HẰNG ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.doc) (23 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Toán học

HẰNG ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (148.4 KB, 23 trang )

1. HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG* Với A, B, C là các biểu thức tuỳ ý ta có các hằng đẳng thức sau:1) A3 + B3 + C3 = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + 3ABC2) A3 + B3 + C3 = (A + B + C)3 - 3(A + B)(B + C)(C + A).Để chứng minh hằng đẳng thức (1), ta có thể chọn một trong hai cách sau đây:Cách 1: Ta có: (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA)= A(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + B(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) ++ C(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA)= A3 + AB2 + AC2 - A2B - ABC - A2C + A2B + B3 + BC2 - AB2 – B2C - ABC + A2C + B2C + C3 - ABC - BC2 - AC2= A3 + B3 + C3 – 3ABC.Suy ra A3 + B3 + C3 = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + 3ABCCách 2: Ta có: A3 + B3 + C3- 3ABC= (A + B)3 - 3AB(A + B) + C3 - 3ABC= (A + B)3 + C3 – 3AB(A + B) - 3ABC= (A + B + C)[(A + B)2 - (A + B)C + C2] - 3AB(A + B + C)= (A + B + C)(A2 + 2AB + B2 - AC - BC + C2 - 3ABC)= (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA). Suy ra đpcm.Để chứng minh hằng đẳng thức (1), ta có thể chọn một trong hai cách sau:Cách 1: Ta có: (A + B + C)3 - 3(A + B)(B + C)(C + A)= (A + B)3 + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - (3A + 3B)(BC + AB + C2 + AC)=A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 + 3A2C + 6ABC + 3B2C + C3 - 3ABC - 3A2B - 3AC2 - 3A2C – 3B2C – 3AB2 – 3BC2 – 3ABC= A3 + B3 + C3 . Suy ra đpcm.Cách 2: (A + B + C)3 - (A3 + B3 + C3)= (A + B)3 + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - (A3 + B3 + C3)= A3 + B3 + 3AB(A + B) + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - A3 - B3 - C31 2= 3(A + B)  AB + ( A + B)C + C  = 3(A + B)(B + C)(C + A). Suy ra đpcm.2. NHỮNG ỨNG DỤNG CỦa HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG2.1. Phân tích đa thức thành nhân tửTừ các hằng đẳng thức 1) và 2) ta suy ra:* A3 + B3 + C3 - 3ABC = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA)(1)* Nếu A + B + C = 0 thì A3 + B3 + C3 = 3ABC(2)* (A + B + C)3 - A3 - B3 - C3 = 3(A + B)(B + C)(C + A)(3)Chúng ta có thể sử dụng (1), (2) và (3) để phân tích đa thức thành nhân tử.Ví dụ 1: Phân tích đa thức 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz thành nhân tử.Hướng dẫn: 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz = (2x)3 + (4y)3 + z3 - 3.(2x).(4y).z= (2x + 4y + z)[(2x)2 + (4y)2 + z2 - (2x)(4y) - (2x)z - (4y)z]= (2x + 4y + z)(4x2 + 16y2 + z2 - 8xy - 2xz - 4yz).Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử.Hướng dẫn: Đặt a = x - y, b = y - z, c = z - x thì a + b + c = 0.Do đó a3 + b3 + c3 = 3abc.Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x).Với a = x2 + y2; b = z2 - x2; c = - y2 - z2 cũng cho a + b + c = 0 ta có bài tốn:Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử: (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3Hướng dẫn: A = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3= (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3Đặt a = x2 + y2; b = z2 - x2; c = - y2 - z2 ⇒ a + b + c = 0⇒ A = a3 + b3 + c3 = 3abc = 3(x2 + y2)(z2 - x2)(- y2 - z2)= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x - z)Với a = x + y - z; b = x - y + z; c = - x + y + z cũng cho a + b + c = 0 và ta có bài tốn: Phântích thành nhân tử:(x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x - y + z)3 - (- x + y + z)3.2 Bài tập vận dụngPhân tích các đa thức thành nhân tử:1) x3 - y3 - z3 - 3xyz.2) 125a3 + 8b3 + 27c3 - 90abc.3) (x - y + z)3 - x3 + y3 - z3.4) (x + 2y - 3z)3 - x3 - 8y3 + 27z3.5) (a + b)3 - (b + c)3 + (c - a)3.6) (x - y)5 + (y - z)5 + (z - x)5.7) (a - b + c)3 - (a - b - c)3 - (c - a - b)3 - (a + b + c)3.8) (3x2 - 2x + 1)3 + (x - x2 - 1)3 - (2x2 - x)3.2.2. Rút gọn biểu thức. Tính giá trị của biểu thứcVí dụ 1: Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0.xyyzzxTính giá trị của biểu thức P = z 2 + x 2 + y 2 .111Hướng dẫn: Từ giả thiết: xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 suy ra: x + y + z = 0 .111Xem a = x ; b = y ; c = z , ta có a + b + c = 0, áp dụng:1111113a + b + c = 0 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc ta có: x + y + z = 0 ⇒ x3 + y3 + z 3 = xyz .xyyzzx 1113Ta có: P = z 2 + x 2 + y 2 = xyz  3 + 3 + 3 ÷= xyz. xyz = 3 . Vậy P = 3.yz xNhận xét: Ở bài toán trên chúng ta đã sử dụng “điều kiện xi” để tính giá trịcủa biểu thức. Ta cũng có thể sử dụng “điều kiện ngược” để tính giá trị của biểu thức.Ví dụ 2: Cho abc ≠ 0, a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức: a  b   c A = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷.b c aHướng dẫn: abc ≠ 0, a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ a + b + c = 0 hoặc a = b = c.- Nếu a + b + c = 0 thì A =a + b b + c c + a −c −a −b..= . .= −1 .bcab c a- Nếu a = b = c thì A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2.2.2 = 8.Vậy A nhận hai giá trị là 8 và -1.3 Ví dụ 3: Biết a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2, tính giá trị của biểu thức: a  b   c A = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷.b c a x = abHướng dẫn: Nếu đặt:  y = bc ta có: z = caz1. Biểu thức A được chuyển về dạng: A = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷.yzxxy2. Điều kiện của giả thiết được biến đổi về dạng:x + y + z = 0a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 ⇔ x3 + y3 + z3 = 3xyz ⇔ x = y = zTa xét hai trường hợp:Trường hợp 1: Với x + y + z = 0, ta có:zA = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ =yzxxyy + z z + x x + y − xyz..== −1 .yzxxyzTrường hợp 2: Với x = y = z, ta có ngay: A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8.Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức:A = x3 + (x - 1)3 - (2x - 1)3 - 3x(x - 1)(1 - 2x).Hướng dẫn: Đặt a = x, b = x - 1, c = 1 - 2x suy ra: a + b + c = 0.Khi đó, biểu thức được viết dưới dạng:S = x3 + (x - 1)3 + (1 - 2x)3 - 3x(x - 1)(1 - 2x)= a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0.Vậy, ta được S = 0.Ví dụ 5: Rút gọn biểu thứcA = 8(a + b + c)3 - (2a + b - c)3 - (2b + c - a)3 - (2c + a - b)3 x = 2a + b − cHướng dẫn: Đặt:  y = 2b + c − a ⇒ x + y + z = 2(a + b + c) z = 2c + a − b⇒ 8(a + b + c)3 = (x + y + z)3.Khi đó: A = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x)= 3(a + 3b)(b + 3c)(c + 3a).4 Ví dụ 6: Biết a3 + b3 = 3ab - 1, tính giá trị của biểu thức: A = a + b.Hướng dẫn: Biến đổi giả thiết về dạng:a + b + 1 = 0 a + b = −1  A = −1⇔⇔a = b = 1a + b = 2A = 2a3 + b3 = 3ab - 1 ⇔ a3 + b3 + 13 = 3.a.b.1 ⇔ 211xy4 yzzxVí dụ 7: Cho x + y + z = 0 . Tính giá trị của biểu thức A = 2 z 2 + x 2 + 2 y 2 .211Hướng dẫn: Đặt x = a, y = b, z = c ⇒ a + b + c = 0⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒xy4 yz8 1 16+ 3+ 3 =3xyzxyzzxxyz  811xyz6Do đó: A = 2 z 2 + x 2 + 2 y 2 = + + ÷ = 2 . xyz = 3 .2  x3 y 3 z 3 Ví dụ 8: Cho các số a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện:a3 + b3 + c3 = 3abc.b−cc−aa −b++++Tính giá trị của biểu thức: ÷÷.bc  b − c c − a a − b  aabc222Hướng dẫn: Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ ( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  = 0⇒ a + b + c = 0 (do a, b, c đôi một khác nhau).Suy ra=(aa (c − a )(a − b) + b(b − c )(a − b) + c (b − c)(c − a )abc++=(a − b)(b − c)(c − a )b−c c −a a −b2+ b 2 + c 2 ) ( a + b + c ) − 2 ( a 3 + b3 + c 3 ) − 3abc(a − b)(b − c)(c − a )Mặt khác=−9abc= (a − b)(b − c)(c − a)b −c c − a a −bbc(b − c ) + ca (c − a) + ab( a − b)++=abcabc−bc ( a − b ) + (c − a )  + ca (c − a) + ab(a − b)abc=−(a − b)(b − c)(c − a )abcbc  b − c c − a a − b  a++++Vậy ÷÷ = 9.bc  b − c c − a a − b  aBài tập vận dụngBài 1: Biết a3 - b3 = 3ab + 1, tính giá trị của biểu thức A = a - b.5 a 3 − b3 − c 3 − 3abcBài 2: Cho a - b - c = 2. Tính B =.(a + b) 2 + (b − c) 2 + (c + a ) 2Bài 3: Cho a, b, c khác 0 thoả mãn a3 - b3 + c3 = - 3abc. Tính: a  b  c A = 1 − ÷1 − ÷1 + ÷.b c aBài 4: Cho a, b, c khác 0 thoả mãn a3 + 8b3 + 27c3 = 18abc. Tính:B = 1 +a  2b  3c ÷1 + ÷1 + ÷ .2b  3c aBài 5: Tính giá trị của tổng a2011 + b2011 + c2011 biết rằng a + b + c = 0và a 3 +b3 + c3 = 0.Hướng dẫn: Theo giả thiết ta có c = - (a + b) nên:330 = a3 + b3 + c3 = a3 + b3 -  a + b + 3ab(a + b)  = 3abc.Vậy một trong ba số a, b, c bằng 0. Từ đó suy ra: a2011 + b2011 + c2011 = 0.Bài 6: Cho a + b + c = 0 (a, b, c ≠ 0). Tính giá trị của biểu thức:111++M = [ ab(a − b) + bc(b − c) + ac(c − a) ] . ab( a − b) bc(b − c) ca(c − a) 1239 xyyz4 zxBài 7: Cho x + y + z = 0 . Tính N = 2 z 2 + 6 x 2 + 3 y 2 .1116 xy3 yz2 zxBài 8: Cho 2 x + 3 y + z = 0 . Tính P = z 2 + 4 x 2 + 9 y 2 .x + y + z = a 2222Bài 9: Cho  x + y + z = b . Tính x3 + y3 + z3 theo a, b, c.1 1 1 1 + + = x y z cHướng dẫn: Ta có: x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)⇔ x3 + y3 + z3 = 3xyz + a[b2 – (xy + yz + zx)](1)Mặt khác a2 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx).⇒ xy + yz + zx =1111Từ x + y + z = c ⇔a2 − ( x2 + y 2 + z 2 )2=a 2 − b2.2(2)xy + yz + zx 1=xyzc6 ⇔ xyz = c( xy + yz + zx) ⇔ xyz = c.a 2 − b2(theo (2))2(3)3c(a 2 − b 2 ) + a (3b 2 − a 2 )Thay (2), (3) vào (1) ta có: x + y + z =.2333a + b + c = 1 222Bài 10: Cho a + b + c = 1 . Tính giá trị của biểu thức P = a2010 + b2011 + c2012.a3 + b3 + c 3 = 12.3. Chứng minh đẳng thứcVí dụ 1: Chứng minh rằng: (x + y + z)(a + b + c) = ax + by + cz với x = a2 - bc,y = b2 - ac, z = c2 - ab.Hướng dẫn: Ta có: (x + y + z)(a + b + c)= (a2 - bc + b2 - ac + c2 - ab)(a + b + c) = a3 + b3 + c3 - 3abc.ax + by + cz = a(a2 - bc) + b(b2 - ac) + c(c2 - ab)= a3 - abc + b3 - abc + c3 - abc = a3 + b3 + c3 - 3abc.Ví dụ 2: Biết x + y + z = 0, chứng minh rằng:(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).Hướng dẫn: Từ giả thiết x + y + z = 0 suy ra: 3xyz = x3 + y3 + z3.Do đó: 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)= x5 + y5 + z5 + x2y2(x + y) + y2z2( y + z) + z2x2(z + x)= x5 + y5 + z5 - x2y2z - y2z2x - z2x2y.(1)Mặt khác, cũng từ giả thiết x + y + z = 0 suy ra:0 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)⇔ xy + yz + zx = −1 2x + y2 + z2 ) .(2(2)Thay (2) vào (1), ta được:3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 +1xyz (x2 + y2 + z2)2⇔ 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2), đpcm.7 ax + by = cVí dụ 3: Giả sử hệ phương trình bx + cy = a có nghiệm.cx + ay = bChứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc.Hướng dẫn: Giả sử (x; y) là nghiệm của hệ, cộng theo từng vế ba phương trình của hệ tađược: ax + by + bx + cy + cx + ay = a + b + ca + b + c = 0⇔ (a + b + c)(x + y - 1) = 0 ⇔  x + y −1 = 0- Với a + b + c = 0, ta dễ dàng suy ra đpcm.- Với x + y - 1 = 0 ⇒ y = 1 − x , thay vào hệ, sau một số biến đổi dẫn đếna = b = c,theo hằng đẳng thức suy ra đpcm.Bài tập vận dụngBài 1: Cho a - b - c = 0. Chứng minh rằng a3 - b3 - c3 = 3abc.Bài 2: Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng:a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab - cd).Bài 3: Cho 2a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 2a3 + b3 + c3 = 3a(a + b)(c - b)Bài 4: Cho a + b - c = 0. Chứng minh rằng 2(a5 + b5 - c5) = -5abc(a2 + b2 + c2).Bài 5: Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: (4x – 3y + 2z)2 = 16x2 + 9y2 + 4z2.111−1Chứng minh rằng: 64 x3 − 27 y 3 + 8 z 3 = 8 xyz ax − by = cBài 6: Cho x, y thoả mãn: cy − bx = a . Chứng minh rằng a3 - b3 + c3 = -3abc.cx + ay = −b ax + by + cz = 0Bài 7: Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: bx + cy + az = 0 .cx + ay + bz = 0Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc. ax − by − cz = 0Bài 8: Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: az − bx − cy = 0 . ay − bz − cx = 08 Chứng minh rằng a3 - b3 - c3 = 3abc.Bài 9: Chứng minh rằng nếu ba số x, y, z có tổng bằng 0 thì:10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).Hướng dẫn:Ta chứng minh: 2(x4 + y4 + z4) = (x2 + y2 + z2)2 và x3 + y3 + z3 = 3xyz.⇒ 2[x7 + y7 + z7 + x3y3(x + y) + x3z3(x + z) + y3z3( y + z)] = 3xyz(x2 + y2 + z2)2Từ đó: 2[x7 + y7 + z7 - x3y3z - x3z3y - y3z3x] = 3xyz(x2 + y2 + z2)2Hay 2(x7 + y7 + z7) - 2xyz(x2y2 + x2z2 + y2z2) = 3xyz(x2 + y2 + z2)2Nhưng x2y2 + x2z2 + y2z2 =Vậy: 2(x7 + y7 + z7) =1 2(x + y2 + z2)2 (chứng minh dễ dàng).47xyz(x2 + y2 + z2)22Chứng minh: x5 + y5 + z5 =(*)5xyz(x2 + y2 + z2)2(**)Thay (**) vào đẳng thức (*) ta được đpcm.Bài 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn:( y − z ) 3 1 − x3 + ( z − x ) 3 1 − y 3 + ( x − y ) 3 1 − z 3 = 0Chứng minh rằng: (1 - x3)(1 - y3)(1 - z3) = (1 - xyz)3.2.4. Trục căn thức ở mẫuVí dụ: Hãy thực hiện trục căn thức ở mẫu cho biểu thức: A =31.a+ b+3c3Hướng dẫn: Áp dụng hằng đẳng thức:a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)coi mẫu số của A có dạng a + b + c. Khi đó nhân cả tử và mẫu của A vớib2 + c2 - ab - bc - ca), tức làA=3( ) ( ) ( )3a2+3b2+3c2(a 2 +− 3 ab − 3 bc − 3 ca ta được:a 2 + 3 b 2 + 3 c 2 − 3 ab − 3 bc − 3 caa + b + c − 3 3 abc9 =((=)()22a 2 + 3 b 2 + 3 c 2 − 3 ab − 3 bc − 3 ca ( a + b + c ) + 3(a + b + c ) 3 abc + 3 3 abc 2(a + b + c)3 − 3 3 abc  ( a + b + c ) 2 + 3(a + b + c) 3 abc + 3 3 abc  3(3)())2a 2 + 3 b 2 + 3 c 2 − 3 ab − 3 bc − 3 ca ( a + b + c ) + 3(a + b + c ) 3 abc + 9 3 a 2b 2c 2 3( a + b + c ) − 27 abcBài tập vận dụngHãy thực hiện phép trục căn thức ở mẫu cho các biểu thức sau:a) A =11+ 4 + 3 23b)11+ 3 2 − 23 4c) C =314 4 + 2 3 2 − 1642.5. Giải phương trình. Giải hệ phương trìnhXuất phát từ hằng đẳng thức thứ nhất ta có:A+ B +C = 0A3 + B3 + C3 = 3ABC ⇔ A = B = CXuất phát từ hằng đẳng thức thứ hai, ta có: A = −BA + B + C = (A + B + C) ⇔ (A + B)(B + C)(C + A) = 0 ⇔  B = −CC = − A3333Từ đó, ta có thể giải được các phương trình có dạng A 3 + B3 + C3 = 3ABC hoặc A3 + B3 + C3= (A + B + C)3 hoặc có dạng A3 + B3 + C3 = 0 (với A + B + C = 0)và nhiều phươngtrình có thể đưa được về một trong các dạng đó để giải.Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:a) x3 - 3x + 2 = 0.b) x3 + 16 = 12x.Hướng dẫn: a) Viết lại phương trình dưới dạng:x +1+1 = 0x3 + 13 + 13 = 3.1.1.x ⇔ x = 1 =1 x = −2⇔x =1b) Viết lại phương trình dưới dạng:10 x + 2 + 2 = 0x3 + 23 + 23 = 3.2.2.x ⇔ x = 2 = 2 x = −4⇔x = 2Ví dụ 2: Giải phương trình: 54x3 - 9x + 2 = 0 .x6Hướng dẫn: (1) ⇔ x3 − +(1)2= 0.54Bây giờ ta tìm cách viết vế trái của phương trình dưới dạng: x3 + a3 + b3 - 3abx, như vậy a, b 3 32 a + b =54thoả mãn hệ phương trình:  a 3b 3 = 1183Suy ra a3, b3 là nghiệm của phương trình: t 2 −Giải phương trình này ta có t1 = t2 =2t 1+=0.54 18311, suy ra a = b =.54 23 2Khi đó: (1) ⇔ (x + a + b)(x2 + a2 + b2 - ax - bx - ab) = 0.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là: x1 =−21; x2 =.3 23 2Ví dụ 3: Giải các phương trình:a) ( x − 2 ) + ( x + 1)3 + (1 − 2 x)3 = 0 .3b) 3 x − 1 + 3 x − 2 + 3 x − 3 = 0 .Hướng dẫn:a) Nhận thấy phương trình có dạng A3 + B3 + C3 = 0, với A + B + C = 0.Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương trình về dạng:(x - 2)3 + (x + 1)3 + (1 - 2x)3 = 0⇔ (x - 2 + x + 1 + 1 - 2x) ×× ( x − 2 ) + ( x + 1) + ( 1 − 2 x ) − ( x − 2)( x + 1) − ( x − 2)(1 − 2 x) − ( x + 1)(1 − 2 x)  +222+ 3( x − 2)( x + 1)(1 − 2 x) = 0⇔ (x - 2)(x + 1)(1 - 2x) = 0Phương trình có ba nghiệm x = 2, x = - 1 và x =1.2b) Đặt a = 3 x − 1, b = 3 x − 2, c = 3 x − 3 .Khi đó, phương trình có dạng: a + b + c = 0 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc11 ⇔ (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) = 3 3 x − 1 3 x − 2 3 x − 3⇔ x − 2 = 3 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) ⇔ (x - 2)3 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)⇔ (x - 2)[(x - 2)2 - (x - 1)(x - 3)] = 0 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2Thử lại, thấy x = 2 thoả mãn. Vậy phương trình có nghiệm x = 2.x + y + z = 1( 1) 222Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  x + y + z = 1 ( 2 ) 333 x + y + z = 1 ( 3)Hướng dẫn: Từ (1) và (3) suy ra: (x + y + z)3 - (x3 + y3 + z3) = 0x + y = 0⇔ (x + y)(y + z)(z + x) = 0 ⇔  y + z = 0 z + x = 0Khi đó:z = 1x = y = 0- Với x + y = 0, hệ có dạng:  x + y = 0 ⇔ z = 1 x2 + y2 = 0- Với y + z = 0, hệ có nghiệm (1; 0; 0).- Với z + x = 0, hệ có nghiệm (0; 1; 0). x 3 + y 3 + x 2 ( y + z ) = xyz + 14 3 32Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  y + z + y ( z + x) = xyz − 21 x 3 + z 3 + z 2 ( x + y ) = xyz + 7Hướng dẫn: Cộng các phương trình của hệ vế theo vế, ta được:2(x3 + y3 + z3) + x2(y + z) + y2(x + z) + z2(x + y) - 3xyz = 0(1)Ta có: x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)Do đó:(1) ⇔ (x3 + y3 + z3 - 3xyz) + x3 + x2(y + z) + y3 + y2(x + z) + z3 + z2(x + y) = 0⇔ (x + y + z)( x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + x2(x + y + z) + y2(x + y + z) ++ z2(x + y + z) = 0⇔ (x + y + z)(2x2 + 2y2 + 2z2 - xy - yz - zx) = 0.(2)Vì 2x2 + 2y2 + 2z2 - xy - yz - zx = (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + x2 + y2 + z2=1222( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  + x 2 + y 2 + z 2 ≥ 0212 Dấu “=” xảy ra khi và chi khi x = y = z = 0 (không thoả mãn hệ phương trình đã cho) suy ra2x2 + 2y2 + 2z2 - xy - yz - zx > 0.Do đó: (2) ⇔ x + y + z = 0.Với x + y + z = 0, hệ đã cho trở thành: x 3 + y 3 + x 2 (− x) = xyz + 14 x 3 = xyz + 7 3 3 32 y + z + y (− y ) = xyz − 21 ⇔  y = xyz + 14 x 3 + z 3 + z 2 (− z ) = xyz + 7 z 3 = xyz − 21Suy ra: x3 - 1 = y3 - 8 = z3 + 27 = xyz + 6.Do đó: (x - 1)(x2 + x + 1) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) = (z + 3)(z2 - 3z + 9).221 3Mà: x + x + 1 =  x + ÷ + > 0 ; y2 + 2y + 4 = ( y + 1) + 3 > 0 ;2 4223  27z - 3z + 9 =  z − ÷ + > 0 .242y > 2⇒ x + y + z > 0 . Vơ lí! z > −3Suy ra: nếu x > 1 ⇒ y < 2⇒ x + y + z < 0 . Vơ lí! z < −3Lý luận tương tự, nếu x < 1 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất: (1; 2; -3).Bài tập vận dụngBài 1: Giải các phương trình:a) (x - 2)3 + (x - 4)3 + (x - 7)3 - 3(x - 2)(x - 4)(x - 7) = 0b) (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 = (3x2 - 2x - 1)3c) 6x3 + 3x - 5 = 0Hướng dẫn: b) (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 = (3x2 - 2x - 1)3⇔ (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 + (1 + 2x - 3x2)3 = 0Vì (x2 + 3x - 4) + (2x2 - 5x + 3) + (1 + 2x - 3x2) = 0 nên phương trình tương đương với: 3(x 2+ 3x - 4)(2x2 - 5x + 3)(1 + 2x - 3x2) = 0Bài 2: Giải các phương trình:a) (x - 3)3 + (2x - 3)3 = 27(x - 2)3.13 b) (x - 3)3 + (x + 1)3 = 8(x - 1)3.c) (ax + b)3 + (bx + a)3 = (a + b)3(x + 1)3 với ẩn x và ab(a + b) ≠ 0.d) (3x - 2)3 - (x - 3)3 = (2x + 1)3.Hướng dẫn: b) (x - 3)3 + (x + 1)3 = 8(x - 1)3⇔ (x - 3)3 + (x + 1)3 + (2 - 2x)3 = 0 ⇔ 3(x - 3)(x + 1)(2 - 2x) = 0Bài 3: Giải các phương trình:b) ( x − 2 ) + ( x + 3 ) + ( 2 − 3 − 2 x ) = 0 .3a) 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 .33c) 3 x 2 + 4 x + 3 + 3 4 x 2 − 9 x − 3 = 3 3x 2 − 2 x + 2 + 3 2 x 2 − 3x − 2Hướng dẫn:c) Đặt a = 3 x 2 + 4 x + 3; b = 3 4 x 2 − 9 x − 3; c = 3 3x + 2 − 2 x 2 ; d = 3 3x 2 − 2 x + 2Ta có a3 + b3 + c3 = d3(1)Phương trình đã cho trở thành a + b + c = d ⇔ (a + b + c)3 = d3⇔ a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) = d3Kết hợp với (2) ta có (a + b)(b + c)(c + a) = 0.- Với a + b = 0, suy ra 5x2 – 5x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.- Với b + c = 0, suy ra 2x2 – 6x – 1 = 0 ⇔ x =- Với c + a = 0, suy ra x2 – 7x – 5 = 0 ⇔ x =3 + 113 − 11hoặc x =227 − 697 + 69hoặc x =22Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt:7 − 69 7 + 69 3 − 11 3 + 11 x ∈ 0;1;;;:2222 Bài 4: Giải và biện luận phương trình: ax3 + bx + c = 0 với điều kiện:c 2 4b3+≥0a 2 27 a 3baca( a ≠ 0) .caHướng dẫn: ax3 + bx + c = 0 ⇔ x3 + x + = 0 ⇔ x3 + − 3x.−b= 0.3a⇔ x 3 + d 3 + e3 − 3 xde = 0ca(với d3, e3 là hai nghiệm của phương trình: X 2 − X −b3= 0 ).27 a 314 x + d + e = 0⇔x = d = ec 2 4b3= 0 ⇔ d = e thì tập nghiệm S = { −2d ; d } .- Nếu 2 +a27 a 3c 2 4b3> 0 ⇔ d ≠ e thì tập nghiệm S = { −d ; −e} .- Nếu 2 +a27 a 3Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: x + 2 y + 3z = 6(I ) 333( x − 1) + (2 y − 3) − (3 z − 2) = 18( x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = 0Hướng dẫn: ( I ) ⇔ 333( x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = 18( x − 1) + (2 y − 3) + (3 z − 2) = 0( x − 1)(2 y − 3)(3 z − 2) = 6Hệ phương trình trên tương đương với: ( II ) Vì x, y, z nguyên nên x - 1; 2y - 3; 3z - 2 nguyên. Do đó giá trị tuyệt đối của mỗi số (x - 1),(2y - 3), (3z - 2) đều là ước của 6, nghĩa là thuộc tập hợp { ±1; ± 2; ± 3; ± 6} .Từ đó để 3z - 2 ngun thì chỉ có thể 3z - 2 = 1 hoặc 3z - 2 = -2.( x − 1) + (2 y − 3) = −1( x − 1)(2 y − 3) = 6a) Với 3z - 2 = 1, thay vào hệ (II) được hệ: Vậy (x - 1); (2y - 3) là nghiệm của phương trình t2 + t + 6 = 0.Phương trình này vơ nghiệm.( x − 1) + (2 y − 3) = 2( x − 1)(2 y − 3) = −3b) Với 3z - 2 = -2, thay vào hệ (II) được hệ: Vậy x - 1; 2y - 3 là nghiệm của phương trình t2 - 2t - 3 = 0.Phương trình này có hai nghiệm t1 = -1; t2 = 3.Kết hợp với phương trình 3z - 2 = -2 suy ra hệ phương trình (I) có hai nghiệm nguyên (x; y;z) là (0; 3; 0); (4; 1; 0).Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + y)3 = (x - 2)3 + (y + 2)3 + 6Bài 7: Giải phương trình bậc ba (ẩn x): x3 - 3abx + (a3 + b3) = 0Hướng dẫn: Ta có x3 - 3abx + (a3 + b3) = 0⇔ (x + a + b)(x2 + a2 + b2 - ax - bx - ab) = 015 x + a + b = 0⇔ 222 x − (a + b) x + a + b − ab = 0 x = −a − b⇔ 222 x − (a + b) x + a + b − ab = 0( 1)Phương trình (1) có: ∆ = (a + b)2 - 4(a2 + b2 - ab) = - 3(a - b)2.Do đó nó chỉ có nghiệm nếu a = b, nghiệm ấy là x = a (nghiệm kép).2.6. Chứng minh bất đẳng thứcVí dụ 1: Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng: a + b + c ≥ 3 3 abc .(Bất đẳng thức Cô-si cho ba số khơng âm)Hướng dẫn: Ta có x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx =1222( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  ≥ 02Đặt x = 3 a , y = 3 b , z = 3 c ; x + y + z ≥ 0 vì a, b, c ≥ 0.Từ đó x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0 hay a + b + c ≥ 3 3 abc .Ví dụ 2: Chứng minh: (a3 + b3 + c3 - 3abc)2 ≤ (a2 + b2 + c2)3.Hướng dẫn: Đặt a2 + b2 + c2 = p, ab + bc + ca = q, a3 + b3 + c3 - 3abc = m.Ta thâý rằng: p - q ≥ 0m2 = (a + b + c)2(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)2 = (p + 2q)(p - q)2Như thế: p3 - m2 = p3 - (p + 2q)(p - q)2 = 3pq2 - 2q3= q2(3p - 2q) = q2(2p - 2q + p) ≥ 0 ( p − q ≥ 0, p ≥ 0 ) . Suy ra đpcm.Bài tập vận dụngBài 1: Cho x, y thoả mãn x 2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 6 +y6.Bài 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab .Hướng dẫn: (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc)(≥ 2 a 3abc + 2 b3abc + 2 c 3abc = 2 a 2 bc + b 2 ca + c 2 abMà a3 + b3 + c3 ≥ 3abc)(1)(2)16 1222(Vì (2) ⇔ (a + b + c) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  ≥ 0 )2Cộng vế theo vế (1) và (2), suy ra đpcm.Bài 2: Cho x, y, z ≥ 0. Chứng minh rằng:x3 + y3 + z3 - 3xyz ≥ 4(x - y)(y - z)(z - x)(1)Hướng dẫn: Ta có(1) ⇔ (x + y + z)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] - 8(x - y)(y - z)(z - x) ≥ 0Đặt vế trái là f(x; y; z) thì f đối xứng.Giả sử z = min{x ; y ; z}.Xét hiệu f(x ; y ; z) - f(x - z; y - z; 0) = 3z[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] ≥ 0.Suy ra f(x ; y ; z) ≥ f(x – z ; y – z ; 0).Do đó ta chỉ cần chứng minh (1) trong trường hợp z = 0 và x, y ≥ 0.Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành:x3 + y3 + 4xy(x - y) ≥ 0(1’)Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: y2 + 4x2 ≥ 4xy ⇒ y3 + 4x2y ≥ 4xy2Kết hợp với x ≥ 0, suy ra (1’).Vậy (1) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.2.7. Chứng minh chia hếtVí dụ 1: Chứng minh 321 - 224 - 68 - 1 chia hết cho 1930.Giải: Đặt A = 321 - 224 - 68 - 1 = (37)3 - (28)3 - 38.28 - 1= (37)3 - (28)3 - 13 - 3.37(-2)8.(-1)Áp dụng hằng đẳng thứca3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)ở đây a = 37, b = - 28, c = - 1, suy ra A chia hết cho 37 – 28 – 1 = 1930.Ví dụ 2: Cho a + b + c = (a - b)(b - c)(c - a).Chứng minh rằng (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho 3.x = a − bGiải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ:  y = b − c ⇒ x + y + z = 0z = c − a17 Khi đó: (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 = x3 + y3 + z3= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + 3xyz= 3(a - b)(b - c)(c - a) = 3(a + b + c)Từ đó, ta thấy ngay (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho 3.Nhận xét: Cũng với phương pháp trên chúng ta cịn có thể chứng minh được các bài toántổng quát hơn như sau:1. Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:(a + b + c)p + (a - b - c)p + (b - c - a)p + (c - a - b)p chia hết cho 8pabc.2. Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:(a - b)p + (b - c)p + (c - a)p chia hết cho p(a - b)(b - c)(c - a).Bài tập vận dụngBài 1: Tìm m sao cho đa thức f(x) = x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho đa thứcx+y+ z.Giải: Giả sử phép chia f(x) cho x + y + z có thương q, khi đó:f(x) = (x + y + z).q với mọi x, y, z⇔ x3 + y3 + z3 + mxyz = (x + y + z).q với mọi x.(1)Chọn các giá trị riêng của x, y, z sao cho: x + y + z = 0, chẳng hạn x = 1, y = 1, z = - 2. Tađược:- Với x = 1, y = 1, z = - 2 thì:(1) ⇔ 1 + 1 - 8 - 2m = 0 ⇔ m = - 3.- Thử lại, với m = - 3, ta được:x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx).Vậy với m = - 3 thoả mãn điều kiện đầu bài.Bài 2: Cho x, y, z nguyên thoả mãn điều kiện x + y + z = (x - y)(y - z)(z - x)Chứng minh rằng: M = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 chia hết cho 81.Hướng dẫn: Vì (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0 nên ta có:(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)Xét ba số dư của phép chia x, y, z cho 3.18 a) Nếu cả ba số dư là khác nhau (là 0, 1, 2) thì (x + y + z) chia hết cho 3. Khi đó (x - y)(y z)(z - x) không chia hết cho 3, trái với giả thiết.b) Nếu có hai số dư bằng nhau thì x + y + z không chia hết cho 3, trong khi đó một trong bahiệu: (x - y), (y - z), (z - x) chia hết cho 3, trái với giả thiết.c) Vậy chỉ còn trường hợp cả ba số x, y, z đều có cùng số dư khi chia cho 3.Lúc đó 3(x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3.3 nên M chia hết cho 81.Bài 3: Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu x 2 - yz = a,y 2 - zx =b, z2 - xy = c thì tổng ax + by + cz chia hết cho tổng a + b + c.Hướng dẫn: Ta có: ax = x3 - xyz, by = y3 - xyz, cz = z3 - 3xyz.Từ đó: ax + by + cz = x3 + y3 + z3 - 3xyz= (x + y + z)(x2 - yz + y2 - xz + z2 - xy) = (x + y + z)(a + b + c).2.8. Các dạng khácVí dụ 1: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn điều kiệna b c+ + = 3 thì tích số abc là lập phương của một số nguyên.b c aabbccaHướng dẫn: Đặt x3 = ; y 3 = ; z = . Từ giả thiết ta có:x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0 hay (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = 0Ta đó có hai trường hợp:2221) x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0 ⇒ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) = 0 ⇒ x = y = zTừ đây dễ dàng suy ra a = b = c. Do đó abc = a3, ta có đcm.2) x + y + z = 0, tức là3a 3b 3 c++=0bcaNhân cả hai vế của đẳng thức này lần lượt với 3 b2c và 3 ac 2 , ta được hệ13 2 2 23 abc + b + a a b c 1 3 a 2b 2 c 2 + 3 abc + c = 0 bKhử 3 a 2b 2c 2 trong hệ này, ta tính được: ( a − b ) 3 abc = b(c − a )(1)19 Do abc ≠ 0 nên nếu a - b = 0 thì (1) ⇒ a = b = c (khơng xảy ra vì x + y + z = 0).3b (c − a ) b (c − a ) ⇒ abc = Nếu a - b ≠ 0 thì (1) ⇒ abc =.a −b a − b (2)3(2) chứng tỏ abc là lập phương của một số hữu tỉ. Nhưng vì abc ngun nênnó là lập phương của một số nguyên.Vậy trong mọi trường hợp, abc đều là lập phương của một số nguyên (đpcm).Ví dụ 2: Biết xn + yn + zn = an + bn + cn đúng với n = 1, 2, 3, chứng minh rằng nó đúng vớimọi số tự nhiên n.Hướng dẫn: Từ giả thiết biểu thức đúng với n = 1, 2, 3, ta lần lượt có:x+y+z=a+b+c(1)x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + z2(2)x3 + y3 + z3 = a3 + b3 + z3(3)Khi đó: (1) ⇔ (x + y + z)2 = (a + b + c)2⇔ x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)⇔ xy + yz + zx = ab + bc + ca(4)(3) ⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + 3xyz= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab + bc + ca) + 3abc⇔ xyz = abc(5)Từ (1), (4), (5) suy ra x, y, z là nghiệm của phương trình:t3 - (a + b + c)t2 + (ab + bc + ca)t - abc = 0t = a⇔ (t - a)(t - b)(t - c) = 0 ⇔ t = bt = cNhư vậy, ta thấy (x, y, z) là một hoán vị của (a, b, c), do đó:xn + yn + zn = an + bn + cn đúng với mọi số tự nhiên n.Ví dụ 3: Sai ở đâu?Trong một cuốn sách có bài tốn: “Chứng minh rằng nếu abc ≠ 0 vàa+b+1 1 1a 6 + b6 + c6++=0c=thì 3 3 3 = abc ” với hướng dẫn như sau:a b ca +b +cTa có: a3 + b3 + c3 - 3abc20 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0 (vì a + b + c = 0)⇒ a3 + b3 + c3 = 3abcTừ(1)1 1 1+ + = 0 ⇒ ab + bc + ca = 0a b c⇒ ac = -b(c + a) = -b(-b) (vì a + c = - b) ⇒ ac = b2Tương tự a2 = bc, c2 = abMặt khác a6 + b6 + c6 = 3a2b2c2Từ (1) và (2) suy ra:(2)a 6 + b6 + c6= abc (đpcm).a3 + b3 + c 3Hướng dẫn: Điều “khơng ổn” ở giả thiết của bài tốn.Thật vậy, từ a + b + c =1 1 1+ + = 0 suy ra ac = b2, bc = a2, bc = c2a b c⇒ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca = 0 ⇒ a = b = c = 0.Mâu thuẫn với1 1 1+ + = 0 . Chứng tỏ không tồn tại a, b, c thoả mãn các giả thiết hay giả thiếta b ccủa bài tốn là phi lí.Bài tập vận dụngBài 1: Trong mặt phẳng toạ độ vng góc Oxy, hãy tìm tập hợp các điểmcho x3 - y3 = 3xy + 1.A(x; y) sao(1) x − y −1 = 0Hướng dẫn: (1) ⇔ x3 - y3 - 1 = 3xy ⇔  x = − y = −1Vậy tập hợp A là đường thẳng x - y - 1 = 0 và điểm A0(-1; 1).Bài 2: Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c thoả mãn a 3 + b3 + c3 = 3abc. Hỏi tam giác ABClà tam giác gì?Bài 3: Sai ở đâu? Sửa cho đúng.x 2 − yz y 2 − zx z 2 − xy==Đề bài: Chứng tỏ rằng nếu ta có:thì suy ra được:abca 2 − bc b 2 − ca c 2 − ab==.xyzSau đây là lời giải của bài toán trong một số sách:21 x 2 − yz y 2 − zx z 2 − xy==Cách 1: Đặt= k.abcx 2 − yzy 2 − zxz 2 − xy;b =;c =Suy ra a =.kkk2 x 2 − yz  y 2 − zx z 2 − xy−.Dẫn đến: a 2 − bc  k ÷kkx3 + y 3 + z 3 − 3 xyz==xxk2b 2 − ca c 2 − ab x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz==Tương tự ta có:yzk2Từ đó dẫn đến điều phải chứng minh.abcCách 2: Từ giả thiết có: x 2 − yz = y 2 − zx = z 2 − xya2b2c2===Suy ra: 2( x − yz ) 2 ( y 2 − zx) 2 ( z 2 − xy ) 2abbcab= ( x 2 − yz )( y 2 − zx) = ( y 2 − zx )( z 2 − xy ) = ( x 2 − yz )( z 2 − xy )a 2 − bcb2 − acc 2 − ab==Nên: 2( x − yz ) 2 − ( y 2 − zx)( z 2 − xy ) ( y 2 − zx) 2 − ( x 2 − yz )( z 2 − xy ) ( z 2 − xy) 2 − ( x 2 − yz )( y 2 − zx)Suy ra:a 2 − bcb 2 − acc 2 − ab==x( x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz ) y ( x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz ) z ( x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz )Nhân vế theo vế các đẳng thức trên với (x3 + y3 + z3 - 3xyz) ta có điều cần chứng minh.Nhưng chỉ cần cho x = y = z = 3 và a = 1, b = 2, c = 3 chẳng hạn thì thấy giả thiết vẫn đúngmà ở kết luận:a 2 − bc5 b 2 − ca 1 c 2 − ab 7=− ;= ;= là những phân số khác nhau.x3y323Em có ý kiến gì về đề bài và các lời giải trên?Hướng dẫn:x 2 − yz ≠ 0;x 2 − yzx 2 − yz= k chỉ suy ra được a =với k ≠ 0 . Giả thiết bài toán phải đảm bảoaky 2 − zx ≠ 0; z 2 − xy ≠ 0 .Cũng phải có giả thiết như vậy thì ở cách 2 mới viết được:abc= 2= 2x − yz y − zx z − xy222 Nếu khơng thêm giả thiết như vậy thì bài tốn ra ban đầu là sai (đã có phần thí dụ khi x = y =z = 3 và a = 1; b = 2; c = 3).Cả hai lời giải sẽ đúng nếu đề bài cho thêm giả thiết.Bài 4: Tìm cơng thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k:S = 1.2.3 + 3.4.7 + 7.8.15 + ... + (2k - 1)2k(2k+1 - 1)Hướng dẫn: Vì (2k - 1) + 2k + (1 - 2k+1) = 0 nên ta có:(2k - 1)3 + (2k)3 - (2k + 1 - 1)3 = - 3(2k - 1)2k(2k+1 - 1)Ta có: -3S = (-3).1.2.3 + (-3).3.4.7 + (-3).7.8.15 + ... + (-3)(2k - 1)2k(2k+1 - 1)⇒ - 3S = (1 + 23 - 33) + (33 + 43 - 73) + (73 + 83 - 153) + ... + (2k - 1)3 ++ 23k - (2k+1 - 1)3⇒ - 3S = 1 + 23 + 43 + 83 + ... + 23k - (2k+1 - 1)3(1)⇒ 24S = - 23 - 43 - 83 - 163 - ... - 23k+3 + 8(2k+1 - 1)3.(2)Cộng theo từng vế (1) và (2) được:21S = 1 - 23k+3 + 7(2k+1 - 1)3 hay S =S=2 ( 8k +1 − 1)7− 2k +1 (2k +1 − 1)2 k(2 − 1)(2k +1 − 1)(2 k + 2 − 1) .723

Tài liệu liên quan

Kỹ thuật giải phương trình dùng hằng đẳng thức
- 2
- 989
- 12
VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC .....
- 4
- 496
- 0
SU DUNG HANG DANG THUC GIAI PHUONG TRINH SO VO TI
- 3
- 679
- 2
kỹ năng vận dụng Hằng dẳng thức
- 3
- 944
- 8
VAN DUNG HANG DANG THUC .doc
- 4
- 410
- 0
VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC .....
- 4
- 413
- 0
tiet 10: phan tích da thuc thanh nhan tu bang pp dung hang dang thuc
- 117
- 840
- 1
VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC .....
- 4
- 589
- 1
Chuyên đề: Hằng đẳng thức & Ứng dụng
- 10
- 1
- 28
Những hằng đẳng thức và ứng dụng
- 10
- 1
- 56