tương tự cho các không gian \ell_p(\mathbb N, \mathbb R), 1<p<\infty như sau.

Tập đóng và bị chặn trong không gian \ell_p(\mathbb N, \mathbb R), 1<p<\infty là tập compact yếu.

Riêng trong không gian \ell_1(\mathbb N, \mathbb R), vì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh nên tập bị chặn không là tập compact yếu.

Chuyển sang không gian hàm, ta có Định lý Azela-Ascoli:

Tập đóng và bị chặn A trong không gian C[0, 1] là tập compact khi và chỉ khi tập đó đồng liên tục đều (equi), nghĩa là

\forall \epsilon>0, \exists \delta>0 \forall f\in A, \forall x_1, x_2\in[0, 1] |x_1-x_2|<\delta thì |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon.

Có thể thấy ngay tập bị chặn và đóng trong không gian C^1[0, 1] là tập compact trong C[0, 1].

Trong không gian L^p(0, 1), 1\le p<\infty ta có Định lý Frechet-Kolmogorov:

Cho A là tập đóng và bị chặn trong không gian L^p(0, 1), 1\le p<\infty, \omega là tập mở trong (0, 1) sao cho d=d(\omega, \{0, 1\})>0. Khi đó, tập A|_\omega=\{f|_\omega|\; f\in A\} là tập compact trong L^p(\omega) khi và chỉ khi

với mỗi \epsilon>0 đều có \delta\in(0, d) sao cho \int\limits_\omega|f(x+h)-f(x)|^pdx<\epsilon^p khi |h|<\delta, f\in A.

Một cách tương tự ta có kết quả sau trong không gian L^p(\mathbb R), 1\le p<\infty.

Tập đóng và bị chặn A trong L^p(\mathbb R), 1\le p<\infty thỏa mãn

với mỗi \epsilon>0 đều có \delta>0 sao cho \int\limits_{\mathbb R}|f(x+h)-f(x)|^pdx<\epsilon^p khi |h|<\delta, f\in A.

Khi đó A|_\Omega là tập compact trong mọi không L^p(\Omega), \Omega là tập con có độ đo hữu hạn trong \mathbb R.

Ứng dụng kết quả này ta có hệ quả sau. Cho G\in L^1(\mathbb R), A là tập đóng và bị chặn trong L^p(\mathbb R), 1\le p<\infty. Khi đó tập B gồm các hàm dạng G*f(x)=\int\limits_{\mathbb R}G(x-y)f(y)dy khi giới hạn lên tập có độ đo hữu hạn \Omega bất kỳ trong \mathbb R là tập compact trong L^p(\Omega).

Trong không gian L^p(\mathbb R), 1\le p<\infty ta cũng có:

tập đóng và bị chặn A trong L^p(\mathbb R), 1\le p<\infty là tập compact khi và chỉ khi

+) với mỗi \epsilon>0 đều có R>0 để \int\limits_{|x|>R}|f(x)|^pdx<\epsilon^p, \forall f\in A,

+) với mỗi \epsilon>0 đều có \delta>0 sao cho \int\limits_{\mathbb R}|f(x+h)-f(x)|^pdx<\epsilon^p khi |h|<\delta, f\in A.

Ứng dụng kết quả này ta có hệ quả sau trong không gian L^2(\mathbb R).

Tập đóng bị chặn A trong không gian L^2(\mathbb R) thỏa mãn

+) \lim\limits_{R\to\infty} \sup_{f\in A} \int\limits_{|x|>R} |f(x)|^2dx=0,

+) \lim\limits_{\rho\to\infty} \sup_{f\in A} \int\limits_{|\xi|>\rho} |\hat{f}(\xi)|^2d\xi=0, trong đó biến đổi Fourier \hat{f}(\xi)=\int\limits_{\mathbb R} e^{-ix\xi}f(x)dx.

Khi đó A là tập compact trong L^2(\mathbb R).

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Cách Chứng Minh Tập Compact