HSG Toan 9 - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.docx) (16 trang)

Trang chủ

Kỹ thuật

Hóa dầu

HSG Toan 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (216.62 KB, 16 trang )

(1)Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC A - CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1. Phương pháp đổi tương đương *. Để chứng minh: A B. A B  A1 B1  An Bn. Ta biến đổi. (đây là bất đẳng thức đúng). A Bn  An  1 Bn 1  A1 B1  A B Hoặc từ bất đẳng thức đứng An Bn , ta biến đổi n Ví dụ 1.1 CMR : a ) 2  a 2  b2   a  b . 2. (1). b) a 2  b 2  c 2 ab  bc  ca (2) Giải 2 a)  1  2  a 2  b 2    a  b  0 2.  a 2  b 2  2ab 0   a  b  0 (2) Do bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh.. b)  1  2  a 2  b 2  c 2   2  ab  bc  ca  0   a 2  2ab  b 2    b 2  2bc  c 2    c 2  2ca  a 2  0 2. 2.  a b  b c  c a. 2. 0 (2).       b) Bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1.2 CMR a ) 2  a 4  b 4   a  b   a 3  b3 . (1). b) 3  a 4  b 4  c 4   a  b  c   a 3  b3  c 3  (1) Giải a )  1  2a 4  2b4  a 4  a3b  ab3  b 4 0.     a  a b    ab  b  0  a  a  b   b  a  b  0   a  b   a  b  0   a  b   a  ab  b  0  2  4. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 2. 2. 2. Do bất đẳng thức (2) đúng suy ra điều phải chứng minh.. b)  1  3a 4  3b4  3c 4   a 4  a3b  a 3c  b 4  ab3  b3c  ac 3  bc 3  c 4  0   a 4  b4  a3b  ab3    b4  c 4  b3c  bc3    a 4  c 4  a 3c  ac3  0 2. 2. 2.   a  b   a 2  ab  b2    b  c   b 2  bc  c 2    a  c   a 2  ac  c 2  0 Ví dụ 1.3 CMR : a). b). a. 2.  b2   x 2  b 2   ax  by . a 2  b2  c 2  d 2 . 2.  a  c.  1 2. bd. 2.  1. Giải. a )  1  a 2 x 2  a 2 y 2  b 2 x 2  b 2 y 2 a 2 x 2  2abxy  b 2 y 2  a 2 y 2  2abxy  b 2 y 2 0 2.   ay  bx  0. (2) 1). a. b)  1  a 2  b 2  c 2  d 2  2 . a. 2. 2. 2.  b 2   c 2  d 2   a  c    b  d .  b 2   c 2  d 2  ac  bd. 2. (2). Nếu ac + bd < 0 thì (2) đúng Nếu ac  bd 0 thì.  2    a 2  b 2   c 2  d 2   ac  bd . 2.  a 2c 2  a 2 d 2  b2c 2  b2 d 2 a 2c 2  2abcd  b 2 d 2 2.   ad  bc  0 Suy ra đpcm.. a 2 b2 c2  a  b  c b c a Ví dụ 1.4. Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng:.  1. Giải.  1  a3c  b3a  c 3b . a 2bc  b 2 ac  c 2ab 0.  ac  a 2  2ab  b 2   ab  b 2  2bc  c 2   bc  c 2  2ca  a 2  0 2. 2. 2.  ac  a  b   ab  b  c   bc  c  a  0  đpcm. Ví dụ 1.5 2 2 2 a b  c  a  b a  c  b  c      b  a  c  3abc (1) Cho a, b, c > 0. CMR:. Giải. G / s a, b c  0.  1  3abc . a 2  b  c  a   b 2  a  c  b   c 2  b  a  c  0.  a  a 2  ab  ac  bc   b  b 2  bc  ba  ac   c  c 2  ac  bc  ab  0  a  a  b   a  c   b  b  c   b  a   c  c  a   c  b  0   a  b   a 2  ac  b 2  bc   c  a  c   b  c  0 2.   a  b   a  b  c   c  a  c   b  c  0 Suy ra ĐPCM. Phương pháp biến đổi đồng nhất Để chứng minh BĐT: A  B. Ta biến đổi biểu thức A – B thành tổng các biểu thức có giá trị không âm. Ví dụ 2.1 Chứng minh rằng:. a )a 2  b 2  c 2  d 2 ab  ac  ad b)a 2  4b 2  4c 2 4ab  4ac  8bc.  1  1. Giải a) Ta có a 2  b 2  c 2  d 2  ab  ac  ad.  a2   a2   a2  a2 =   ab  b 2     ac  c 2     ad  d 2    4   4   4  4 2. 2. 2. 2 a  a  a  a   b     c     d   0 4 2  2  2  2 2 2 b) Ta có : a  4b  4c  4ab  4ac  8bc.  a 2  4ab  4b 2   4c 2   4ac  8bc  2. 2.  a  2b   4c 2  4c  a  2b   a  2b  2c  0 Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng:. (3) a). 4  a3  b3   a  b  3. b). 3. 3. với a, b > 0 3. 3. 3. 8  a  b  c   a  b    b  c    c  a . c)  Giải. 3. 3. 3. 3. với a, b, c > 0. 3. a  b  c  a  b  c  24abc với a, b, c 0. 3 2 2 a) Ta có : 4  a 3  b3    a  b   a  b   4  a 2  ab  b 2    a  b   3  a  b   a  b  0   3. 3. b) Ta có :8  a 3  b3  c3    a  b    b  c    c  a . 3. 3 3 3  4  a 3  b3    a  b     4  a 3  c 3    c  a     4  b3  c 3    b  c         2. 2. 2. 3 a  b   a  b   4  a  c   a  c   3  b  c   b  c  0 3. c) Ta có :  a  b  c   a 3  b3  c 3  24abc 3. 2.  a  b   3  a  b  c  3  a  b  c 2  c 3  a 3  b3  c 3  24abc a 3  3a 2b  3ab 2  b3  3a 2c  6abc  3ac 2  3bc 2  a 3  b3  24abc 3  a 2b  c 2b  2abc   3  a 2c  b 2c  2abc   3  b 2a  c 2a  2abc  2. 2. 2. 3b  a  c   3c  a  b   3a  b  c  0 Ví dụ 2.3 Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 1 4 1 1 1 9 a)   ; b)    a b a b a b c a bc a b c 3 c)    b c c a a b 2 Giải 2 2 a  b   4ab  a  b  1 1 4  a) Ta có :     0 a b a b a b a b  1 1 1 a b  b c  a c  b)Ta có :  a  b  c       9    2      2      2   a b c b a  c b  c a .  a  b  ab. 2.  b  c  bc. 2.  a  c  ac. 2. 0. a b c 3  a 1  b 1  c 1             b c c a a b 2  b c 2  c a 2  a b 2   a  b   a  c    b  a    b  c    c  a    c  b   2 b  c 2 c  a 2 a  b. c)Ta có :. . 1 1 1  1 1  1 1   1  1     a  b      b  c     c  a   2  b c c a  2  a c a b  2  a b b c . 2 2 2  b  c a  c 1   a  b        0 2   a  c   b  c   a  c   a  b   a  b   b  c  . Cách 2 Ta có :. a b c 3  a 1  b 1  c             1  3 b c c a a b 2  b c 2   c a 2  a b .  1   a  b   a  c  a  b   b  c  a  c   b  c      6 2 bc ac ab  1  a  b b  c   bc a c   a c a b      2     2     2   0 2  b  c a b   a c bc   a b a c . (4) Ví dụ 2.4. a) Cho a, b 0. CMR: a + b 2 ab. (Bất đẳng thức Cô – si). b) Cho a, b, c 0. CMR: a + b + c 3 3 abc c) Cho a b c và x  y z.CMR  a  b  c   x  y  z  3 ax  by  cz . (Bất đẳng thức Cô – si) (Bất đẳng thức Trê bư sếp). Giải a). Ta có:. . a  b  2 ab . a  b  c  3 3 abc . b). 1 2. . 3. a. b. . 2. 0. a3b3c  . . 3. a. 3. b. 2.  . 3. c. 3. b. 2.  .  a  b  c   x  y  z   3 ax  by  cz   y  x   a  b    z  x   b  c    x  z   c  a  0. c) Ví dụ 2.5 Cho a, b, c > 0. Chứng minh:. a). bc ac ab bc ac ab   a  b  c; b)    3 a 2  b2  c2  a b c a b c. Giải 2. 2. 2. bc ac ab 1  a  b 1  a  c 1  b  c a)     a  b  c  c  b  a 0 a b c 2 ab 2 ac 2 bc 2.  bc ac ab  b)      3  a 2  b 2  c 2  b c   a 2 1  c2 a2 2 b2 2 2 2 2 2   2 2  a  b   2 2  c  b   2 2  a 2  c 2   0 2a b cb ac  Ví dụ 2.6 Chứng minh rằng. 1 1 2   2 2 1  a 1  b 1  ab nếu ab  0 1 1 2 b)   2 2 1  a 1  b 1  ab nếu a2 + b2 < 2 1 1 2 c)   1  a 2 1  b 2 1  ab nếu -1 < a, b < 1 1 1 1 d)   2 2  1  a   1  b  1  ab a). nếu a, b > 0. Giải. a). 1 1 2 1   1 1   1   =    +  2 2 2 2 1  a 1  b 1  ab  1  a 1  ab   1  b 1  ab  2.  a  b   ab  1 0  1  a 2   1  b2   ab  1 2. ab  1 0 a2  b2  a  b   ab  1 0 b) ab  1    2 2 2 ab  1 0  1  a   1  b   ab  1. 3. a. 3. 2 c  0 . . (5) c). 1 1 2 1   1 1   1   =    +  2 2 2 2 1  a 1  b 1  ab  1  a 1  ab   1  b 1  ab . 1  a d) 2). 2. 2. 1  a b    1  b   ab  1.  a  b. 2 2. 2. 1. 1  a. 2. . 0 2. 1. 1 b. 2. 2. 2. ab  a  b    ab  1 1  = 0 1  ab  1  a  2  1  b  2  1  ab . Phương pháp sử dung tính chất của bất đẳng thức Cơ sở của phương pháp này là các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức cơ bản như:. a )a b, b c  a c. b)a b và a.b > 0 . 1 1  a b. a b 0 c)   ac bd c d 0 2. d )  a  b  0 e) a , b  0 . 1 1 4   a b a b. a4  b4  Ví dụ 3.1. Cho a + b > 1 . Chứng minh: Giải.  a  b. 2.  a  b 0  a 2  b 2 . 2 Ví dụ 3.2 Với a, b, c > 0. CMR. 2. 1 8 2. a 2  b2   1 1 4 4   a b   2 2 8. a 3 b3 c 3   ab  ac  bc b c a 3 a b3 c3 b) 2  2  2 a  b  c b c a a). Giải. x2 a) Ta có : x 2  xy  y 2 y.  x, y  0 . a 3 b3 c3     a 2  ab  b 2    b 2  bc  c 2    c 2  ac  a 2  ab  ac  bc b c a x3 b) Ta có : 2 3 x  3 y  x, y  0  y a 3 b3 c 3  2  2  2  3a  2b    3b  2c    3c  2a  a  b  c b c a Ví dụ 3.3 Cho a, b, c > 0. CMR:. bc ac ab   a  b  c a b c a2 b2 c2 a b c b)    b c c a a b 2 a). Giải. (6) bc ac  2c  a b. a). dễ dàng chứng minh. đpcm 2. a bc  a  4 dễ dàng chứng minh b  c đpcm. b). Ví dụ 3.4. a) cho x, y, z >0. t/m:. 1 1 1 1 1 1   4.CMR :   1 x y z 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z. b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh. 1 1 1 1 1 1      a b c a c  b bc  a a b c c) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: abc = ab + bc + ca. Chứng minh:. 1 1 1 3    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 16 Giải. 1 1 4   a b a b 1 1 1 1 1  1 2 1 1         2 x  y  z  x  y    x  zx  4  x  y x  z  16  x y z  a) Ta có : a, b  0 . Tương tự:. 1 1  1 2 1 1 1  1 1 2     ;      x  2 y  z 16  x y z  x  y  2 z 16  x y z . 1 1 1 4 1 1 1        1 2 x  y  z x  2 y  z x  y  2 z 16  x y z  1 1 4 2    a  b  c a  b  c 2a a 1 1 2   ; a b  c b c  a b 1 1 2   a  bc bc  a c 1 1 1 1 1 1       a b  c a  b c b c  a a b c  1 1 1 1 1 1 1 3 c)        a  2b  3c  a  c   2  b  c  4  a  c 2  b  c   16a 32b 32c b). 1 3 1 1 1 1 3 1    ;    3a  b  2c 32a 16b 32c 2a  3b  c 32a 32b 16c 1 1 1 6 1 1 1 3         a  2b  3c 3a  b  2c 2a  3b  c 32  a b c  16 tt:. Ví dụ 3.5 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:. a). a b c a b c a b c    2; b)      a b b c c a b  c c  a a  b 1  a 2 1  b2 1  c2. Giải. x  y  0, t  0. ta có: a). áp dụng BĐT:. y y t  x x t. (7) a a c b ba c c b  ;  ;  a b a b c b c b c a c a a b c a b c    2 a b b c c a Ta có :. a 1  a 1 2 a b c 3  2  2  2  a 1 b 1 c 1 2 a b c 3 mà    b c c a a b 2 b) suy ra điều phải chứng minh. 4)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Co-si Ta có : a 2  1 2 a . 2. *) Cho a1 , a2 ,..., an 0, ta có : a1  a2  ...  an n n a1.a2...an Dấu “=” xảy ra khi a1 a2 ... an 0 Ví dụ 4.1 Cho a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. CMR: Giải Áp dụng BĐT Cosi ta có.  a  b  1  a 2  b2  . a 2  b 2 2ab 2 a  b 2 ab 2 4 4 a b 4 4   a  b  1  a 2  b2   2  a  b  1  a b a b 4    a  b     a  b   2 4  2  2 8 a b   a b . 4 2 a b.  a  b. Ví dụ 4.2 Chứng minh rằng: 2 a  b  a b a)  a b  b a 2 4 với a, b 0. b). a b c   2 bc ca a b với a,b,c > 0. Giải.  a  b a) Ta có :. 2. a b a b  1 1    a  b    ab  a  b   2 4 2  2 2  1 1 1  mà a   a , b   b   a  b    a  b 4 4 2 .  a  b. . 2. a b a b  b a 2 4 bc 1 b c  a b c b) 1    1  a 2 a a  . . . a a  b c a b c. tt:. b b c c  ;  a c a b c a b a b c. 4 8 a b. (8) Cộng vế với vế ta được:. a b c   2 bc ca a b. a b  c  b a  c  a  b  c 0 c a  b Dấu “=” xảy ra khi  vô lí. Vậy dấu “=” không xảy ra. Gi¶i ¸p dông B§T Cauchy , ta cã : a + (b + c) 2 √ a(b+ c). . √. a 2a ≥ b+ c a+ b+c. Tơng tự ta thu đợc : b 2b c 2c , ≥ ≥ c +a a+ b+c a+ b a+b+ c Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dơng ). a b c Từ đó suy ra : + + >2 b+ c c+ a a+ b Ví dụ 4.3 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:. √. √. √ √ √. a2 b2 c2 a 3  b3  c 3 a) 2    b  c2 c2  a 2 a 2  b2 2abc 1 1 1 a 3  b3  c 3 b) 2     3; (a 2  b2  c 2 1) 2 2 2 2 2 a b b c c a 2abc Giải. a2 a2 b2 b2 c2 c2 a) Ta có : 2  ;  ;  b  c 2 2bc a 2  c 2 2ac a 2  b 2 2ab a2 b2 c2 a2 b2 c2 a 3  b3  c 3  2 2 2      b c a  c 2 a 2  b 2 2bc 2ac 2ab 2abc 1 1 1 1 1   1 b) Ta có : 2  2  2  a 2  b2  c 2   2  2  2  2 2 2 2 2 a b b c c a c  a2   a b b c . c2 a2 b2 a 3  b3  c 3    3  3 a 2  b2 b 2  c 2 c 2  a 2 2abc. Ví dụ 4.4 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng. 1 1 1 1  3 3  3  3 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 3. Giải. Ta có : a 2  b 2 2ab  a 3  b3 ab  a  b   0 . abc abc c   a3  b3  abc ab  a  b   abc a  b  c. tt:. abc a abc b  ; 3  3 3 b  c  abc a  b  c c  a  abc a  b  c 3. Cộng vế với vế suy ra điều phải chứng minh Ví dụ 4.5 Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 +b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng. ab bc ca   3 (1) c a b Gải. (9) a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2  1  2  2  2  2  a 2  b2  c 2  3  a 2  b2  c 2  c a b 2 2 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ab ac bc ca mà : 2  2  2       a 2  b 2  c 2 c a b c a c b a b Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 4.6 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh. x3. a). 1  y 1  z. . y3 z3 3   1  z  1  x 1  x 1  y  4. xy yz zx  5  5 1 5 5 x  xy  y y  yz  z z  zx  x5. b). 5. Giải. x3. 1  y  1  z . . 1  y 1  z 3x   8 8 4. a) Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:. x  y  z 3 3 3 xyz 3 3     2 4 2 4 4 Tương tự suy ra VT 2 2 5 5 2 2 b) Ta có : x  y 2 xy  x  y  x y  x  y   0 . xy xy 1 z    5 2 2 x  xy  y xy  x y  x  y  1  xy  x  y  x  y  z 5. yz x zx y  ; 5  5 5 y  yz  z x  y  z z  xz  x xyz xy yz zx  5   1 x  xy  y 5 y 5  yz  z 5 z 5  xz  x 5 tt:. 5. x3 y 3 z 3   x  y  z yz zx xy Ví dụ 4.7 Cho x, y, z > 0. Chứng minh : Giải Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:. x3 y3 z3  z  y 3 x;  z  x 3 y;  x  y 3 z yz zx xy x3 y 3 z 3    x  y  z yz zx xy 5)Phương pháp sử dung bất đẳng thức Bunhiacopski. a. *). a *). 2. 2. b. 2.  x. 2. y. 2.   xa  by . 2. dấu “=” xảy ra khi.  b 2  c 2   x 2  y 2  z 2   xa  by  cz . 2. a kx  b ky. a kx  b ky c kz dấu “=” xảy ra khi . Tổng quát:. a. 2 1.  a22  ...  an2   x12  x22  ...  xn2   a1 x1  a2 x2  ...  an xx . Ví dụ 5.1 Cho a, b > 0. Chứng minh. 2. dấu “=” xảy ra khi ai = kxi. (10) 1 1 4 a)   a b a b 2. n2 m2  m  n  b)   a b a b Giải a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2. 1  1   1 1 . a . b  4     a  b   b  a b  a  1 1 4    a b a b 2  n2 m2  m 2  n  b)   . a . b   n  m    a  b   b  b  a   a n2 m2  n  m     a b a b Tổng quát:. 2. 2. a12 a22 an2  a1  a2  ...  an    ...   bn b1  b2  ...  bn  Cho bi  0, i 1.n thì b1 b2 (1) 2 a1  a2  ...  an   a1 a2 an   ...   cn a1c1  a2c2  ...  ancn (2)  Với ai ci  0 với i 1.n thì c1 c2 Thật vậy: 2.  a1   a12 a22 an2  a2 an 2   ...  b  b  ...  b  . b  . b  ...  . b    1 2 n 1 2 n   a1  a2  ...  an   bn  b2 bn  b1 b2  b1  a2 a2 a 2  a  a  ...  an   1  2  ...  n  1 2 b1 b2 bn b1  b2  ...  bn. 2. đặt aici = bi > 0 thay vào (1) được (2) Ví dụ 5.2 Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh. a2 b2 c2 a)   a  b  c. b c a a 3 b3 c 3 c)   a 2  b 2  c 2 b c a. a2 b2 c2 a b c b)    b c c a a b 2 a3 b3 c3 a 2  b2  c 2 d)    b c c a a b 2. Giải 2. a 2 b2 c2  a  b  c  a ) Ta có :    a  b  c b c a a b c 2. a2 b2 c2  a  b  c  a  b  c b)    b  c c  a a  b 2 a  b  c 2 2. 2 2 2 a 3 b3 c3 a 4 b4 c 4  a  b  c  c)       a 2  b 2  c 2 b c a ab bc ca ab  bc  ca 3 3 3 4 a b c a b4 c4 a 2  b2  c2 d)       b  c a  c a  b ab  ac ab  bc ac  bc 2. 25a 16b c   8 Ví dụ 5.3 Cho a, b, c > 0. Chứng minh: b  c c  a a  b Giải. (11) c  a   b  Ta có : VT 25   1  16   1   1  42   bc   c a  a b 2. 25 16 1   5  4  1  42 8    a  b  c     a  b  c  2 a  b  c   b c c a a b . b c a c a b    a 0 5 4 1 Dấu “=” xảy ra khi vô lí suy ra điều phải chứng minh. 2 2 2 x y z x y z      2 2 2 y z x y z x Ví dụ 5.4 Cho x, y, z > 0. Chứng minh: Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki ta có 2. x2 y2 z 2 1  x y z  1  x y z   x y z  x y z              y 2 z 2 x 2 3  y z x  3  y z x   y z x  y z x C¸C BÊT §¼NG THøC KH¸C Bµi 1 : Cho a, b lµ hai sè d¬ng cã tæng b»ng 1 . Chøng minh r»ng : 1 1 4 + ≥ a+1 b+1 3 Gi¶i: Dùng phép biến đổi tơng đơng ; 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1) 9 4ab + 8 1 4ab  (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . Bµi 2: Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n : a + b + c = 4 Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Gi¶i: Tõ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = [ ( a+b)+c ] 2 ≥ 4 (a+b)c => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc => a + b abc T¬ng tù : b + c abc c+a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : a3 +b3 a+b 3 ; trong đó a > 0 ; b > 0 ≥ 2 2 Gi¶i : Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 a3 +b3 a+b 3 ≥ 2 2 a+b a+b a+b 2 .( a2 − ab+b 2) ≥  . 2 2 2 2 a+b  a2 - ab + b2 2 2 2  4a - 4ab + 4b a2 + 2ab + b2 2 2  3a - 6ab + 3b 3(a2 - 2ab + b2) 0 3 3 3 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : a +b ≥ a+b 2 2 1 Bµi 4: Cho 2 sè a, b tho¶ m·n a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 2 Gi¶i : 1 1 Ta cã : a3 + b3 + ab <=> a3 + b3 + ab 0 2 2 1 <=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab 0 2. ( ). ( ). ( ). ( ) ( ) ( ). ( ). (12) 1 0 . V× a + b = 1 2 <=> 2a2 + 2b2 - 1 0 2 2 <=> 2a + 2(1-a) - 1 0 ( v× b = a -1 ) <=> 4a2 - 4a + 1 0 <=> ( 2a - 1 )2 0 <=> a2 + b2 -. 1 2. Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a3 + b3 + ab DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b =. 1 2. Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức :. a3 +b3 a+b ≥ 2 2. 3. ( ). Trong đó : a > 0 , b > 0 . Gi¶i : Víi a > 0 , b > 0 => a + b > 0 3 3 3 Ta cã : a +b ≥ a+b 2 2 2 <=> a+b . ( a 2 − ab+b2 ) ≥ a+ b a+ b 2 2 2 2 <=> a2 −ab+ b2 ≥ a+b 2 2 2 <=> 4a - 4ab + 4b a2 + 2ab + b2 2 2 <=> 3(a - 2ab + b ) 0 <=> 3(a - b)2 0 . Bất đẳng thức này đúng 3 3 3 => a +b ≥ a+b 2 2 DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b . Bài 6 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : a b −√a √b − √b √a Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : a b −√a √b − √b √a  ( a √ a+b √ b ¿ − √ab ( √ a+ √ b) 0 3 √b ¿ 3  √ a ¿ +¿ − √ ab (√ a+ √ b)≥ 0 ¿ ¿  ( √ a+ √ b)(a − √ ab+b)− √ ab( √ a+ √ b)≥ 0  ( √ a+ √ b)(a − 2 √ ab+ b)≥ 0 2  ( a  b )( a  b ) 0. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ). a b −√a √b − √b √a 3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc . - Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh , Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy a b Víi a, b > 0 , + ≥2 b a C¸c vÝ dô : Bµi 2: Cho x , y lµ 2 sè thùc tho¶ m·n : x2 + y2 = x √ 1− y 2+ y √1 − x 2 Chøng minh r»ng : 3x + 4y 5 Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : (x2 + y2)2 = ( x √ 1− y 2+ y √1 − x 2 )2 ( |x|≤1 ; | y|≤1 ) (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) 2 => x + y2 1 Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra :. (13) Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 => 3x + 4y 5 §¼ng thøc x¶y ra . (32 + 42)(x2 + y2). x2 + y 2=1 x >0 , y >0 x y = 3 4. {. . {. 25. 3 5 4 y= 5 x=. 3 5 ≤x≤ 2 2 Bµi 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chøng minh r»ng : a, √ a+b+ √ b +c + √ c+ a ≤ √ 6 b, √ a+1+ √ b+1+ √ c +1<3,5 Gi¶i a, ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiac«pxki víi 2 bé 3 sè ta cã : 2 2 2 ( √ a+b . 1+ √ b+c .1+ √ c +a . 1 ) ≤ ( 1+1+1 ) [ ( √ a+b ) + ( √b+ c ) + ( √ c+ a ) ] => ( √ a+b+ √ b+c + √ c+ a )2 ≤3 .(2 a+2 b+ ac)=6 => √ a+b+ √ b +c + √ c+ a ≤ √ 6 . 1 DÊu '' = '' x¶y ra khi : a = b = c = 3 b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : (a+1)+1 a = +1 √ a+1 ≤ 2 2 b c T¬ng tù : √ b+1 ≤ +1 ; √ c+ 1≤ +1 2 2 Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc : a+b+ c +3=3,5 √ a+1+ √ b+1+ √ c +1≤ 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 VËy : √ a+1+ √ b+1+ √ c +1<3,5 4. Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức : - Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải các bài tập . C¸c vÝ dô : Bµi 1 : Cho 2 sè x , y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : x + y = 2 . Chøng minh r»ng : x4 + y4 2 Gi¶i Theo tÝnh chÊt b¾c cÇu ta cã : (x2 - y2) 0  x 4 + y4 2x2y2  2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1) Ta cã : (x - y)2 0  x2 + y2 2xy 2 2  2(x + y ) (x +y)2 2(x2 + y2 ) 4 V× : x + y = 2  x 2 + y2 2 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : x4 + y4 2 DÊu '' = '' x¶y ra khi x = y = 1 . Bµi 2: Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Gi¶i : Ta cã : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab Do a, b > 0 nªn ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b . Do c < 1 nªn 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc . Do a, b, c, d > 0 nªn 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Bµi 3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a Gi¶i : Do a, b < 1 => a3 < a2 < a < 1 ; b3 < b2 0 => 1 + a2b > a2 + b => 1 + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < 1 + a2b . 3 3 T¬ng tù : b + c < 1 + b2c ; c3 + a3 < 1 + c2a . => 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a §iÒu kiÖn :. (14) 5. Ph¬ng ph¸p 5 : Chøng minh ph¶n chøng . - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý . Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợc nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng . Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết . + Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng . + Phủ định rồi suy ra hai điều trỏi ngợc nhau . + Phủ định rồi suy ra kết luận . C¸c vÝ dô : Bài 1 : Cho 0 < a,b,c,d <1 . Chứng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức sau là sai : 2a(1 - b) > 1; 3b(1 - c) > 2; 8c(1 - d) > 1; 32d(1 - a) > 3 Gi¶i: Giả sử ngợc lại cả bốn đẳng thức đều đúng . Nhân từng về ; ta cã : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3 1 => [ a(1 − a) ][ b(1− b) ][ c (1 −c )][ d (1 − d) ] > (1) 256 Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a+ 1− a 1 1 => a(1 - a) √ a(1 −a)≤ 2 = 2 4 1 T¬ng tù : b(1 - b) 4 1 c(1 - c) 4 1 d(1 - d) 4 Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có : 1 (2) [ a(1 − a)][ b( 1− b)][ c (1 −c )][ d (1 − d)] > 256 Tõ (1) vµ (2) suy ra v« lý . Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai . Bài 2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau ) Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau : 1 1 1 a+ <2 ; b+ < 2 ; c + < 2 b c a Gi¶i Giả sử tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức : 1 1 1 a+ <2 ; b+ < 2 ; c + < 2 b c a Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc : 1 1 1 a+ +b+ +c+ <6 b c a 1 1 1  (a+ )+(b+ )+( c+ )<6 (1) a b c 1 1 1 V× a, b, c > 0 nªn ta cã : (a+ )≥ 2 ; (b+ )≥ 2 ; (c + )≥ 2 a b c 1 1 1 => (a+ )+(b+ )+( c+ )≥ 6 §iÒu nµy m©u thuÉn víi (1) a b c Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên . => đpcm Bài 3 : Chứng minh rằng không có các số dơng a,b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức sau : 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 . Híng dÉn : t¬ng tù nh bµi 2 : Bài 4 :( Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng ) Cho a3 + b3 = 2 . Chøng minh r»ng : a + b 2. Gi¶i : Gi¶ sö : a + b > 2 => (a + b )3 > 8 => a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( V× : a3 + b3 = 2 ) => ab(a + b) > 2 => ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = 2 ) Chia cả hai vế cho số dơng a, b ta đợc : ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 V« lý VËy : a + b 2 6. Ph¬ng ph¸p 6 : §æi biÕn sè. (15) - Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải ... C¸c vÝ dô : Bµi 1 : Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > 0 th× : a b c 3 + + ≥ b+c c +a b+ a 2 Gi¶i: §Æt : b +c = x , c + a = y , a + b = z x+ y+z => a + b + c = 2 y+z − x z+x − y x+y −z => a = , b= , c= 2 2 2 Khi đó : a b c y + z − x z + x − y x+ y − z VT = = + + + + b+c c +a b+ a 2x 2y 2z 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3 = ( + )+ ( + )+ ( + ) − ≥ 1+1+ 1− = 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2 Bài 2 : Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức : 2 2 1+ y ¿ ¿ 2 2 1+ x ¿ ¿ ¿ 2 2 2 2 1 ( x − y )( 1 x y ) ≤ ¿ 4 Gi¶i: x2 − y2 1 − x2 y2 §Æt : a = vµ b = (1+ x 2)(1+ y 2 ) (1+ x 2)(1+ y 2 ) 1+ y 2 ¿ 2 1+ x 2 ¿2 ¿ => ab = ¿ 2 2 2 2 ( x − y )(1 − x y ) ¿ a+ b ¿2 1 a −b ¿ 2 ≤ ab ≤ ¿ Ta cã dÔ thÊy víi mäi a, b th× : 4 1 ¿ 4 2 2 Mµ : (a - b)2 = 1 − 2 x +1 2 2 2 (a + b) = 1 − 2 y +1 1 1 Suy ra : ab . 4 4 Bµi 3 : Cho a, b, c > 0 ; a + b + c 1 . Chøng minh r»ng : 1 1 1 + 2 + 2 ≥9 2 a +2 bc b +2 ca c + 2ab Gi¶i : §Æt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 Bµi to¸n trë thµnh : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1. Cøng minh r»ng : 1 1 1 + + ≥9 x y z 1 1 1 Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( + + ¿ ≥9 x y z Theo bất đẳng thức Côsi 1 1 1 Mµ : x + y + z 1 nªn suy ra + + ≥9 . x y z. [ [. ] ]. (16) (17)