Cho A, B Là Các Số Dương Thỏa Mãn: Ab + A + B = 3. Chứng Minh

Có thể bạn quan tâm

Giải chi tiết:

Từ giả thiết a, b > 0 và ab + a + b = 3

=> ab = 3 - (a + b), (a + 1)(b + 1) = ab + a +b +1 = 4.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

a2 + b2 + ≥ + - 1

⇔ a2 + b2 + ≥ (a2 + b2 )+ ( a + b ) + - 1

⇔ 4( a2 + b2 ) + 6 ≥ 3( a2 + b2 ) + 3( a + b ) + - 4

⇔ a2 + b2 - 3( a + b ) - + 10 ≥ 0 (A)

Đặt x = a + b > 0 => x2 = ( a + b )2 ≥ 4ab = 4( 3 - x )

=> x2 + 4x - 12 ≥ 0 => x ≤ - 6 hay x ≥ 2 => x ≥ 2 ( vì x > 0 )

x2 = a2 + b2 + 2ab => a2 + b2 = x2 – 2( 3 – x ) = x2 + 2x - 6

Thế x như trên (A) ta thành

x2 – x - + 4 ≥ 0, với x ≥ 2

⇔ x3 – x2 + 4x – 12 ≥ 0, với x ≥ 2

⇔ ( x – 2 )( x2 + x + 6 ) ≥ 0, với x ≥ 2 (hiển nhiên đúng)

Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh