Tập Compact Trong Không Gian Metric Là Tập Khả Ly | TTC

Trang chủ » Cách Chứng Minh Tập Compact » Tập Compact Trong Không Gian Metric Là Tập Khả Ly | TTC

Có thể bạn quan tâm

Tiếng Anh của từ “khả ly” là separable (cũng có thể dịch là tách-được, tuy nhiên phải hết sức lưu ý: tách-được là một từ, chứ không phải gồm hai từ “tách” và “được”, vì thế tốt nhất nên dùng “khả ly”).

Mệnh đề cần chứng minh như sau:

Cho X là không gian metric. Cho A là tập con compact của X. Chứng minh rằng A là tập khả ly, tức là A có một tập con đếm được và trù mật trong A.

Chứng minh:

Với mỗi số nguyên dương n, ta xét các hình cầu \mathbb{B}(x,1/n) với x\in A. Các hình cầu này phủ tập compact A, nên tồn tại hữu hạn hình cầu phủ A. Ký hiệu E_n là tập các tâm của các hình cầu này và lưu ý E_n là tập hữu hạn.

Đặt E = \cup_{n=1}^{\infty}E_n. Đây là hợp đếm được của các tập hữu hạn, vì thế nó là tập đếm được. Ta sẽ c/m E là tập con trù mật của A.

Thật vậy, với mọi x\in A với mọi \varepsilon>0, tồn tại n sao cho 1/n < \varepsilon. Vì các hình cầu bán kính 1/n với tâm thuộc E_n phủ A, nên x thuộc một hình cầu \mathbb{B}(y,1/n) với y\in E_n nào đó. Như vậy ta có thể xây dựng được một dãy trong A hội tụ tới x. Điều đó kết thúc chứng minh.

Ở đây ta nên nhận xét chút về những gì đã dùng để c/m:

– ta đã sử dụng tính chất là: mọi lân cận của một điểm x trong không gian metric đều chứa một hình cầu có dạng \mathbb{B}(x,1/n), và số hình cầu như thế là đếm được. Ta gọi tính chất này là: mọi điểm của không gian metric X đều có một cơ sở lân cận đếm được. Không gian metric có tính chất này, nhưng không gian topo tổng quát thì không nhất thiết có.

Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Cách Chứng Minh Tập Compact